- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
Рис. 5.7: Асимметрия распределения
5.7Нормальное, показательное, равномерное распределения
5.7.1Нормальное распределение (закон Гаусса)
Случайная величина X называется распределенной нормально, если ее плотность вероятности задана формулой
1 |
(x−m)2 |
||||
f(x) = |
√ |
|
e− |
2σ2 |
. |
|
σ 2π
Параметр m называется центром, а параметр σ - стандартным отклонением случайной величины X.
Рис. 5.8: График плотности нормального распределения (σ2 > σ1)
40
Нормальный закон распределения обозначается символом N(m, σ). Функция распределения нормального закона выражается формулой
|
σ√2π |
x |
|
|
|
|
|
|
σ |
|
|
|
|
Z |
(t−m)2 |
|
|
|
|
x |
m |
|
|||
1 |
|
|
|
|
− |
|||||||
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||
F (x) = |
|
|
e− 2σ2 |
dt = 0, 5 + Φ |
|
|
|
|
. |
|||
Здесь |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Φ(x) = √2π |
e− 2 |
dt |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
функция Лапласа.
В некоторых случаях бывает удобно использовать функцию Лапласа в виде
Φ (x) = √2π |
x |
e− 2 |
dt, |
||
Z |
|||||
1 |
|
t2 |
|
||
|
|
−∞ |
|
|
|
тогда функция распределения нормально распределенной случайной величины выражается как
|
|
|
σ√2π |
|
x |
|
|
|
|
σ |
|
|
|||
|
|
|
Z |
(t−m)2 |
|
|
x |
m |
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
−∞ |
|
|
|
|
||||
F (x) = |
|
|
|
|
|
e− 2σ2 |
dt = Φ |
|
|
|
|
. |
|||
Очевидно, имеет место соотношение |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Φ (x) = Φ(x) + 0, 5. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Z0 |
e− |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Также функция Φ(x) = |
√ |
|
|
|
2 |
dt называется нормированной функцией Лапла- |
|||||||||
2π |
|
|
|||||||||||||
са. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.9: Нормированная функция Лапласа
Для нормального закона N(m, σ) числовые характеристики
MX = m;
41
DX = σ2.
Таким образом, здесь параметр m является математическим ожиданием, а параметр σ
-средним квадратическим отклонением нормальной случайной величины X.
Всилу симметрии графика плотности относительно прямой x = m имеем:
Mo = Me = m.
Нормальный закон широко распространен в природе. Им описываются ошибки измерений, координаты точки попадания снаряда, величина шума в радиоприемном устройстве, линейные размеры и параметры деталей при массовом производстве и т.д.
Для нормального распределения N(m, σ) справедлива формула
P (|X − m| < λm) = 2Φ(λ).
При частных значениях λ из этой формулы находим
P (|X − m| < σ) = 2Φ(1) ≈ 0, 6827;
P (|X − m| < 2σ) = 2Φ(2) ≈ 0, 9545;
P (|X − m| < 3σ) = 2Φ(3) ≈ 0, 9973.
Эти результаты означают, что 99,73% значений случайной величины попадают в промежуток (m − 3σ, m + 3σ), т.е. в этот интервал попадает практически 100% значений случайной величины.
Правило трех сигм. Практически достоверно, что все значения нормальной случайной величины находятся в промежутке (m − 3σ, m + 3σ), т.е. отстоят от центра не более чем на 3σ.
Для сравнения распределений, близких к нормальному N(m, σ), вводится числовая характеристика, называемая эксцесс.
µ4
eX = σ4 − 3.
Здесь µ4 - четвертый центральный момент
+∞
Z
µ4 = (x − mX )4f(x)dx.
−∞
Для нормального распределения eX = 0.
Пусть сравниваемое с нормальным N(m, σ) распределение - симметричное, одномодальное, имеет те же математическое ожидание m и дисперсию σ2 и, кроме того, визуально является близким к нормальному. Тогда можно утверждать, что, если eX > 0, то вершина сравниваемой кривой плотности лежит выше вершины нормальной кривой; если же eX < 0, то ниже.
В силу этого свойства эксцесс называется показателем «островершинности» кривой плотности в сравнении с соответствующей нормальной кривой.
По близости асимметрии aX и эксцесса eX к нулю для произвольного распределения можно сделать вывод о некоторой близости его к нормальному распределению.
42
5.7.2 Показательное распределение
Плотность вероятности показательного закона распределения определяется формулой
0, x < 0;
f(x) = λe−λx, x ≥ 0.
Здесь λ > 0.
Функция распределения для показательного закона выражается формулой
0, x < 0;
F (x) = 1 − e−λx, x ≥ 0.
Рис. 5.10: Графики плотности f(x) и функции распределения F (x) для показательного распределения
Числовые характеристики показательного распределения:
1 mX = σX = λ;
Mo = 0; Me = lnλ2.
Показательное распределение применяется для описания распределения реальных случайных величин, таких как длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания, длительность жизни атома радиоактивного вещества и других.
5.7.3Равномерное распределение
Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если
ееплотность вероятности задана формулой
1
|
f x |
) = |
|
|
|
, x [a, b]; |
|
|
|||||||
|
|
|
b a |
|
|
||||||||||
|
( |
|
0,−x |
[a, b]. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
Функция распределения |
|
для равномерного закона на отрезке |
|
выражается |
|||||||||||
формулой |
F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a, b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
x < 0; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
F (x) = |
|
x − a |
, a |
≤ |
x |
≤ |
b; |
|
|
|||||
|
|
|
b |
− |
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x > 1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
43 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5.11: Графики плотности f(x) и функции распределения F (x) для равномерного закона на отрезке [a, b]
Числовые характеристики равномерного распределения на [a, b]:
mX = Me = |
a + b |
; |
2 |
DX = (b − a)2 .
12
Равномерное распределение применяется для описания ошибок округления, ошибок отсчета по приборам стрелочного типа.
Равномерное распределение на отрезке [0, 1] является стандартным. Оно заложено в микрокалькуляторах, которые производят псевдослучайные числа. Имеются методы, позволяющие преобразовать равномерный закон распределения в другие законы.
44