Максимальные напряжения найдем из формулы (5.24):

МПа.

Пример 5.6.Двутавровое сечение. Определить касательные напряжения в указанных точках сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силыкН (Рис.5.14).

Рис.5.14

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К (Рис.5.15). Проведем через эту точку линию, параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис.5.15) может быть найден как сумма статических моментов двух площадейи:

. (а)

Рис.5.15

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной линии сечения достигает для половины сечения. Следовательно, максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.

Вернемся теперь к рис.5.14. Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3 лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадлежит полке, точка №3 – стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и принадлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси . Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.

Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси :

см⁴.

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как отсеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением, и ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен нулю. С другой стороны, если в качестве отсеченной площади рассматривать все сечение, то статический момент всей площади относительно нейтральной линии сечения , как центральной оси, равен нулю.

Для определения касательного напряжения в точке №2 проводим через точку №2 линию, параллельную оси . Отсеченная площадь лежит выше этой линии и составляетсм². Вычисляем расстояние от центра тяжести отсеченной площади до оси. Оно равно 11см. Находим касательные напряжения в точке №2:

Мпа.

При определении касательного напряжения в точке №3 следует помнить, что статический момент площади отсеченной части в этом случае остается прежним, так как точки №2 и №3 находятся на одинаковом расстоянии от оси . Только точка №2 принадлежит полке, а точка №3 принадлежит стенке двутавра. В связи с этим касательное напряжение в точке №3 будет равно:

Мпа.

Для определения напряжения в точке №4, проведем через эту точку линию, совпадающую с осью . Отсеченная площадь представляет собой тавр. Статический момент площади тавра вычислим, используя выражение (а), приведенное выше. В немпредставляет собой площадь полки,площадь половины стенки;расстояние от центра тяжести полки до оси;расстояние от центра тяжести половины площади стенки до оси. Касательные напряжения в точке №4 будут равны:

Мпа.

Как уже отмечалось выше, в силу симметрии МПа,МПа;.

Откладываем найденные значения касательных напряжений от базисной линии и строим эпюру касательных напряжений (Рис.5.14).

Пример 5.7. Во сколько раз касательное напряжение в точке В больше, чем в точке А? Точка О – центр тяжести сечения (Рис.5.16).

Рис.5.16

Решение:

Проведем через точки А и В линии, параллельные оси . Отсеченные площади на рис.5.16 заштрихованы. Вычислим статические моменты заштрихованных площадей относительно осии отнесем их к ширине сечения в точках А и В соответственно.

При одной и той же поперечной силе и одном и том же моменте инерции сечения относительно оси касательные напряжения в точках В и А относятся как:

.

Таким образом, касательное напряжение в точке В в 7,5 раз больше, чем в точке А.

Пример 5.8. Как изменится максимальное касательное напряжение при изгибе, если поперечное сечение балки перевести из положения I в положение II ? (Рис.5.17).

Рис.5.17

Решение:

При решении данной задачи следует помнить, что при повороте сечения из положения I в положение II меняются не только ширина сечения и статический момент площади сечения (отсеченные площади заштрихованы), но и моменты инерции относительно оси .Поэтому при одной и той же поперечной силе величины максимальных касательных напряжений в положених сечения I и II будут относиться, как:

.

Таким образом, величина максимального касательного напряжения при повороте сечения из положения I в положениеII не изменится.

Пример 5.9.Какая из изображенных эпюр касательных напряжений при изгибе построена правильно? (Рис.5.18).

Рис.5.18

Решение:

При анализе таких эпюр следует помнить:

1. Максимальные касательные напряжения возникают в нейтральном слое. Нейтральная линия сечения проходит через центр тяжести.

2. В месте резкого изменения ширины сечения касательные напряжения меняются скачком. При увеличении ширины сечения напряжения скачкообразно уменьшаются, при уменьшении ширины сечения касательные напряжения скачкообразно увеличиваются. Поэтому из предложенных вариантов эпюр касательных напряжений верным является вариант в).