4, Повну інформацію про змінний струм можливо отримати з його рівняння або графіка. На практиці користуються діючою або середньою величиною змінного струму.

-105-

Діюче значення змінного струму чисельно дорівнює такому умовному постійному струму, який, проходячи через однаковий зі змінним струмом опір, за однаковий проміжок часу виділяє ту саму кількість теплоти.

Діюче значення струму позначається І, а напруги U

Qпост =I²RT; Qзм = ; I=

Діюча величина синусоїдного струму менша за його амплітуду у разів.

Відношення амплітуди до діючої величини має назву коефіцієнту амплітуди K_A

Для синусоїди K_A=

Якщо крива має більш загострену форму K_A> при прямокутній формі K_A =1.

Діючі значення струму та напруги вимірюються електровимірювальними приладами. Номінальні струми і напруги електротехнічних приладів виражають діючими величинами.

Середньою величиною змінного струму (е.р.с, напруга) середнє арифметичне з усіх миттєвих величин за напівперіод.

Ic= 2Im/π

Середня величина синусоїдного струму за період дорівнює нулю. Відношення діючої величини до середньої - коефіцієнт форми кривої Kф

Kф=I_Д/Ic

Для синусоїди Кф= =1,11

-106-

Лекція №23

Елементи і параметри електричних кіл змінного струму.

1.Особливості кіл змінного струму

2. Коло з резистивним елементом

3. Коло з індуктивним елементом

4. Коло з ємнісним елементом

5. Коло з індуктивністю і опором

6. Коло з ємністю і опором.

Домашнє завдання [1] стор. 230-241 зад. 13,3, 13,6, 13,9.

[1] стор. 241-252 зад. 13.11, 13.14.

1. Явища, які відбуваються у колах змінного струму, істотно відрізняються від процесів у колах постійного струму, коли, при незмінній напрузі джерела живлення і параметрах кола, струм, потужність і енергія електричного і магнітного полів залишаються постійними.

При змінній напрузі на виводах кола проходить змінний струм, змінюються електричне поле і його енергія, магнітне поле цього струму і запалена у ньому енергія, у колі виникає е.р.с. самоіндукції. Змінюється потужність, яка характеризує швидкість перетворення електричної енергії у інші види.

Електричне коло, у якому відбувається перетворення електричної енергії у теплову і у якому відбувається змінювання енергії електричного і магнітного полів, характеризується трьома основними параметрами: опором r, ємністю С та індуктивністю L.

2. Якщо коло має тільки опір і на його вході діє синусоїдна напруга u = usinωs (*), то за законом Ома струм і = u/r = Um*sinωі/r = Іm* sinωі (**)

Амплітуда струму Іm = Um/r дорівнює амплітуді напруги, поділеної на опір кола. Або у діючих величинах Іm/ =Um/*r ; I=U/r

Таким чином закон Ома для кола змінного струму з опором г може бути записаним і для миттєвих, і для амплітудних, і для діючих величин напруги і струму.

Напруга і струм мають однакову початкову фазу і будь-який момент часу миттєві значення струму і напруги пропорційні одне одному.

Добуток миттєвих значень напруги u та струму І називається миттєвим значенням потужності або миттєвою потужністю,

р= U*і - характеризує швидкість перетворення електричної енергії кола у даний момент часу.

-107-

р=U*i=Um sinωt * Іm sinωt = UmIm sin² tω= U * I sin² tω =U*I* 2sin² tω

Але sin² tω = 1-cos2ωt/2

р=U*I(I+соs2ωt )=U*I+U*Iсоs2ωt

U*I - постійна складова потужності

U* Iсоs2ωt - змінна складова, яка має амплітуду U*I і змінюється з подвійною частотою.

Аналізуючи графік зміни потужності у часі можливо визначити, що потужність на протязі періоду замінюється додатною, у той час як струм і напруга змінюють знак, завдяки збіганню струму і напруги по фазі.

Постійність знака вказує на те, що напрям струму потоку електричної енергії залишається на протязі всього періоду незмінним (від мережі у приймач опором т) і електрична енергія необоротно перетворюється у інший вид.

Середня за період потужність:

р = [U*I-UIсоs2ωt]dt = UІ

дорівнює добутку діючих значень струму і напруги цього кола

р=U*I=U² *r=U²/ r

Середню за період потужність кола прийнято називати активною потужністю, а опір r резистивного елемента, у якому електрична енергія перетворюється у тепло — активним опором.

3. Якщо коло має тільки індуктивність L і по ньому протікає синусоїдальний струм i=Imsinωt то по визначенню потокозчеплення кола:

ψ=iL=L*Imsinωt = ψ_m sin ωt де ψ_m =Im - амплітуда потокозчеплення.

Змінений потокозчеплення викликає виникнення е.р.с. самоіндукції

е=-L*Im*ω*cosωt-9Lm*sin(ωt-(π/2))

де 9Lm = L * Im*ω - амплітуда е.р.с.

Оскільки опір кола r=0, то за 2 законом Кірхгофа сума напруги на виводах кола (напруга живлення та е.р.с.) самоіндукції е, дорівнює 0. u+eL=0.

Звідси напруга кола:

u=-еL =L(di/dt) = LI_{m (}ωt+π/2)=Um sin()

Таким чином прикладена до кола напруга викликає у ньому такий струм, який при своїй зміні у кожний момент часу індукує е.р.с., яка дорівнює по амплітуді та протилежна по знаку прикладеній до кола напрузі.

-108-

Um = еLm ⁼ Іm*ωL., звідкіля отримаємо закон Ома для амплітудних значень

Im=Um/хL

Для діючих значень І = U / ХL

Величина хL = ωL= 2πfL має назву індуктивного опору.

Одиниця вимірювання [х L ] = [ωL] = (1/c) Гн = (1/c) Ом * с = Ом

Індуктивний опір пропорційний індуктивності і частоті, при постійнім струмі він дорівнює нулю, тобто коло з індуктивним елементом не чинить опору протіканню постійного струму, а коло змінного струму з індуктивністю має опір хL = ωL , який зростає зі збільшенням частоти струму.

Для кола з індуктивністю закон Ома застосовується тільки для амплітудних та діючих значень струму і напруги, його неможливо використовувати для миттєвих значень, оскільки U=L(di/dt) і Uх_Lі

Миттєва потужність кола з індуктивністю визначається добутком миттєвих значень напруги і струму

-109-

Р=U*i=Um sin(ωt+(π/2))*Im sin ωt =Um* Im cos ωt*sin ωt=sin 2ωt=UI sin 2ωt

р = Uі = L(di/dt)*i=(L*i*di)/dt=ψdi/dt

Миттєва потужність характеризує швидкість перетворення енергії джерела живлення у енергію магнітного поля кола.

Коло з індуктивністю протягом першої і третьої чверті періоду працює у режимі

Ь-І ² споживача, запасаючи енергію W_Lmах ⁼ LI² , а протягом другої та

четвертої чверті - в режимі генератора, вертаючи назад накопичену ним енергію W_Lmах, тобто енергія, отримана колом з індуктивністю за кожні півперіода, дорівнює нулю, таким чином дорівнює нулю і середня потужність.

У розглянутому колі відбувається тільки періодичний обмін енергією між джерелом живлення та магнітним полем кола, відсутнє не обернене перетворення електричної енергії у інші види.

Енергію, якою обмінюються джерело живлення і коло з індуктивним опором, характеризують максимальним значенням миттєвої потужності кола і називають її реактивною індуктивною потужністю

Q_L=U*I=ωL*I²= ω* W_Lmах

Одиниця вимірювання реактивної потужності - вольт-ампер реактивний (вар).

4. Якщо коло, яке має тільки ємність, знаходиться під змінною напругою, то заряд змінюється пропорційно напрузі (q=СU) і у колі буде протікати змінний струм.

При синусоїдальній напрузі на виводах кола U=Um sinωt дорівнює швидкості зміни заряд

i=c*ω*Um cosωt=Im sin(ωt+)

Струм випереджає по фазі напругу на виводах кола на кут π/2, а його амплітуда

Im=с*ω*Um

-110-

I=ω*C*U=U/Xc

Ємкісний опір Xc=1/ωc=1/2πfc

[Xc]= ===Ом

Ємкісний опір зворотньопропорційний частоті f і ємності С. Зменшення частоти викликає збільшення ємкісного опору, при постійній напрузі (f=0) ємкісний опір Хc=∞ і постійний струм крізь ємкісний елемент не протікає.

Для кола з ємністю закон Ома застосовується тільки для амплітудних і діючих значень струму і напруги, його неможливо використовувати для миттєвих значень, оскільки і U/ Хc.

Миттєва потужність кола з ємністю визначається добутком миттєвих значень

напруги і струму. Якщо u = Um sin(ωt-(π/2)), і = Іsin ωt ,то

р =u*i = UmIm*sin(ωt-(π/2))*sin ωt = UI * соs(-π/2) – UI cos(2ωt-(π/2)) = -UI sin2ωt;

Миттєва потужність кола з ємністю р = Uі = U характеризує

швидкість перетворення енергії джерела живлення в енергію електричного поля.

Енергія, отримана колом з ємністю за кожний на півперіод, дорівнює нулю, як і середня потужність кола, тобто відбувається періодичний обмін енергією між джерелом живлення і конденсатором.

Максимальне значення миттєвої потужності цього кола називають реактивною

ємкісною потужністю. Qc= UI = ω*с*U² = ω* Wсmах

Якщо коло, яке має опір r та індуктивність L (rL - коло), знаходиться під змінною напругою, то у будь-який момент часу ця складається з двох доданків:

U=r*i+L(di/dt)=Uа+U_L

Перший з них має назву активної складової, а другий U_L = Ldі / dt = -е_L -

індуктивної складової напруги.

В котушці немає таких точок, між якими діяла б напруга Uа або U_L фізичною величиною є напруга на виводах котушки, яка дорівнює сумі складових Uа+U_L. Ділення фізичної величини на складові - це зручний розрахунковий прийом, оскільки явища, які відбуваються в котушці ті ж самі, що і в колі, яке складається з

-111-

послідовно з'єднаних елементів з опором r та індуктивністю L, тобто останнє можливо вважати послідовною схемою заміщення котушки.

Якщо крізь розглядуване коло проходить синусоїдний струм і = Im sinωt, та

активна складова напруги u_а = г * і = г * Im sinωt= Um sinωt , а індуктивна складова:

U_L=Ldi/dt=L=LωIm cosωt=Um sin(ωt+π/2)

Обидві складові напруги змінюються синусоїдне. Перша з них u_а збігається по фазі зі струмом, а друга U_L випереджає його на π/2. Амплітудні значення цих складових

Ua=r*Im; U_Lm=ω_L*Im

Діючі значення цих складових

Uа=r*і; U_L= ω_L*I

Сума складових: U=Uа+U_L=Uаm sinωt + U_Lm sin(ωt+π/2)=Umsin(ωt+φ_L) виражає миттєві значення синусоїдної напруги на виводах кола, випереджуючої по фазі струм на φ_L кут φL

Амплітуда напруги на виводах кола Um=

Напруги U, Uа та U_L зв'язані між собою таким співвідношенням, як і сторони прямокутного трикутника напруг, катети якого зображають напруги Uа та U_L а гіпотенуза — напругу U на виходах кола.

Кут зсуву фаз між напругою і струмом можливо визначити з векторної діаграми

по одній з формул: cosφ_L=Uа/U; sinφ_L=U_L/U; tgφL =U_L/Ua.

Зсув по фазі струму і відносно напруги V викликаний е.р.с. самоіндукції e_L яка відстає по фазі від струму на π/2, а індуктивна складова напруги UL яка дорівнює е.р.с. по значенню і протилежна по фазі, випереджає струм на π/2. Чим більша індуктивна складова напруги порівняно з активною, тим більший кут відставання струму і від напруги U в колі.

Виразимо складові напруги через добутки опорів і струму:

U=

звідки у колі:

-112-

І = - закон Ома

Величина Z = має назву повного опору rL - кола і вимірюється в Омах.

Графічно повний опір Z зображують гіпотенузою прямокутного трикутника опорів, а опори r та х_L=ωL - його катетами у відповідності з виразом z= . Трикутник опорів можливо отримати зменшивши у І разів сторони напруг.

Кут між сторонами трикутника z та r дорівнює куту φL між векторами напруги і

струму, оскільки cosφL=Ua/U=rI/zI=r/z

sinφ_L=UL/U=x_L/z

tg φ_L=UL/Ua=x_L/r

Миттєве значення струму іU/z, тому закон Ома не використовується для миттєвих значень струму і напруги.

Миттєва потужність у колі з опором і індуктивністю:

р = U *і = Um sin(ωt+φL)*Im sinωt= U*IcosφL-

-U*Icos*(2ωt+ φ_L)

Миттєва потужність rL-кола складається з двох доданків постійної потужності

U*І* соs φL та змінної U*Iсоs(2ωt+φ_L), яка змінюється по гармонійному закону з

подвійною частотою. Середнє за період значення

змінної складової потужності дорівнює нулю. Середня за період або активна потужність кола Дорівнює постійному доданку миттєвої потужності.

P==I*U*cos φL

Множник cos φL має назву коефіцієнта потужності, оскільки при незмінних значеннях напруги і струму у колі потужність змінюється у залежності від cos φ_L від нуля при φ_L =π/2 до найбільшого значення Р=U*І при φ_L =0.

Миттєву потужність кола з опором та індуктивністю можливо представити у вигляді суми потужностей у двох елементах схеми заміщення кола:

P=U*I=Ua*i+UL*i=pa+p_L

Миттєва потужність у резистивному елементі

Ра=rі² =Uа*i= Uam sinωt* Iam sinωt =2Ua* sin²ωt= Ua*I-UaIcos2 ωt

Таким чином миттєва потужність у резистивному елементі складається з постійної Uа*I та змінної Uа*Ісоs2ωt складових. Постійна складова виражає середню за період потужність або активну потужність

p==Ua*I=r*I²

оскільки Uа=U*соsφ_L , то Р=U*соsφ_L, тобто це активна потужність всього кола з параметрами r та L

-113-

Миттєва потужність у індуктивному елементі рL=U_L*i=U_Lm sin(ωt+π/2)* *Іm sinωt= =U_L*Isin2 ωt , вона змінюється з подвійною частотою, двічі за період досягаючи додатного максимуму U_L*І-ωLI² і двічі такого ж від'ємного максимуму.

Реактивна індуктивна потужність кола є мірою обміну енергії між джерелом живлення і колом

QL=U_L*I=U*I*sinφ_L=ωLI² =x_L*I²

Добуток діючих значень напруги і струму має назву повної потужності:

S=U*I

Активна, реактивна та повна потужності графічно зображаються сторонами прямокутного трикутника потужностей, оскільки ці потужності зв'язані співвідношенням

Р²+Q_L² =S² або (U*Iсоsφ_L)²+(U*Isin φ_L)²=(UI)²

Трикутник потужностей можливо отримати з трикутника напруг, помноживши на струм І всі його сторони. З трикутника потужностей можливо визначити коефіцієнт потужності

соs φ_L =[S]=В*А; [р]=Вm; [Q]=вар.

Різниця π/2-φ_L=δ_L має назву кута втрат і є одним з параметрів котушки індуктивності

tg δ_L=Ua/U_L=rI/ ωLI=r/ω_L

звідки r=хL* tg δ_L = ωL tg δ_L

Активна потужність котушки

Р=U*I cos φ_L=r*I² = I² ω_L tg δ_L

Вимірявши напругу, струм і активну потужність, можливо визначити параметри

послідовної схеми заміщення: Z=U/І; r=Р/I² ; х_L=ω_L=.

Приклад:

Котушка з індуктивністю L=51мГн і опором r=120м підключена в мережу з напругою U=250В і частотою f=50Гц. Визначити x_L, z,I, Р, Q, S, W_Lmах (найбільша енергія, запасаємо у магнітному полі котушки).

Розв'язання

XL = ω*L=2πfL=2*3,14*50*51 * 10^-3= 160м

z = =200м

І=U/z=250/20==12,5А

Р=I2^*r=12,5² *12=1875Вт

sinφL=х_L/z⁼ 16/20=0,8

Q= UІ sinφL250*12,5*0,8=2500вар

S=U*I=250^*12,5⁼3125В*А

W_Lmax=L*Im²/2=L*I²=0,051 * 12,5²=7,97 Дж

6. Якщо у колі з активним опором r і ємністю c (rc-кола) протікає синусоїдальний струм

i=Im sinωt, то напруга на опорі

-114-

Uа=i*r=r*Іm sinωt=Uаm sinωt, а напруга на ємності Uс=x_C*i= x_C *Im sin(ωt-π/2)=Ucm sin(ωt-π/2)

Обидві напруги змінюються синусоїдно, перша з них збігається по фазі зі струмом, а друга відстає від нього на π/2.

Амплітуди цих напруг Uam=r*Im; Ucm=(1/ωc)*Im=x_CIm;

Діючі значення Uа=r*І; Uс=1/ωс*I⁼Xс*I

Сума напруг: U=Uа+Uс=Uаm sinωt+Ucm sin(ωt-π/2) =Umsin(ωt-φс)

виражає миттєве значення напруги на виводах кола.

іУ.і

А мплітуда цієї напруги

Um=

Діюче значення U= Um/=