ˆ |
ˆ |
|
|
|
Определение. Оценка θn = θn(x1, . . . , xn) называется состоятельной оценкой θ, если |
||||
она стремится по вероятности к θ с ростом n: |
|
|||
|
|
ˆ |
P |
|
|
|
θn n→→∞ |
θ. |
|
Это требование сближает значение |
ˆ |
и θ |
с ростом n в вероятностном смысле. В |
|
θn |
||||
математической статистике, как правило, применяются только состоятельные оценки.
ˆ |
называется несмещенной |
оценкой θ, если математическое |
Определение. Оценка θn |
||
ожидание оценки равно θ: |
ˆ |
|
|
|
|
|
Mθn = θ. |
|
В противном случае оценка называется смещенной. |
|
|
ˆ |
|
ˆ |
Разность Mθn − θ называется смещением оценки. |
||
Требование несмещенности означает, что выборочные значения θn,i оценок, полученные |
||
в результате повторения выборок, группируются не только около их математического ожидания, но и около оцениваемой величины θ.
Определение. Оценка |
ˆ |
величины θ называется робастной, если она устойчива по |
θn |
||
отношению к выбросам в статистических данных. |
||
Выбросы в выборке могут появиться вследствие сбоев регистрирующего прибора, грубых ошибок оператора.
Определение. Оценка ˆ числовой характеристики или параметра распределения
θn θ
называется эффективной в рассматриваемом классе T состоятельных и несмещенных оценок, если она имеет в этом классе минимальную дисперсию:
ˆ |
ˆ |
Dθn |
= min Dθn. |
|
T |
Может оказаться, что для рассматриваемого распределения и класса оценок T невозможно подобрать эффективную оценку, а можно лишь определить нижнюю грань диспер-
сий оценок Dˆ . Тогда возникает задача построения оценок, дисперсии которых будут inf θn
T
возможно ближе к этой грани. |
ˆ |
|
ˆ |
|
|
Определение. Из двух оценок |
и |
одной и той же числовой характеристики |
|||
θ1n |
θ2n |
или параметра θ распределения в классе T состоятельных и несмещенных оценок более эффективной считается та, дисперсия которой меньше.
10.2Свойства выборочного среднего и выборочной дисперсии
10.2.1Свойства x¯
Свойство 1. Выборочное среднее x¯ является состоятельной оценкой генерального математического ожидания m = MX, что следует из предельной теоремы Чебышёва:
P
x¯ → m.
n→∞
Свойство 2. x¯ является несмещенной оценкой m:
Mx¯ = m.
70
Свойство 3. x¯ не является робастной оценкой m, так как в своем составе имеет крайние элементы вариационного ряда.
Свойство 4. Dx¯ = σ2 . n
Этот результат означает, что с ростом n рассеяние x¯ уменьшается обратно пропорционально n.
10.2.2Свойства моментов
Можно показать, что выборочный начальный момент порядка l также является состоятельной и несмещенной оценкой генерального начального момента αl = MXl порядка l:
P
al n→→∞ αl;
Mal = αl.
10.2.3Свойства выборочной дисперсии DB
Свойство 1. Выборочная дисперсия является состоятельной оценкой генеральной дисперсии:
D P σ2 = X.
B n→→∞ D
Свойство 2. Вспомогательная формула для выборочной дисперсии
n
DB = n1 X(xi − m)2 − (¯x − m)2.
i=1
Свойство 3. Выборочная дисперсия DB - смещенная оценка генеральной дисперсии
σ2 с отрицательным смещением −σ2 : n
M(DB) = σ2 − σ2 . n
Вследствие смещенности выборочной дисперсии возникает задача создания несмещенной оценки дисперсии.
Так как M(DB) = n −n 1σ2, то смещение можно устранить, умножив DB на множитель
n
n − 1. Образуем
s2 = |
n |
DB = |
1 |
|
n − 1 |
n − 1 |
|||
|
|
n
X
(xi − x¯)2.
i=1
s2 называется исправленной выборочной дисперсией и является несмещенной оценкой
σ2. Действительно,
Ms2 = n −n 1MDB = n −n 1 · n −n 1σ2 = σ2.
В заключение отметим, что DB не является робастной оценкой σ2.
71