5.3. Расчет балок на прочность. Условие прочности при изгибе

Формула (5.13) решает вопрос о величине и распределении нормальных напряжений по сечению. Она выведена в предположении наличия чистого изгиба, когда сечения остаются плоскими.

Исследования показали, что когда поперечная сила не равна нулю, сечения не только поворачиваются, но и несколько искривляются под влиянием касательных напряжений. Однако это искривление для двух смежных сечений таково, что оно не меняет установленного выше закона распределения деформаций волокон, заключающихся между этими сечениями. Поэтому формула (5.13) может быть применена и в том случае, когда поперечная силане равна нулю.

Для проверки прочности балки по нормальным напряжениям необходимо найти наиболее напряженные растянутые или сжатые волокна сечения. Для этого необходимо применить формулу (5.13) к опасному сечению, т.е. подставить в нее вместо изгибающего момента его наибольшее значение , которое назовем расчетным изгибающим моментом, а вместоподставить расстояние от нейтральной линии сечения до наиболее удаленных от нее точек. Тогда для наибольшего нормального напряжения получаем формулу:

. (5.14)

Обычно эту формулу преобразовывают, деля числитель и знаменатель на :

.

Величина называется осевым моментом сопротивления сечения и обозначается буквой. Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, например (см³). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше , тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характеризуетвлияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

Максимальные напряжения, действующие в балке, могут быть найдены из выражения

. (5.15)

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси . Так, при высоте прямоугольника (Рис.5.7), равной

и .

Рис. 5.7

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (Рис.5.7,б): и другой для волокон В:. Теперь в формулу (5.15) следует вводить: при вычислении напряжений в точке А и  при вычислении напряжений в точке В.

Запишем условие прочности при изгибе. Это условие выражает ту мысль, что наибольшее действительное напряжение должно быть не больше допускаемого:

(5.16)

Условие прочности (5.16) решает три задачи:

1. Задача проверочного расчета, заключающаяся в вычислении максимальных действительных напряжений в изгибаемой балке и сравнении этих напряжений с допускаемым. Если действительные напряжения не превышают допускаемой величины, считается, что прочность не нарушена и конструкцию можно эксплуатировать дальше.

2. Задача подбора величины допускаемой нагрузки. В результате решения этой задачи определяется допускаемое значение для расчетного изгибающего момента, а затем находятся допускаемые значения самих внешних нагрузок, функцией которых является расчетный изгибающий момент:

. (5.17)

3. Задача проектировочного расчета, заключающаяся в определении размеров поперечного сечения балки при известном расчетном изгибающем моменте и известном допускаемом напряжении:

. (5.18)

Здесь: требуемый момент сопротивления.

При расчете балок на прочность следует различать два случая. Первый случай, наиболее часто встречающийся при изгибе, когда материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию; в этом случае допускаемые напряжения для того и другого вида деформации равны между собой:

.

Тогда при симметричном сечении безразлично, проверять ли прочность растянутых или сжатых волокон, ибо для тех и других момент сопротивления и наибольшие действительные напряжения будут иметь одну и ту же величину. При несимметричном сечении в формулу (5.16) вместонадо подставить меньшее значение изи; оно будет относиться к наиболее удаленному волокну.

Второй случай имеет место, когда материал балки неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию; тогда вместо одного условия прочности мы получаем два: одно -–для растянутых, другое – для сжатых волокон:

; . (5.19)

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, что больше  ⁺или, приходится соответствующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобыиудовлетворяли условию прочности.

Рассмотрим несколько примеров определения моментов сопротивления сечений и расчета балок на прочность.

Пример 5.2. У которой из фигур (Рис.5.8), имеющих одинаковую площадь, момент сопротивления относительно оси ,будет наибольшим? Определить наибольший момент сопротивления.

Рис.5.8

Решение:

В примере 4.8 были найдены моменты инерции каждого из сечений относительно центральной оси сечения .

Найдем моменты сопротивления:

для сечения круглой формы:

см³;

для сечения квадратной формы:

см³;

для сечения прямоугольной формы:

см³;

для сечения треугольной формы:

см³.

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у сечения прямоугольной формы: см³.

Пример 5.3.На рисунке изображены поперечные сечения 4х балок (Рис.5.9), изготовленных из одинакового материала. Которая из балок является наиболее прочной?

Рис.5.9

Решение:

Наиболее прочной будет балка, у которой момент сопротивления относительно оси будет наибольший. Вычислим моменты сопротивлениядля каждого из сечений.

Квадратное сечение.

см³.

Прямоугольное сечение.

см³.

Круглое сечение.

см³;

Ромбовидное сечение. Рассматриваемое сечение получилось путем поворота горизонтальной оси квадратного сечения на 45⁰. В результате момент инерции сечения относительно осине изменился и может быть вычислен как для квадратного сечения:

см⁴.

Осевой момент сопротивления найдем, разделив момент инерции на :

см³.

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у круглого поперечного сечения: см³. Следовательно, балка с круглым поперечным сечением обладает наибольшей прочностью.

Пример 5.4.Как изменится прочность балки, если поперечное сечение будет переведено из положения “I” в положение “II” (Рис.5.10)?

Рис.5.10

Решение:

1. Вычислим осевой момент сопротивлениядля положения сеченияI :

см³.

2. Вычислим осевой момент сопротивлениядля положения сеченияII:

см³.

3. Найдем отношение осевых моментов инерции для положения сеченияI

и II:

Таким образом, при переводе сечения из положения I в положениеII прочность балки уменьшается в 3 раза.