Завдання 4

Завдання відрізняється від попереднього тим, що у ньому треба промоделювати нелінійні вузли.

У пояснювальній записці КР надати лістинги програм, осцилограми сигналів, обрахувати основні параметри сигналів, обчислити та викреслити гістограми розподілів випадкових сигналів, надати енергетичні спектри.

Зазвичай обрахування статистичних параметрів робити за допомогою влаштований опцій математичного середовища MathCAD та ін. Усереднення робити за 50...100 вибірками.

У завданні пропонується змоделювати відомі нелінійні типові вузли. Номер варіанта завдання студент обирає по mod₅(A), де А остання цифра номера залікової книжки, тобто номери варіантів можуть бути (1, 2, 3, 4, 5(0)).

Варіант 4.1

Змоделювати однонапівперіодний випрямляч.

Варіант 4.2

Змоделювати двонапівперіодний випрямляч.

Варіант 4.3

Змоделювати АМ-детектор.

Варіант 4.4

Змоделювати ЧМ-детектор.

Варіант 4.5

Змоделювати ФМ-детектор.

Завдання 5

Для надійного та ефективного функціонування радіотехнічних систем необхідні вимірювальні засоби як типові, так і спеціально розроблені для CNS.

До стандартних вимірювальних засобів належать амплітудні аналізатори – вимірювачі гістограм, вимірювачі дисперсії або середньоквадратичного відхилення, кореляційної функції та енергетичного спектру випадкових процесів.

На практиці застосовуються велика кількість приладів для вимірювання періодичних і неперіодичних детермінованих процесів (амплітуд, частот, тривалостей імпульсів, періодів повторення, затримки тощо). Деякі ці вимірювачі побудовані з використанням дискретних алгоритмів оптимального оцінювання характеристик випадкових процесів з урахуванням об’єму вибірки. Алгоритм моделювання такого вимірювача повністю відповідний алгоритмові, покладеного до основи такого приладу.

Задача полягає в програмуванні типових алгоритмів побудови гістограм, обчислення тих чи інших моментів одновимірних розподілів, кореляційних функцій і спектрів тощо.

У завданні пропонується оцінити ефективність та точність алгоритмів оцінювання статистичних характеристик випадкових чисел. Номер варіанта завдання студент обирає по mod₃(A), де А остання цифра номера залікової книжки, тобто номери варіантів можуть бути (1, 2, 3(0)).

Варіант 5.1

За допомогою наведених нижче алгоритмів оцінити математичного сподівання, дисперсії та автокореляційної функції згенерованих масивів випадкових чисел.

Перший початковий момент аналогової випадкової величини обчислюється як інтеграл

або для дискретизованої величини за формулою

Другий центральний момент розподілу випадкової величини, або дисперсія, визначається у цій саме послідовності за виразом

Автокореляційна функція випадкового процесу за послідовністю його значень обчислюється за формулою

де моменти визначаються за різними частинами послідовності.

Нормована актокореляційна функція .

Для оцінювання тих самих моментів використати також влаштовані оператори оцінювання математичного середовища MathCAD чи іншого та порявняти результати оцінювання.

Варіант 5.2

За допомогою наведених нижче алгоритмів оцінити розподіли згенерованих масивів випадкових чисел.

Як відомо, найбільш повний опис випадкового процесу дає багатовимірна функція розподілу імовірностей

(2.5)

де – значення, яке приймає випадковий процес (2.5) у моментt_i.

Одновимірна інтегральна функція розподілу імовірності випадкової величини визначена формулою (2.5) для п = 1. Імовірність знаходження випадкової величини х нижче заданого рівня v може бути оцінена за вибіркою відношенням кількості вибіркових значень, які виявилися менше рівняv, до загального обсягу вибірки k.

Для побудови оцінки інтегрального розподілу визначають найменше та найбільше значення рангової вибірки

.

Діапазон можливих значень поділяється на необхідну кількість інтервалів L і визначається розмір інтервалів, необов’язково однакових, та їхні границі. Бажано ліву границю суміщати з початком координат, кількість інтервалів оцінки () обирати порядку десяти, суміщати сусідні інтервальні вибірки, якщо до них потрапило мало відліків або маємо інверсні значення інтервальної оцінки імовірності, коли замість монотонної картини оцінювання є викиди або провали в інтервалах (рис.2.1).

Оцінка інтегрального розподілу нижче лівої границі приймається нульовою , вище правої границі.

Для побудови оцінки щільності розподілу імовірностей найбільш часто застосовують гістограми. Цей метод базується на побудові похідної інтегрального розподілу (рис.2.2).

Оскільки оцінка W*(x) є кусковоламаною функцією з постійною похідною на інтервалі, то графік складатиметься з клітин однакової висоти w*(x) на інтервалі Δ

. (2.4)

Площина кожної клітини гістограми дорівнює імовірності потрапляння випадкової величини у певний інтервал, а загальна площа за умовою нормування – одиниці.

Алгоритм (2.4) дає зміщену оцінку розподілу

Для тих самих множин випадкових чисел застосувати влаштовані оператори обрахування гістограм. Порявняти результати власних та влаштованих програм.

Варіант 5.3

За допомогою наведених нижче алгоритмів оцінити енергетичні спектри згенерованих масивів випадкових чисел

Алгоритм оцінювання спектру щільності потужності випадкового процесу

Щільність потужності послідовності в околі частоти може бути визначена діленням щільності енергії на тривалість відрізку часу, за яким визначена послідовність

(2.5)

Сукупність коефіцієнтів у виразі (2.5) дає змогу побудувати розподіл щільності потужності послідовності за частотою.

Спектр потужності, побудований за (2.5) називається періодограмою або вибірковим спектром. Він є оцінкою спектру потужності випадкового процесу, до якого належить дискретизована реалізація . Оскільки реалізація випадкова, то і оцінка спектру потужності є випадковою величиною. Для побудови періодограм існують два способи.

Дискретизовану послідовність випадкового процесу стаціонарного процесу розбивають на декілька частин q, кожна з яких має таку кількість вибіркових відліків, що за кожною частиною обчислюють вибірковий спектр

Оцінку спектру потужності процесу знаходять для кожної з частот усередненням отриманих q оцінок

Цей алгоритм має малу розділову здатність, бо замість N гармонічних складових оцінюються лише q.

Другий спосіб полягає в тому, що послідовність значень оцінок (2.5) згладжується за допомогою дискретного ФНЧ і отримуємо згладжені оцінки кожної з щільностей. Недолік цього алгоритму той самий – мала розділова здатність і треба шукати компроміс між дисперсією оцінки і розділовою здатністю.

Інший спосіб оцінювання спектральної потужності базується на теоремі Вінера – Хінчина, яка пов’язує спектр потужності стаціонарного випадкового процесу і його кореляційну функцію

(2.6)

(2.7)

Вираз (2.6) є прямим перетворенням Фур’є, а вираз (2.7) – оберненим.

Алгоритм оцінювання спектру потужності отримуємо, якщо замінимо у виразі (2.7) теоретичну кореляційну функцію на її оцінку

Інтеграл (2.7) обчислюється за методом прямокутників, і оцінка спектру потужності має вигляд

.

Для тих самих множин випадкових чисел застосувати влаштовані оператори обрахування спектру. Порявняти результати власних та влаштованих програм.