5.4. Определение касательных напряжеий при изгибе

В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе в сечении бруса возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Поэтому в поперечном сечении наряду с нормальным напряжениями возникают также и касательные напряжения.

Опыт показывает, что касательные напряжения возникают также и в продольных сечениях и вызывают сдвиги отдельных волокон относительно друг друга. Вследствие сдвигов гипотеза плоских сечений при поперечном изгибе нарушается, плоские до деформации сечения слегка искривляются.

Теоретические и экспериментальные исследования этого вопроса показали, что влияния указанного эффекта на величину нормальных напряжений невелико и поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений пренебрегают. Таким образом, гипотеза плоских сечений условно распространяется также и на поперечный изгиб.

Поэтому для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе применяют ту же формулу, которая была получена для чистого изгиба (5.13).

Для вывода формулы для касательных напряжений мысленно вырежем из балки (Рис.5.11) элемент длиной и дополнительным продольным сечением рассечем его на две части (Рис.5.12).

Рис.5.11

Рассмотрим равновесие одной из отсеченных частей, например, верхней, на которую с обоих торцов действуют сжимающие напряжения (Рис.5.12,а).

С правой стороны в каждой площадке напряжения больше, чем с левой, на величину. Так как изгибающий момент справа больше, чем слева, на величину, то

.

Сжимающая сила, действующая на отсеченную часть с правой стороны, больше, чем с левой, на величину

. (5.20)

Рис.5.12

Интегрирование распространяется на площадь отсеченной части , заштрихованой на рис.5.12,в.

Интеграл в выражении (5.20) представляет собой статический момент отсеченной части относительно нейтральной линии сечения

.

Поэтому

.

Для того, чтобы отсеченная часть элемента находилась в равновесии, в продольном сечении к ней должны быть приложены касательные напряжения(Рис.5.12,а). Эти напряжения создают касательную силу, которая по условию равновесиядолжна быть равна силе:

,

или

(5.21)

Однако для определения напряжений надо знать закон их распределения по ширине балки. Сделаем допущение, что напряженияраспределены равномерно по ширине сечения. При таком допущении сдвигающая силаопределяется выражением:

,

где ширина поперечного сечения в той точке, в которой определяется касательное напряжение.

Учитывая равенство (5.21), получим:

.

Но

,

поэтому окончательно имеем

. (5.22)

Эта формула получила название формулы Д.И.Журавского, который впервые установил наличие касательных напряжений при изгибе.

Дмитрий Иванович Журавский – русский механик и инженер – принимал участие в постройке Николаевской железной дороги из Петербурга в Москву, спроектировал и построил металлический шпиль Петропавловского собора в Петербурге. Его работы посвящены применению математических методов в строительной механике. Он впервые дал определение касательных напряжений в изгибаемых балках и вывел формулу для определения касательных напряжений при изгибе.

На основании закона парности касательных напряжений, в соответствии с которым на двух взаимно перпендикуляоных площадках действуют одинаковые по величине и противоположные по знаку касательные напряжения, полученная формула определяет касательные напряжения в поперечном сечении балки в точках, лежащих на линии (Рис.5.12,в).

Из формулы (5.22) видно, что касательные напряжения меняются по высоте сечения по тому же закону, что и величина .

В прямоугольном сечении, у которого , закон распределения касательных напряжений по высоте сечения будет таким же, как и для величины статического момента площади отсеченной части.

В любом поперечном сечении статический момент площади отсеченной части для самых удаленных точек равен нулю, так как . Поэтому и касательные напряжения в этих точках также равны нулю.

Рассмотрим примеры построения эпюр касательных напряжений для некоторых типов поперечных сечений.

Пример 5.5.Прямоугольное сечение. Определить величину касательных напряжений (в МПа) при изгибе в точке К поперечного сечения (Рис.5.13), если поперечная силакН. Найти максимальные касательные напряжения в сечении и построить эпюру распределения касательных напряжений по высоте сечения.

Решение:

1. Сначала получим закон распределения касательных напряжений по высоте сечения. Для этого возьмем произвольную точку К, отстающую от нейтральной линии сечения на расстоянии(Рис.5.13).

Рис.5.13

Проведем через эту точку сечение параллельно оси ; ширина этого сечения будет. Статический момент площади отсеченной (заштрихованной) части равен

; ,

следовательно,

.

Как известно,

.

Подставляя полученные значения в формулу (5.22), получим:

. (5.23)

Формула (5.23) показывает, что касательные напряжения по высоте сечения изменяются по закону квадратной параболы. При получим, а прибудем иметь

. (5.24)

На рис 5.13 дан общий вид эпюры , при построении которой ординаты, численно равные касательным напряжениям, отложены перпендикулярно прямой, параллельной оси.

2. Найдем численное значение величины максимальных касательных напряжений и касательных напряжений, действующих в точке К. Пусть координата точки К равна . Воспользуемся выражением (5.23):

МПа.