3. Циклічні групи.
Озн.
Підгрупа
,
що складається з усіх степенів ел-таa
(усіх кратних числу a,
якщо адитивна форма запису) назив.
циклічною
групою,
породженою елементом a.
Пр-ди. М={1,2,3}
a)
Підгрупа
-?
Озн. Якщо G-група і ел-т a є G, то порядок підгрупи (a) наз. порядком ел-та a.
Озн. Група G наз. циклічною, якщо вона збігається з однією із своїх циклічних підгруп. (Пр-д: (Z; +; ‘)-циклічна при (1))
Т-ма1.
Для
кожної цикліч. групи G
справдж. одне з 2-х: або G-нескінченна.
або існують такі числа, що
(m<>0)
Озн.
Якщо
,
наз.
правим суміжним класом
групи G
за підгрупою Н, а саме розбиття наз.
правостороннім розкладом групи G
за підгр. Н
Пр-д (Z; +; ‘) G=Z H=(4)={…,-8,-4,0,4,8,…}
b=a+h (h=4k) Розгул. мн-ну g+H
0+H=0`: 1+H=1`; 2+H=2`; 3+H=3`; 4+H=H
Z=0`+1`+2`+3`-розклад групи за підгрупою
Озн. Кількість суміжних класів групи G за підгрупою Н познач. (G:Н) і наз. індексом групи G за Н
(G:Н)=s | G |=n, | H |=k≤n
n=k∙s | G |= | H |∙(G:Н) (G:Н)=|G|/ |H|
Ми
довели теорему(Лагранжа):
В скінченній групі G
порядок будь-якої її підгрупи є дільником
порядка групи.
Озн.
Підгр. Н гр.. G
наз. нормальним дільником гр.. G
якщ0
для довільного ел-та гр..G
і h
єH.
Пр-ди. Будь-яка підгрупа абелевої групи
Т-ма(Критерій
норм. дільника).
Озн.
Сукупність усіх суміжних класів гр.. G
наз. фактор-множиною
Введемо дві операції.
Т-ма:
-група
(Фактор-група)
Озн. Ядром гомоморфізму наз. мн-ну усіх прообразів нейтрального елемента
Т-ма: Нехай f гомоморфізм гр. G на гр.. G’ з ядром гомоморфізму Н=Ker f, тоді фактор-група G/Н ізоморфна групі G’
4. Означення і приклади кілець. Найпростіші властивості кілець Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
Означення 1. Алгебра K = < K , + , ,· > з двома бінарними операціями –додавання (+) і множення (·) та однією унарною операцією () називається кільцем, якщо її операції задовольняють аксіомам:
1) алгебра < K , + , > – адитивна абелева група ;
2) операція множення асоціативна
3) операція множення дистрибутивна відносно операції додавання,
Означення 2. Якщо операція множення в кільці К – комутативна, тобто
,
то кільце називається комутативним.
Властивості. 1. Так як кільце є адитивна абелева група, то всі властивості цієї групи є властивостями кільця, а саме:
а) в кільці існує i, тільки один, нульовий елемент;
б) в кільці для будь-якого елемента а існує, і тільки один, протилежний йому елемент – а;
в) в кільці сума n елементів кільця не залежить від способу розстановки дужок і від порядку слідування доданків;
г) якщо а+b=а+с, то b=с;
д) рівняння а+ х=b має єдиний розв’язок х=b – а.
2. Із 2) та 3) аксіом кільця випливають такі властивості:
а) (а1+а2+…+аn)b = а1b+а2b+…+аnb;
b(а1+а2+…+аn) = bа1+bа2+…+bаn;
(а1+а2+…+аn)(b1+b2+…+bm) = а1b1+а1b2+…+а1bm+а2b1+…+аnbm .
Означення 3. Алгебра K 1= <| K1|, + , – ,·> називається підкільцем кільця
K = <| K |, + , – ,·>, якщо:
1)
|K1|
|K|;
2)
a,b
|K1|
[a+b
|K1|];
3)
a,b
|K1|
[a·b
|K1|];
4)
a
|K1|
[–a
|K1|].
Отже, підмножина |k1| кільця k являється підкільцем цього кільця, якщо |k1| є кільце відносно операцій додавання, віднімання і множення, визначених в кільці k. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
Розглянемо
два кільця: K
= < |K|
, + , – , · >; K1=
< |K1|,
,
,
>.
Означення 1. Гомоморфізмом або гомоморфним відображенням кільця K в кільце K1 називається будь-яке відображення : |K| |K1|, кільця K в кільце K1, яке задовольняє умовам:
a, b
|K|[
(a+b)=
(а)
(b)];
2)
a, b
|K|[
(a·b)=
(а)
(b)].
5 Означення і приклади полів. Найпростіші властивості полів
В будь–якому кільці виконується операція віднімання – обернена операції додавання. Про виконання ділення – операції, оберненій множенню, в означенні кільця не говориться нічого. Разом з тим, важливу роль в математиці відіграють комутативні кільця, в яких виконується операція ділення, крім ділення на нуль. Їх називають полями.
Означення 1. Комутативне кільце Р = < |P|, + , – ,·> називається полем, якщо в ньому міститься хоч один елемент, відмінний від нуля, і якщо в ньому виконується операція ділення, крім ділення на нуль,тобто
a 0, b P [рівняння ax=b має єдиний розв’язок в P].
Властивості.
1. Так як поле є комутативне кільце, то всі властивості комутативного кільця є властивостями поля
2. Кожне поле містить одиницю і притому тільки одну
3.
Для будь-якого елемента a
існує
обернений елемент і притому тільки
один. Справді, рівняння ax=e
має розвязок
x=
a–1,
бо aa–1=a–1a=e.
Отже, обернений
елемент до a
існує.
Доведемо єдиність оберненого до а
елемента.
Нехай крім а–1
існує ще
один елемент u,
обернений до а,
тобто такий, при якому au=ua=e.
Тоді маємо:
u = ue = u(aa–1) = (ua)a–1 = ea–1 = a–1,
що й доводить однозначність оберненого елемента.
Означення 2. Підмножина А поля Р називається підполем поля Р, якщо вона сама є полем відносно тих самих головних операцій + (додавання) і · (множення), заданих у полі Р.
Приклади. 1. Поле Q раціональних чисел буде підполем поля R дійсних чисел.
2.
Поле < Q
[
],
+ , – , · >
буде підполем поля R
дійсних
чисел.
Означення 3. Полем дійсних чисел називається будь-яке упорядковане поле, в якому кожна обмежена зверху множина його елементів має точну верхню межу.
Позначатимемо поле дійсних чисел символом R. Елементи поля R називаються дійсними числами.
Записане означення подано в стислій формі. Насправді воно складається з аксіом, що визначають поле, аксіом упорядкованості поля й аксіоми точної верхньої межі. У розгорнутому вигляді його формулюють так: полем дійсних чисел називається будь-яка множина R= {a,b,c,…}, що містить принаймі два різних елементи, в якій означено дві бінарні операції – додавання і множення, й введено відношення a < b (“a менше b”), причому виконуються такі аксіоми:
Аксіоми поля
1.
(комутативність
додавання).
2.
(асоціативність додавання).
3.
(здійсненність
операції віднімання).
4.
(комутативність
множення).
5.
(асоціативність множення).
6.
(дистрибутивність множення відносно
додавання).
7.
,
(здійсненність
операції ділення, крім ділення на нуль).
Аксіоми упорядкованості поля
8.
справедливе одне і тільки одне із
співвідношень:
a=b, a<b, b<a.
9.
(транзитивність відношення
).
10.
(монотонність додавання).
11.
(монотонність
множення).
Аксіома точної верхньої межі
Кожна обмежена зверху множина
має в
точну верхню межу.
Зауважимо, що система аксіом поля дійсних чисел несуперечлива, повна і незалежна.
У полі дійсних чисел мають місце всі властивості будь-якого поля, а також властивості, які випливають із аксіом упорядкованості поля.