Розрахунки електричних кіл змінного струму

1. Послідовне з'єднання резистора та індуктивної котушки. 1. Послідовне з'єднання резистора та конденсатора.

1. Послідовне з'єднання активного опору, індуктивності та ємності.

2. Загальний випадок розрахунку нерозгалуженого кола. Топографічні векторні діаграми.

3. Коло з паралельно з'єднаними індуктивною котушкою та конденсатором з утратами.

4. Загальний випадок розрахунку кола з двома вузлами.

Домашнє завдання [1] сторінка253-263 задачі 14,2 ; 14,4

сторінка263-273 задачі 14,9.

У коло змінного струму послідовно підключений резистор та індуктивна котушка. Це коло можливо зобразити як послідовне з'єднання активного опору r, активного r_k та індуктивного x_L опорів котушки.

Розрахунок таких кіл звичайно ведеться до визначення струму та його складових, активної, реактивної та повної потужності, зсуву 4)аз між напругою і струмом при даних опорах елементів та функцій напруги кола.

Повний опір кола: z =

Повний струм кола: І = U/z

Тригонометричні функції кута зсуву фаз:

Соs φ = (r + r_L)/z; sinφ = x_L/z; tgφ= x_L/(r + r_L)

Складові струму:

Ia=I*cos φ; Ip=I* sinφ.

Активна, реактивна і повна потужність кола:

P=U*I* cos φ; Q_L= U*I* sinφ; S=I*U

Активна потужність резистора і котушки:

Ра= r * І²; Р_L= r_L* І²; P=Pa+P_L

Спад напруги на кожнім елементі кола:

Ua=r* І; Uak= r_k * І; U_Lk=x_L*I

Провідності струму:

=(r+rL)/ z²; Вік=x_L/ z²; y=I/z

Трикутники напруг, опорів, потужностей:

-118-

2. У коло змінного струму підключений резистор послідовно з конденсатором, який

має активні втрати. Таке коло можливо зобразити як послідовне з'єднання активного опору резистора r, ємності x_с та активного опору r_с опорів конденсатора.

Ємнісний опір конденсатора: Хс=1/2πfc

Повний опір кола: z =

Повний струм кола: І=U/z

Тригонометричні функції кута зсуву фаз:

cosφ = (r + r_с)/z; sinφ = Хс/z; tgφ= Хс/(r + r_с)

Складові струму:

Ia=I*cos φ; Ip=I* sinφ.

Активна, реактивна і повна потужність кола:

P=U*I* cos φ; Q_L= U*I* sinφ; S=I*U

Активна потужність резистора і котушки:

Ра= r * І²; Рс= r_С* І²; P=Pa+P_С

Спад напруги на кожнім елементі кола:

Ua=r* І; Uaс= r_С * І; U_РС=x_С*I

Провідності струму:

=(r+r_С)/ z²; В=x_L/ z²; y=I/z

Трикутники напруг, опорів, потужностей:

3. У коло змінного струму підключені резистор, індуктивна котушка та конденсатор.

Це коло можливо зобразити як послідовне з'єднання активного опору резистора r, індуктивного опору котушки x_L (активним опором котушки нехтуємо) та ємнісного опору конденсатора Хс (активними втратами конденсатора нехтуємо).

Рівняння напруг: U=Uа+U_L+Uc:

Якщо струм синусоїдний: і=Im*sinωt Uа=Uаm* sinωt U_L=U_Lm* sin(ωt + π/2) U_C=U_Cm* sin(ωt - π/2)послідовно

-119-

U=Uа+UL+Uc=Uаm * sinωt+ U_Lm* sin(ωt + π/2)+ U_Cm* sin(ωt - π/2) – сума миттєвих

синусоїдних складових напруг.

Побудуємо векторну діаграму діючих значень напруг:

1) вектор струму І відкладаємо по горизонтальній прямій (U=0);

2) вектор Ua збігається з вектором струму по фазі;

3) від кінця вектора Ua відкладаємо вектор U_L, спрямований вертикально вгору (початкова фаза π/2);

4) від кінця вектора U_L відкладаємо вектор Uc, спрямований вертикально униз (початкова фаза - π/2);

5) сумуючи вектори Uа, U_L, Uc отримаємо вектор результуючої напруги кола:

U=Ua+U_L+Uc

Модуль результуючої напруги визначимо з трикутника напруг: U= Ua²+(U_L-Uc)²

Аналізуючи векторну діаграму напруг для rc_L- кола, можливо зробити висновок, що при U_L>Uc (х_L>x_с) результуючий вектор напруги відстає від вектора струму на кут φ<90°. Тригонометричні функції кута зсуву фаз:

соsφ = Uа/U= r/z; sіnφ = (U_L-Uc)/U; tgφ= (U_L-Uc)/Ua= (x_c-x_L)/r .

Р

Uc*I=Qc

ІВНЯННЯ ПОТУЖНОСТІ

U_L*I=Q_L

I

U*I=S

Ua*I=P

Для побудови трикутника потужностей помножимо всі сторони діаграми напруг на струм І. Тоді активна потужність Р=Uа*І = r *І²; індуктивна потужність Q_L=U_L*I= х_L*I²;

ємнісна потужність Qс=Uс*I = Хс*І²; результуюча реактивна потужність

Q = QL-Qс = I(U_L-Uс)= I*(хL*I – хс*I)= I² * (x_L - хс)

Повна потужність кола S = Р²+ (Q_L-Qс)²

Повний опір кола

Для визначення повного опору побудуємо діаграму опорів, поділивши сторони трикутника напруг на струм І. З отриманої діаграми повний опір

кола: z=

-120-

4. Якщо у колі змінного струму з єднати послідовно довільну кількість споживачів різного характеру, то всі електричні параметри визначаються формулами з пункту 3.

Результуючий вектор напруги дорівнює геометричній сумі векторів спадів напруг на окремих елементах кола:

U ⁼ Ua1+ UL1+ Ua2+ Uc1+ Ua3+ UL2.

З трикутника ОАВ:

U= (Uа1+Ua2+Ua3)² +(Uc1+UL1+UL2)²

У загальному вигляді можливо записати:

U=

У другій складовій індуктивну напругу беруть зі знаком плюс, а ємнісну - зі знаком мінус

соsφ =(∑Ua)/U; sinφ = (∑Up)/U; tgφ =(∑Up)/ (∑Ua) ;

S=, де P= (∑Ua)*I; Q= (∑Up)*I

Повний опір кола:

z=

Для графічного визначення напруг на окремих елементах електричного кола використовують топографічні векторні діаграми, коли векторна діаграма будується у відповідності з чергуванням елементів кола і точки, які відокремлюють вектори один від одного, відповідають точкам, які відокремлюють елементи схеми.

За початковий (для нерозгалуженого кола) прийнятий вектор струму, потім проводять вектори спадів напруг на кожній ділянці схеми, їхній напрям відносно вектора струму вибирають у відповідності з характером опору ділянок. Початковою точкою вибирають точку, яка збігається з початком вектора струму і далі проходять по колу проти напряму струму, відкладаючи кожний вектор наступного спаду напруг з кінця попереднього. Точки векторної діаграми, де сходяться початок наступного вектора з кінцем попереднього, позначають тими ж номерами, що і точки на схемі, які відокремлюють один елемент від другого. При такій побудові напругу між будь-якими двома точками кола можливо визначити за величиною і фазою, проводячи вектор на діаграмі між точками з тими ж номерами.

Приклад: Чотири послідовно з'єднані ділянки підключені до джерела з напругою 217 В і частотою f=50 Гц. Опори ділянок r₁= 3 Ом; x_L1=11 Ом; r₂= 40м; х_c2=3 Ом; r₃= 5 0м;

x_L3=7Ом; r₄= 60м; х_c4=7 Ом. Визначити струм, побудувати топографічну діаграму.

-121-

Ur₁+U_L1+ Ur₂+Uc₂+ Ur₃+U_L3+ Ur₄+Uc₄=U

∑r = r₁+r₂+r₃+r₄=3+4+5+6=18 Oм

∑х = x_L1-xc₂+x_L3-xc₄ =11-3+7-7 = 8 Oм

z = = 19,7 Oм

І =U/z= 217/19,7= 11А

Напруга на окремих ділянках кола:

Ur₁= І*r₁=11*3= 33В; Ur₃= І * r₃=11*5 = 55В;

U_L1=11*11=121В U_L3=І*x_L3=11*7=77В;

Ur₂=11*4= 44В: Ur₄=1 * r₄=11*6 = 66 В;

Uc₂= І • xс₂=11*3= ЗЗВ; Uc₄= І * xс₄=11*7= 77В.

Для побудови діаграми виберемо масштаб:

m_і= 1,1 А/см; m_u=22 В/см.

Перевіримо графічні розрахунки аналітичними:

соsφ =(∑r)/z =18/19,7=0,913 sinφ =(∑х)/z = 0,407

Р = U * І * соs φ = 217 * 11* 0,913 = 2179Вт

Q = U*І * sin φ = 217 * 11*0,407 =971,5 вар

S=U*I=217 * 11 = 2387 В*А

z₁==11,4 Ом U₁=z1*I=11,4*11=125,4В

z₂= =5 Ом U₂=z2*I=5*11=55В

z₃= =8,6 Ом U₃=z3*I=8,6*11=96,4В

z₄= = 9,22 Ом U₄=z4*I=9,22*11=101,4В

За векторною діаграмою:

U₁=5,8* 22=127,6 В U₂=2,5*22=55 В

U₃=4,4*22 =96,8 В U₄=4,6*22=101,2 В

Найбільша похибка: γ==1,7 %

-122-

5. У коло змінного струму паралельно підключені індуктивна котушка та конденсатор з втратами.

Це коло можливо зобразити як коло з двома ланцюгами, у один з яких підключені елементи r₁ та L₁, а у другій - елементи r₂ та c₂. Якщо задані параметри кола r₁, L₁, r₂, c₂, а також частота f і напруга U₁ електричні параметри визначаються за формулами:

Опір окремих елементів кола:

x_L1=2πfL₁ x_c2=1/2πfc₂

Струми у ланцюгах:

z₁=; z₂=;

Тригонометричні функції φ у ланцюгах:

cos φ₁=r1/z₁ sin φ₁=x_L1/z₁

cos φ₂=r2/z₂ sin φ₂=x_c2/z₂

Складові струмів у ланцюгах:

Ia₁=I₁* cos φ₁; Ia₂=I₂* cos φ₂; Ia=Ia₁+Ia₂;

I_L1=I₁* sin φ₁; Ic₂=I₂* sin φ₂; Ip=I_L1-Ic₂.

Результуючий струм у колі:

I=

Повний опір кола: z = U/I.

Розрахунок таких кіл можливо вести також методом провідностей, за допомогою якого всі шукані величини визначають за допомогою провідностей кола.

Розрахунок паралельних кіл методом провідностей.

Опори окремих елементів кола:

x_L1=2πfL₁; x_C2=1/2πfc₂

Повні опори окремих ланцюгів:

z₁=; z₂=;

Провідності окремих ланцюгів:

₁=r₁/z₁²; 1=r₂/z₂²; ₁₂=₁+₂

₁=x_L1/z₁²; 1=x_C2/z₂²; ₁₂=_L1+c₂

Якщо _L1> с₂. то коло має індуктивний характер і ₁₂ - додатня величина; якщо _L1< с₂, то кола має ємнісний характер і ₁₂ - від'ємна величина.

Повний опір кола:

Z₁₂=1/y₁₂

-123-

Еквівалентні опори схеми заміщення:

r₁₂=g ₁₂ * z₁₂²; x₁₂=b₁₂* z₁₂².

Якщо x12>0, то схема заміщення має індуктивний характер:

(b_L1>b_C2)

Якщо x₁₂<0, то схема заміщення має ємнісний характер:

(b_L1>b_C2)

Решта параметрів визначається по виведеним раніше формулам.

6. Якщо до кола змінного струму паралельно підключена довільна кількість різних елементів, то електричні параметри визначають по формулам, отриманим у п.5, тільки перед кожним відповідним параметром буде стояти знак алгебраїчної суми.

У кожному з цих ланцюгів під дією прикладеної напруги утворюється струм, який можливо розкласти на складові у залежності від виду елемента, підключеного у даний ланцюг.

Векторна діаграма струмів будується слідуючим чином:

1) вектор напруги U відкладають на горизонтальній прямій;

2) будують вектор активної складової струму першого ланцюга Ia₁, який збігається по напряму з вектором напруги;

3) відкладають реактивну складову струму першого ланцюга від кінця вектора активної складової струму першого ланцюга;

4) сумуючи вектори Ia₁ та Ір₁, отримують вектор струму першого ланцюга I₁;

5) з кінця вектора I₁ будують вектор активної складової струму другого ланцюга Ia₂, який збігається за напрямком з вектором напруги;

6) відкладають вектор реактивної складової струму другого ланцюга Ір₂;

7) сумуючи вектора Іа₂ та Ір₂, отримують вектор струму І₂ і так далі для решти ланцюгів.

Вектор результуючого струму визначиться як геометрична сума усіх складових струмів ланцюгів: I=I₁+I₂+I₃+I₄

Положення вектора струму залежить від співвідношення складових струмів у ланцюгах.

З трикутника ОАВ:

І= (Іа₁+Іa₂+Ia)² +(І_L1+І_L2-Іc_З+I_L4)² = (∑Іа)²+( ∑Іp )²

-124-

Кут зсуву фаз між напругою і струмом (р можливо визначити за формулами:

cosφ = (∑Іа )/І; sin φ= (∑Ір)/І.

Для розглядаємого кола можливо побудувати діаграму провідностей, яка подібна діаграмі струмів, якщо поділити всі сторони векторної діаграми струмів на напругу U:

З діаграми провідностей:

У загальному випадку:

Діаграму потужностей можливо отримати з діаграми струмів, для чого необхідно модулі струмів

помножити на напругу:

Р1=Ра1*U; Q1=IL1*U; Р2=Iа2*U; Q2=IL2*U;

Р3=Ра3*U; Q3=Iс3*U; Q4=IL4*U; S=I*U.

З діаграми потужностей:

S= (Р1+P2+P3)² +(Q1+Q2+Q3+Q4)²

У загальному вигляді:

S= (∑Р)² +(∑Q)²

При будь - якій кількості елементів, підключених паралельно, результуючі струм, провідність, потужність записують як корінь квадратний з суми квадратів арифметичних сум активних і алгебраїчних сум реактивних значень відповідних параметрів.

Розглянути приклад 14.7 [1