- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
но нормально N(0, 1). Пусть Φ(x) - функция Лапласа. Тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
P |
x¯ − |
·√n |
< m < x¯ + |
σB |
· |
√n |
|
|
= γ. |
|
|
|
σB |
u(1+γ)/2 |
|
|
u(1+γ)/2 |
|
|
||
Здесь x¯ - выборочное среднее, σB - |
выборочное |
среднее |
квадратическое отклонение, |
- квантиль нормального распределения N(0, 1) порядка (1 + γ)/2, т.е. решение уравнения
u(1+γ)/2 = Φ−1((1 + γ)/2).
Пример. По выборке объемом n = 100 вычислены выборочные характеристики x¯ = 0, 13, s = 1, 05. Требуется построить доверительный интервал для m с надежностью γ = 0, 95.
По таблице распределения Лапласа определяем квантиль u(1+γ)/2 = u0,975 = 1, 96. По формуле для доверительного интервала имеем
0, 13 |
− |
1, 05 · 1, 96 |
< m < 0, 13 + |
1, 05 · 1, 96 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
√100 |
√100 |
−0, 07 < m < 0, 33.
11.4Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
1 |
n |
n |
||
|
|
Xi |
||
Выборочная дисперсия DB = |
n |
(xi −x¯)2 является суммой большого числа практически |
||
|
|
=1 |
Xi |
|
независимых одинаково распределенных слагаемых (имеется одна связь |
||||
(xi − x¯) = |
||||
|
|
|
=1 |
p
0). В силу центральной предельной теоремы случайная величина (DB − MDB)/ D(DB) распределена приблизительно нормально N(0, 1).
Пусть Φ(x) - функция Лапласа. Тогда при больших n получаем формулу для доверительного интервала:
P σB |
|
1 − 2√nu(1+γ)/2q |
Eˆ |
+ 2 |
< σ < σB |
|
1 + 2√nu(1+γ)/2q |
Eˆ |
+ 2 |
= γ. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь σB - выборочное среднее квадратическое отклонение, n - объем выборки, u(1+γ)/2 -
квантиль нормального распределения N(0, 1) порядка (1 + γ)/2, |
ˆ |
|
||
E - выборочный эксцесс |
||||
распределения: |
m4 |
|
|
|
ˆ |
|
|
||
E = |
σB4 |
− 3, |
|
|
|
|
|
n |
ˆ |
m4 - выборочный центральный момент четвертого порядка, m4 = |
Xi |
|||
=1 |
(xi − x¯)4. |
|||
|
|
|
|
Пример. По выборке с объемом n = 100 вычислены σB = 1, 05, m4 = 2, 86, E = −0, 62. Требуется построить доверительный интервал для σ с надежностью γ = 0, 95.
79
По таблице распределения Лапласа находим квантиль u(1+γ)/2 = u0,975 = 1, 96 нормального распределения N(0, 1) порядка 0,975. Применяем формулу для доверительного
интервала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
1, 05 1 − |
20 |
1, 96 2 |
− 0, 62 |
< σ < 1, 05 1 + |
20 |
1, 96 2 |
− 0, 62 ; |
||||||
|
|
|
p |
0, 93 |
< σ < 1, 21. |
|
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80