- •1 Питання. Бінарні відношення.Відношення еквівалентності і розбиття на класи , фактор множина.
- •2. Групи , приклади груп , найпростіші в-ті груп.Підгрупи, озн, і критерії. Гомоморфізми та ізоморфізми груп
- •3. Циклічні групи.
- •4. Означення і приклади кілець. Найпростіші властивості кілець Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
- •Отже, підмножина |k1| кільця k являється підкільцем цього кільця, якщо |k1| є кільце відносно операцій додавання, віднімання і множення, визначених в кільці k. Гомоморфізми та ізоморфізми кілець
- •6 Поля комплексних чисел Алгебраїчна форма запису комплексних чисел Тригонометрична форма комплексного числа
- •7 Системи лінійних рівнянь. Рівносильні системи рівнянь і елементарні перетворення. Метод Гаусса
- •8 Матриці і визначники . Матричний спосіб розв.Систем лінійних р-нь та формули Крамера.
- •9 N-вимірні вектори і операції над ними. Арифметичний векторний простір
- •Нехай:— довільна система векторів із простору Fn.
- •Нехай , -довільна система векторів простору Fn.
- •10 Критерій сумісності системи лінійних рівнянь Необхідні і достатні умови рівності визначника нулю.
- •Система лінійних рівнянь
- •11.N-вимірний векторний простір
- •Розглянемо дві системи векторів:
- •12 Лінійні перетворення. Власні числа і власні вектори матриці
- •1. . 2..
- •13 Питання.. Квадратичні форми
- •13.Квадратичні форми та їх застосування.З-н інерції квадр.Форм.(к.Ф)
- •14 Теорема про ділення з остач. Нсд, нск
- •15.Прості числа
- •16 Канонічний розклад числа у вигляді добутку.
- •17. Озн. І основні вл-ті конгруентності цілих чисел. Повна і зведена система лишків, їх властивості. Теорема Ейлера і Ферма.
- •18.Застосування теорії конгруенцій .
- •19. Многочлени над полем. Теорема про ділення з остачею.
- •20. Алгебраїчна замкненість поля комплексних чисел. Канонічний розклад многочлена над полем комплексних чисел і його єдність.
- •22. Будова простого розширення числового поля. Знищення ірраціональності в знаменнику дробу.
1 Питання. Бінарні відношення.Відношення еквівалентності і розбиття на класи , фактор множина.
Означення 4. Бінарним відношенням між елементами множин A і B називається будь-яка підмножина прямого добутку АB (тобто впорядкованы пари).
Найважливіші бінарні відношення мають певні назви і позначення: відношення рівності ( = ), паралельності ( ), перпендикулярності (), подільності ( ), включення (), подібності ( ) і т. п. Для багатьох відношень немає потреби вводити спеціальні назви і позначення. Домовимося бінарні відношення позначати малими грецькими буквами , ,і т. д., абоцими самими буквами з індексами.
Таким чином, згідно з означенням, кожне бінарне відношення – це якась сукупність впорядкованих пар елементів. Отже, будь-яка підмножина прямого добутку АB буде бінарним відношенням між елементами множин. Це так би мовити означення з “ запасом ”. Фактично при вивченні конкретних множин А і В інтерес становлять лише деякі такі підмножини, які мають певні характеристичні особливості своїх елементів. Якщо якась пара елементів а і b знаходиться у деякому відношенні, то це позначають так: (a, b) , або a b. Будемо говорити, що елемент а знаходиться у відношенні до елемента b, або для а і b виконується відношення , або а і b зв’язані відношенням .
Означення 7. Бінарне відношення ρ називається відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне і транзитивне.
Приклади. 1. Еквівалентними є, наприклад, такі відношення: рівності ( = ); паралельності ( ); подібності ( ).
2. Відношення ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} є відношенням еквівалентності.
3. Розглянемо множину цілих чисел Z. Візьмемо фіксоване натуральне число т . Визначимо у множині Z відношення так: ={ }. Отже, ZZ i (a,b) означає, що . Тоді:
1.Відношення рефлексивне. Справді, якщо а Z, то (а,а) , бо а–а=0 .
2. Відношення симетричне. Справді, якщо (a,b) , тобто , то b – a теж ділиться на т і, отже, (b,a) .
3. Відношення транзитивне. Справді, нехай (a,b) і (b,c), тобто і . Тоді а – с=(a – b)+ , тобто (а,с).
Отже, відношення є відношенням еквівалентності. Його називають відношенням конгруентності чисел і замість (a,b) або а b записують: (читають: “а конгруентне зb за модулем т”).
Означення 8. Нехай ρ (ρАА) – відношення еквівалентності і аА. Класом еквівалентності, породженим елементом а, називається множина {x x ρ a xA}, тобто множина всіх таких х із А, що (х,а)ρ.
Клас еквівалентності, породжений елементом а, позначають так: [a], або [a]ρ. Отже, за означенням [a]={x (x,a)ρ xA}.
Означення 9. Розбиттям непорожньої множини А називається сукупність S непорожніх підмножин множини А таких, що кожний елемент множини A належить одній і тільки одній підмножині з S.
Теорема 1. Довільні два класи еквівалентності за відношенням або збігаються , або не мають спільних елементів.
Доведення. Припустимо, що класи еквівалентності [a] і [b] мають спільний елемент c, c [a] і c [b], тобто (c, a) (c, b) . Переконаємося, що в цьому випадку [a]=[b]. Якщо x – довільний елемент з класу [a], то (x, a) . Згідно симетричності , так як (c, a) , то і (а,с) . За властивістю транзитивності випливає , що (x, c). Далі маємо: (x, c)(c, b)(x, b)x [b]. Отже, x [a]x [b], тобто [a][b]. Так само встановлюємо, що [b][a], звідки й виходить, що[a]=[b].
Фа́ктор-множино́юмножини за заданимвідношенням еквівалентності ~, називаєтьсямножинавсіхкласів еквівалентностімножини, утворених цим відношенням. Позначається . Фактор-множина визначаєрозбиття множининапідмножини(класи еквівалентності), які попарно неперетинаються.