3. Распределение молекул по энергиям Примеры типовых задач

Задача 1.

Решение

Запишем закон Максвелла:

.

Азот находится под давлением p = 1 атм при температуре Т = 300 К. Найти относительное число молекул азота, модуль скорости которых лежит в интервале скоростей от <υ > до <υ> + υ, где υ = 1 . Внешние силы отсутствуют.

Дано:

 = 28 ^. 10^–3

p = 1 атм = 10⁵ Па

Т = 300 К

υ = 1 V = 1 м/c

Найдем среднюю скорость молекул

;

.

Масса одной молекулы

кг,

k = 1,38 ^. 10^–23 – постоянная Больцмана.

.

Можно решить задачу в общем виде, подставив в закон Максвелла выражение средней скорости тогда получим

.

Ответ:

Задача 2. В кабине вертолета барометр показывает давление 675 мм рт. ст. На какой высоте летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление 750 мм рт. ст. Температуру воздуха считать неизменной и равной 17 ⁰С.

Решение

Зависимость давления от высоты определяется барометрической формулой.

,

Дано:

μ = 29 ^. 10^–3

= 750 мм рт. ст.

р = 675 мм рт. ст.

Т = 290 К

h - ?

откуда находим высоту h:

,

откуда

м.

Ответ: h = 895 м.

Данные 1-10 вариантов приведены в табл. 2, где m – масса газа; μ – молярная масса; n – концентрация молекул газа; V, р, T – объем, давление температура газа соответственно; N – число молекул газа; – средняя квадратичная скорость молекул газа; – наиболее вероятная скорость; – средняя арифметическая скорость; – плотность газа;h – высота.

Таблица 2

Исходные данные

вариант	газ	m, кг	р, Па	V, м3	Т, К	м/с	м/с	м/с	N	h, м	кг/м3
1	газ	-	5·104	-	-	-	450	-	-	-	?
2	О2	10-2	0,9·105	2·10-3	-	?	?	?	?	-	?
3	О2	-	-	-	293	?	?	?	-	-	-
4	газ	-	-	-	-	?	950	?	-	-	-
5	воздух	-	?	-	288	-	-	-	-	100	-
6	воздух	?		1	273	-	-	-	-	-	-
7	H2	-	-	-	273	?	?	?	-	-	-
8	N2	-	-	-	?	-	700	-	-	-	-
9	газ	6·10-4	2·105	4·10-3	-	?	?	?	-	-	-
10	He	-	-	-	400	?	?	?	-	-	-

Примечание: молярная масса воздуха .

11. Какая часть молекул кислорода при 0 ⁰С обладает скоростями 100…110 .

12. Какая часть молекул азота при 150 ⁰С обладает скоростями 300…325 .

13. При какой температуре молекулы гелия имеют такую же среднюю квадратичную скорость, как молекулы водорода при температуре 15 ⁰С?

14. На какой высоте давление воздуха составляет: 1) 75 % от давления на уровне моря? 2) 50 % от давления на уровне моря. Температуру считать постоянной и равной 0 ⁰С.

15.Считая атмосферу изотермической, а ускорение свободного падения - не зависящим от высоты, вычислить давление:

1) на высоте 5 км; 2) на высоте 10 км; 3) в шахте на глубине 2 км. Расчет произвести для температуры 20 ⁰С. Давление на уровне моря принять равным .

16. На сколько уменьшится атмосферное давление при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту 100 м? Температуру считать постоянной и равной 15 ⁰С.

17. Какое изменение высоты соответствует изменению давления на 1 мм рт. ст. вблизи поверхности Земли, где температура 15 ⁰С, давление 760 мм рт. ст., и на высоте 10 000 м, где температура –50 ⁰С, давление 198 мм рт. ст.?

18. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление 596 мм рт. ст., благодаря чему летчик считает высоту полета неизменной. Однако температура изменилась от 2 ⁰С до 1 ⁰С. Какую ошибку в определении высоты допустил летчик.

19. Пассажирский самолет совершает полет на высоте 8300 м. В кабине при помощи компрессора поддерживают постоянное давление, соответствующее высоте 2700 м.

Найти: 1) разность давлений внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха считать равной 0 ⁰С; 2) во сколько раз плотность воздуха в кабине больше плотности воздуха вне ее, если температура наружного воздуха –20 ⁰С, а внутри кабины +20 ⁰С.

20. Азот находится при температуре Т = 421 К. 1) Найти значение наиболее вероятной скорости молекул; 2) определить относительное число молекул, скорости которых заключены в пределе от 499,9 до 500,1.

21. На какой высоте над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на поверхности? Температуру воздуха считать неизменной и равной 0 ⁰С.

22. Какая часть молекул водорода при 0 ⁰С обладает скоростями от 2000 до 2100?

23. Какая часть молекул азота, находящегося при температуре Т, имеет скорости, лежащие в интервале , где= 20? Задачу решить для: 1)Т = 400 К; 2) Т = 900 К.

24. На какой высоте давление воздуха составляет 60 % от давления на уровне моря? Считайте, что температура воздуха везде одинакова и равна 10 С.

25. Каково давление в шахте на глубине 1 км, если считать, что температура по всей высоте постоянная и равна 22 С, а ускорение свободного падения не зависит от высоты? Давление воздуха у поверхности Земли примите равным p₀.

26. При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?

27. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу наиболее вероятной скорости.

28. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите формулу средней арифметической скорости.

29. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите среднюю квадратичную скорость.

30. Определите отношение давления воздуха на высоте 1 км к давлению на дне скважины глубиной 1 км. Воздух у поверхности Земли находится при нормальных условиях, и его температура не зависит от высоты.