- •Комбинаторика
- •Комбинаторный принцип умножения
- •Размещения
- •Перестановки
- •Сочетания
- •Размещения с повторениями
- •Алгебра событий
- •Предмет теории вероятностей
- •Классификация событий
- •Действия над событиями
- •Вероятность события
- •Относительная частота события и ее свойства
- •Статистическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Алгебра вероятностей
- •Условная вероятность
- •Правило умножения вероятностей
- •Независимость двух событий
- •Независимость n событий
- •Правила сложения вероятностей
- •Формулы полной вероятности и Байеса
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Схема Бернулли проведения независимых испытаний. Биномиальная вероятность
- •Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной вероятности
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
- •Одномерная случайная величина
- •Определение случайной величины
- •Дискретная случайная величина
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Понятие числовой характеристики случайной величины
- •Математическое ожидание
- •Дисперсия
- •Мода
- •Начальные и центральные моменты
- •Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
- •Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •Геометрическое распределение
- •Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Нормальное, показательное, равномерное распределения
- •Нормальное распределение (закон Гаусса)
- •Показательное распределение
- •Равномерное распределение
- •Двумерная случайная величина
- •Двумерная случайная величина, ее функция распределения
- •Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
- •Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
- •Примеры двумерных непрерывных распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •Зависимость и независимость двух случайных величин
- •Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Связь между случайными величинами
- •Условные законы распределения
- •Числовые характеристики
- •Корреляционные момент и коэффициент корреляции
- •Предельные теоремы
- •Неравенства Маркова и Чебышёва
- •Неравенство А.А. Маркова
- •Неравенство П.Л. Чебышёва
- •Теоремы Чебышёва и Бернулли
- •Центральная предельная теорема для случая одинаково распределенных слагаемых
- •Цепи Маркова. Понятие случайного процесса
- •Введение в математическую статистику
- •Предмет математической статистики
- •Описательная статистика
- •Генеральная совокупность. Выборка. Выбор
- •Вариационный и статистический ряды
- •Выборочная функция распределения
- •Выборочные числовые характеристики
- •Основные оценки
- •Группированный статистический ряд. Гистограмма
- •Группированный статистический ряд
- •Оценивание генеральных числовых характеристик с помощью интервального статистического ряда
- •Гистограмма
- •Точечное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Понятие точечной статистической оценки. Требования к оценкам
- •Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
- •Свойства
- •Свойства моментов
- •Метод моментов получения оценок параметров генерального распределения
- •Метод максимального правдоподобия получения оценок параметров генерального распределения
- •Интервальное оценивание числовых характеристик и параметров распределения генеральной совокупности
- •Доверительный интервал. Точность и надежность оценки
- •Доверительный интервал для математического ожидания нормальной генеральной совокупности
- •Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения любой генеральной совокупности при большом объеме выборки
- •Проверка статистических гипотез
- •Виды статистических гипотез
- •Критерий значимости. Общая схема проверки статистических гипотез
- •Ошибки первого и второго рода. Односторонний и двусторонний критерий
- •Ошибки первого и второго рода
- •Односторонний и двусторонний критерии
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных совокупностей
- •Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности
- •Общие вопросы
- •Параметры проверяемого закона полностью известны
- •Параметры проверяемого закона неизвестны
- •Критерий Колмогорова
Рис. 5.3: Иллюстрация моды дискретного распределения
5.3.5Начальные и центральные моменты
Начальным моментом порядка k называется M(Xk) = αk. Центральным моментом порядка k называется M[(X − mX )k] = µk. Математическое ожидание - это центральный момент 1-го порядка. Дисперсия - центральный момент 2-го порядка. Центральные моменты могут быть выражены через начальные.
µ2 = DX = M(X2) − m2X = α2 − α12.
Начальные и центральные моменты - это тоже числовые характеристики случайной величины.
5.4Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
5.4.1 Биномиальное распределение
Биномиальный закон распределения определяется формулой
P (X = k) = Pn,k = Cnkpkqn−k (k = 0, 1, . . . , n),
0 < p < 1; q = 1 − p; Cnk = |
n! |
|
. |
|
|
|
|
||
k!(n |
− |
k)! |
||
|
|
|
|
Случайная величина X, распределенная по биномиальному закону, является числом появления события A (успехов) с вероятностью p в схеме Бернулли проведения n независимых испытаний.
Для биномиального распределения числовые характеристики определяются формула-
ми:
MX = np, DX = npq.
34
5.4.2 Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2, . . . , m, . . . (бесконечное, но счетное множество
значений) с вероятностями
P (X = m) = λme−λ . m!
Можно показать, что СВ, распределенная по закону Пуассона, обладает свойством
∞
P
pi = 1.
i=1
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.
M(X) = λ,
D(X) = λ.
Случайные величины, распределенные по закону Пуассона, являются предельным случаем биномиального распределения, кроме того, простейший поток событий, попадающих на произвольный отрезок времени, является случайной величиной, имеющей пуассоновское распределение.
5.4.3 Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p, если она принимает значения 1, 2, . . . , m, . . . (бесконечное, но счетное множество значе-
ний) с вероятностями
P (X = m) = pqm−1,
где 0 < p < 1, q = 1 − p.
Вероятности возможных значений случайной величины образуют геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q.
Такая случайная величина представляет собой число m испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.
Математическое ожидание случайной величины, имеющей геометрическое распределение с параметром p определяется формулой
M(X) = p1,
а ее дисперсия
q
D(X) = p2 ,
где q = 1 − p.
35