6.5. Степенные средние: виды и формы

Общая формула расчета степенных средних представлена в таблице 7.

Таблица 7

Общая формула степенной средней

Форма	Формула расчета	Обозначения
А	1	2
Простая (незвешенная) − рассчитывается по несгруппированным данным		− средняя величина признака; − показатель степени средней; −-й вариант (значение) осредняемого признака (i=1, ….,n); − число вариантов
Взвешенная − рассчитывается по сгруппированным данным		− частота (вес)-того варианта, показывающая, сколько раз встречается-тое значение осредняемого признака

Общая формула расчета степенных средних имеет показатель степени .В зависимости от того, какое значение он принимает, различают виды степенных средних. Их формулы расчета представлены в таблице 8.

Таблица 8

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета		Пояснение
		простая (незвешенная)	взвешенная
А	1	2	3	4
Гармоническая	-1			Взвешенная применяется тогда, когда не известны частоты, а известно. Простая может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значениядля всех единиц совокупности равны
Геометрическая	0			Простая применяется для расчета среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики, если задана последовательность цепных относительных показателей динамики
Арифметическая	1			Простая применяется, когда все частоты равны меду собой. Взвешенная применяется, когда частоты не равны между собой
Квадратическая	2			Наиболее широко этот вид средней применяется при расчете показателей вариации

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени k увеличивается и соответствующая средняя величина:

Средняя арифметическая и средняя гармоническая – наиболее распространенные виды средней, получившие широкое применение в плановых расчетах, при расчете общей средней из средних групповых и при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок. Их выбор определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации.

Определение средней арифметической в ряде случаев требует больших затрат времени. Для упрощения вычисления средних величин используются свойства средней арифметической (без доказательств):

1. Средняя величина от постоянной величины равна ей самой: .

2. Произведение средней величины на сумму частот равно сумме произведения вариантов на их частоты: .

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя величина увеличится или уменьшится на эту же величину: .

4. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя величина увеличится или уменьшится в то же число раз: .

5. Если все частоты увеличить или уменьшить в одинаковое число раз, средняя величина не изменится: .

6. Средняя величина суммы равна сумме средних величин: .

7. Сумма отклонений всех значений признака от средней величины равна нулю.