Тема 4 геометрические характеристики плоских фигур

4.1. Понятие о статическом моменте площади. Определение положения центра тяжести плоской фигуры

Одной из наиболее распространенных геометрических характеристик плоской фигуры является ее площадь . Площадь при осевом растяжении и сжатии является геометрическим фактором прочности: чем больше площадь поперечного сечения растягиваемого элемента конструкции, тем меньше величина напряжений, возникающих в стержне. Площадь поперечного сечения является также геометрическим фактором жесткости деформируемого элемента конструкции при его растяжении. Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше удлинение стержня. Однако площадь поперечного сечения не может служить геометрическим фактором прочности и жесткости для таких видов деформации как изгиб, кручение, для некоторых сложных видов деформации. Поэтому познакомимся с некоторыми другими видами геометрических характреристик плоских фигур. Одной из таких характеристик является статический момент площади.

Рассмотрим плоскую фигуру произвольного очертания (Рис.4.1). Выберем начало координат и зададим положение в этой системе бесконечно малой площади координатамии.

Рис.4.1

Величины, равные интегральной сумме произведения элементарной площади на координату:

и (4.1)

называются соответственно осевыми моментами площади фигуры относительно осей и . Размерность статического момента площади – (длина³).

Статические моменты площади простой фигуры, положение центра тяжести которой заранее известно, относительно выбранных осей и (Рис.4.2) найдем из формул:

; , (4.2)

где и координаты центра тяжести фигуры в выбранной системе координат.

Рис.4.2

Из рис. 4.2 хорошо видно, что статические моменты площади фигуры относительно осей и, проходящих через центр тяжести фигуры, будут равны нулю. В этом сотоит основное свойство статического момента плошади:статический момент площади относительно любой оси, проходящей через центр тяжести фигуры, равен нулю.

Из выражений (4.2) можно получить еще один важный вывод. Оказывается, из этих формул можно получить выражения для определения положения центра тяжести фигуры:

; . (4.3)

Используя эти формулы можно определять положение центра тяжести сложных фигур. Рассмотрим пример решения такой задачи.

Пример 4.1. Найти положения центра тяжести фигуры, имеющей форму тавра (Рис.4.3).

Решение:

1. Разбиваем изображенную на рис 4.3 фигуру на простые и присваиваем им номера 1 и 2. Центры тяжести каждой из простых фигур обозначаем соответственно и.

2. Проводим через центры тяжести каждой из фигур оси ,и ось. Осьявляется осью симметрии фигуры, проходит через центры тяжести обеих простых фигур и всей фигуры также и поэтому индексации не имеет.

Рис.4.3

3. Выбираем в качестве начала координат центр тяжести второй фигуры и вкачестве оси, относительно которой будем производить все вычисления, ось .

4. Вычислим статический момент площади фигуры относительно оси :

см³. (а)

В формуле (а) координата центра тяжести второй простой фигуры , так как ось, относительно которой определялся статический момент площади, проходит через центр тяжести второй фигуры. В соответствии с основным своим свойством статический момент площади относительно любой центральной оси равен нулю. В связи с этим для сокращения арифметических вычислений при определении положения центра тяжести сложных фигур рекомендуется выбирать в качестве начала координат центр тяжести одной из простых фигур.

4. Находим коородинату центра тяжести всей фигуры, используя выражение (4.3):

см.

Найденное значение координаты центра тяжести отложим вдоль оси вверх от точки, так как это значение положительное. Полученную точку обозначим буквой. Ось, проведеннаяя через центр тяжести всей фигуры будет одной из центральных осей фигуры. Вторая центральная ось фигуры в данном примере не определяется, так как этой осью является ось симметрии. Статические моментыпростых фигур и всей фигуры относительно этой оси равны нулю. В соответствии с выражением (4.3) координата центра тяжести всей фигуры.

Анализируя полученное решение, можно сделать вывод о том, что при определении центра тяжести для сложных фигур очень важно удачно выбрать начало координат и, соответственно, оси, относительно которых производятся все вычисления. Как уже отмечалось выше, начало координат следует помещать в центр тяжести одной из простых фигур.