4.2. Осевые, полярный и центробежный моменты инерции

Рассмотрим еще несколько геометрических характеристик плоских фигур. Одна из этих характеристик носит название осевого или экваториального момента инерции. Эта характеристика относительно осей и(Рис.4.1) принимает вид:

; . (4.4)

Основным свойством осевого момента инерции является то, что он не может быть меньше нуля или равным нулю. Этот момент инерции всегда больше нуля: ;. Единица измерения осевого момента инерции – (длина⁴).

Соединим отрезком прямой линии начало координат с бесконечно малой площадьюи обозначим этот отрезок буквой(Рис.4.4). Момент инерции фигуры относительно полюса – начала координат – называется полярным моментом инерции:

. (4.5)

Этот момент инерции так же, как и осевой, всегда больше нуля () и имеет размерность – (длина⁴).

Запишем условие инвариантности суммы экваториальных моментов инерции относительно двух взаимно перепендикулярных осей. Из рис.4.4 видно, что .

Рис.4.4

Подставим это выражение в формулу (4.5), получим:

(4.6)

Формулируется условие инвариантности следующим образом: сумма осевых моментов инерции относительно двух любых взаимно перпедикулярных осей есть величина постоянная и равная полярному моменту инерции относительно точки пересечения этих осей.

Момент инерции плоской фигуры относительно одновременно двух взаимно перепендикулярных осей называется двухосным или центробежным моментом инерции. Центробежный момент инерции имеет следующий вид:

. (4.7)

Центробежный момент инерции имеет размерность – (длина⁴). Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называютсяглавными осями инерции. Докажем, что ось симметрии плоской фигуры является главной осью.

Рассмотрим плоскую фигуру, изображенную на рис.4.5.

Рис.4.5

Выберем слева и справа от оси симметрии два элемента с бесконечно малой площадью. Центр тяжести всей фигуры находится в точке С. Поместим начало координат в точку С и обозначим координаты выбранных элементов по вертикали буквой“”, по горизонтали – для левого элемента “”, для правого элемента “”. Вычислим сумму центробежных моментов инерции для выбранных элементов с бесконечно малой площадью относительно осей и:

(4.8)

Если проинтегрировать выражение (4.8) слева и справа, получим:

, (4.9)

так как, если ось является осью симметрии, то для любой точки, лежащей слева от этой оси, всегда найдется ей симметричная.

Анализируя полученное решение, приходим к выводу, что ось симметрии является главной осью инерции. Центральная осьтакже является главной осью, хотя она и не является осью симметрии, так как центробежный момент инерции вычислялся одновременно двух осейии оказался равным нулю.