Практическая работа №5

Решение задач векторной оптимизации

Цель работы:

1) Ознакомиться с теорией векторной оптимизации.

2) Научиться решать задачи различными методами.

1 Общие сведения

Основные методы:

методы, основанные на свертывании критериев в единый;

методы, использующие ограничения на критерии;

методы целевого программирования;

методы, основанные на отыскании компромиссного решения;

методы, в основе которых лежат человеко-машинные процедуры принятия решений (интерактивное программирование).

В методах, основанных на свертывании критериев, из локальных критериев формируется один. Наиболее распространенным является метод линейной комбинации частных критериев. Пусть задан вектор весовых коэффициентов критериев б={б_1,…б_k}, характеризующих важность соответствующего критерия, Линейная скаляризованная функция представляет собой сумму частных критериев, умноженных на весовые коэффициенты. Задача математического программирования становится однокритериальной и имеет вид

Критерии в свертке могут быть нормированы. Решение, полученное в результате оптимизации скаляризованного критерия эффективно.

К недостаткам метода можно отнести то, что малым приращениям коэффициентов соответствуют большие приращения функции, т. е. решение задачи неустойчиво, а также необходимость определения весовых коэффициентов.

Направление методов, использующих ограничения на критерии включает два подхода:

1) метод ведущего критерия;

2) методы последовательного применения критериев (метод последовательных уступок, метод ограничений).

В методе ведущего критерия все целевые функции кроме одной переводятся в разряд ограничений. Пусть г=( г₂, г₃,… г_К-1) - вектор, компоненты которого представляют собой нижние границы соответствующих критериев. Задача будет иметь вид

Полученное этим методом решение может не быть эффективным, поэтому необходимо проверить его принадлежность области компромиссов.

Метод ведущего критерия применяется в таких задачах, как минимизация полных затрат при условии выполнения плана по производству различных видов продукции, максимизация выпуска комплектных наборов при ограничении на потребляемые ресурсы.

Алгоритм метода последовательных уступок:

1. Критерии нумеруются в порядке убывания важности.

2. Определяется значение f₁^*. Лицом, принимающим решение, устанавливается величина уступки Д₁ по этому критерию.

3. Решается задача по критерию f₂ с дополнительным ограничением f₁(X)≥ f₁^*-Д₁.

Далее пункты 2 и 3 повторяются для критерия f₂,...,f_k. Полученное решение не всегда принадлежит области компромиссов.

2 Порядок выполнения работы

2.1.Ознакомится с методическими указаниями, изложенными в п.1;

2.2.Решить задачи разными методами;

2.3 Оформить отчет.

3 Задачи для самостоятельного решения

Найти следующими методами решение векторной задачи:

1. Метод линейной комбинации частных критериев при заданном векторе весовых коэффициентов a={0.3, 0.7}.

2. Метод ведущего критерия. Решить задачу, считая ведущим второй критерий. Верхнюю/нижнюю границы установить ±10% от оптимального значения.

3. Метод последовательных уступок. Считать наиболее важным второй критерий. Величина уступки – 15% от оптимального решения.

4. Метод равных наименьших отклонений.

В отчете должны быть представлены для каждого метода математическая модель задачи и оптимальное решение, полученное данным методом.

Условие:

Дано множество критериев оптимальности задачи векторной оптимизации:

Ограничения:

Решить векторную задачу при заданной системе ограничений:

1. Критерии F₁ → max, F₂ → min

2. Критерии F₁ → max, F₃ → min

3. Критерии F₁ → max, F₂ → max

4. Критерии F₁ → max, F₃ → max

5. Критерии F₂ → max, F₃ → min

6. Критерии F₂ → max, F₃ → max

7. Критерии F₂ → min, F₃ → min

8. Критерии F₂ → min, F₃ → max

9. Критерии F₁ → min, F₂ → min

10. Критерии F₁ → min, F₃ → min

11. Критерии F₁ → min, F₂ → max

12. Критерии F₁ → min, F₃ → max