Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplomna_chornookav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 109 10 > Следующая >>>

Розв’язок. Для цього ряду незручно використовувати попередню формулу

для обчислення R . Тому скористаємось іншою. Якщо lim	an 1			, то
	an 1
		a
n		a	n
			n

2n 2 !

lim

an 1

lim

2n 3 !

lim

2n 1

1 R

1. Інтервал збіжності

2n !

n 2n 3

2n 1 !

Дослідимо поведінку в межових точках інтервала збіжності:

R 1 .

1;1 .

					n
		2n !			1
1) x 1. Утворимо ряд			1 n				. Даний ряд є рядом
					2n
	n 1	2n 1 !		n 1		1

Лейбніца, тому збіжний (умовно).

	2n !		1
2) x 1.				– це розбіжний ряд.
2) x 1.	2n 1 !		2n 1	– це розбіжний ряд.
n 1	2n 1 !	n 1	2n 1

Отже, радіус збіжності дорівнює 1, інтервал збіжності – 1;1 , область збіжності – 1;1 , причому в точці 1 ряд збіжний умовно, у всіх інших – абсолютно.

III. Задачі для розв’язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках інтервала збіжності наступних рядів:

					n
1)			x				;
1)				p			;
	n 1 n
		n!
2)		n!				xn ;a 1.
2)		2				xn ;a 1.
	n 1 a				n
	n 1 a
					x				n


3)								.
3)								.
	n 1	sin n

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках

інтервала збіжності наступних рядів:

	n!	2

1)			xn ;

n 1	2n !

2) n2 xn

0 1.

n 1

3) 1

n 1

2 n!

4) 1

xn .

n 1

2n 1 !

V. Задачі підвищеної складності

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках

інтервала збіжності наступних рядів:

				1				1		n
				1				1		n
1)	1					...			x		;
1)	1					...			x		;
	n 1			2				n
		1
						n

2)							xn ;
	n 1		n
			n
3)		10			xn , де n кількість цифр числа n.
3)		n			xn , де n кількість цифр числа n.
	n 1	n

§19. Практичне заняття №18

Степеневі ряди

I. Контрольні запитання

1. Чому у випадку існування lim	an 1		ми стверджуємо, що радіус

		a
n		a
		n

збіжності степеневого ряду є число ?

II. Приклади розв’язування задач

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках

інтервала збіжності ряду

	n	2	n	n!	p	n
			n	2

					x

1) 1
n 1		2n 1 !

Розв’язок. Тут також незручно користуватися формулою Коші-Адамара

2n 1 2n 1 ! n 1 ! 2

для знаходження

R . Тому обчислимо lim

n 1

lim

n! 2n 3 !

lim

2 n 1

R 2 p . Інтервал збіжності 2 p ;2 p . Дослідимо

2n 2 2n 3

поведінку в межових точках інтервала збіжності:

1) x 2 p . Утворимо ряд

	4n n! 2 p
		(1)

n 1	2n 1 !

Це знакододатній ряд, але ознака Даламбера тут не ефективна (бо границя

вийде

1).

Тому

скористаємось

сильнішими

ознаками.

Візьмемо

4n n! 2

2n 3 !

2n 2 2n 3 p

2 10n 6 p

n 1

an 1

2n 1 !

8n 4

n 1 !

4 n 1

O 1

2n 2

Тоді

за

2 n 1

4 n 1

ознакою Гауса, якщо

, то ряд

(1) – збіжний, а якщо

1, то ряд (1) –

розбіжний.

x 2 p . Утворимо ряд

(2)

n 1

2n 1 !

Тоді, поскільки ряд з модулів є рядом (1), то при p 2 цей ряд абсолютно

збіжний. Подивимось, що буде коли p 2 . Скористаємось для цього №8, ІІ, 3).

4n n! 2 p

O(1)

В нас b

. Вище ми встановили, що

1 !

n 1

І, значить, якщо

p 0 , то ряд (2) – збіжний (умовно, коли

p 2 ). Якщо

p 0 ,

то ряд (2) – розбіжний.

Отже, R 2 p ; інтервал збіжності – 2 p ;2 p ; область збіжності:

2 p ;2 p ,	p 2 (збіжність абсолютна);
2 p ;2 p ,	0 p 2 (в точці 2 p збіжність умовна);
2 p ;2 p ,	p 0 .

III. Задачі для розв’язування

	m m 1 ... m n 1
1)		xn ;
1)	n!	xn ;
n 1	n!

a 0,b 0 ;

n 1 an

n xn

;

n2 1

n 1

3 1 n n

xn ;

n 1

2cos

n n

xn ;

ln n

n 1

Знайти область збіжності загальностепеневого ряду

IV. Задачі для домашнього розв’язування

	33n n! 3
		tg n x .

n 1	3n !

Знайти радіус і інтервал збіжності, дослідити поведінку в межових точках

інтервала збіжності наступних рядів:

	an				bn
1)							xn ; a 0,b 0 ;
1)						2	xn ; a 0,b 0 ;
		n			n	2
	n 1	n			n
2)	x		n	; a 0 ;

n 1 a n

xn2

3) ;

n 1 2n

Знайти область збіжності загальностепеневих рядів:

		1
4)				sin						;
4)				sin				2n		;
	n 1 xn							2n
		xn
5)					;
5)			2		;
	n 1 2n		2
					1				n2
					1
6)	1									e nx .
6)	1									e nx .
	n 1					n
V. Задачі підвищеної складності
Знайти область збіжності гіпергеометричного ряду
1			x				1 1				x2	...	1 ... n 1 1 ... n 1	x n ...

	1								1 2 1				1 2...n 1 ... n 1

§20. Практичне заняття №19

Розклад функцій в степеневі ряди

I.Контрольні запитання

1.Сформулюйте критерій розкладу функції в степеневий ряд.

2.Який вигляд мають розклади основних елементарних функцій в ряд Маклорена і де вони здійснюються?

II. Приклади розв’язування задач

1) Функцію f x x3 розкласти за цілими невід’ємними степенями

бінома х+1.

Розв’язок.

f (x) x3 x 1 1 3 x 1 3 3 x 1 2 3 x 1 1 1 3 x 1 3 x 1 2 x 1 3

1
2) Функцію f x a x	a 0 розкласти в степеневий ряд: а) за

степенями х; б) за степенями бінома x-b, де b a ; в) за степенями 1x . Вказати

відповідні області збіжності.

Розв’язок.а)

a x

x a

a 1

, причому

або

an 1

x b

б)

a x

a b b x

a b x b

a b

x b

a b

a b 2

a b

x b 2

x b n

x b

a b

b .

, причому

x b

a b

a b 3

a b n 1

a b

2 1

1 a

в)

a x

1 x

1 n

, x ;

; .

, причому

f x ch x

Написати

розклад

функції

за

цілими невід'ємними

степенями змінної х і знайти інтервали збіжності.

e x

Розв’язок. Відомо, що chx

1 x

Розклад

2! 3!

2n !

f x ch x має місце там де і

f (x) ex ,

тобто x R .

III. Задачі для розв’язування

Написати розклад наступних функцій за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти відповідні інтервали збіжності:

1)f x sh x ;

2)f x sin 2 x .

3) Написати три члени розкладеної функції f x xx за цілими невід’ємними степенями різниці х-1.

IV. Задачі для домашнього розв’язування

1) Написати розклад функції f x ax a 0 за цілими невід'ємними степенями змінної х і знайти інтервали збіжності.

Користуючись основними розкладами, написати розклад в степеневий ряд відносно х наступних функцій:

2)f (x) e x2 ;

3)f x cos2 x .

V. Задачі підвищеної складності

1)f x sin arcsin x ;

2)f x cos arcsin x .

3) Визначити інтервал збіжності розкладу в степеневий ряд функції

f x	x	: а) за степенями х;	б) за степенями бінома х-5, не

	x2 5x 6
здійснюючи самого розкладу.
		N	x	2n 1
4) Чи можна стверджувати, що 1 n			x		рівномірно збіжна до
4) Чи можна стверджувати, що 1 n			2n 1 !		рівномірно збіжна до
		n 1	2n 1 !

sin x на ; при N .

§21. Практичне заняття №20

Розклад функцій в степеневі ряди

I.Контрольні запитання

1.Обґрунтуйте як здійснюється розклад функцій y ex і y 1 x в ряд

Маклорена.

II. Приклади розв’язування задач

Розкласти в степеневий ряд відносно х функції 1) і 2).

1) f x sin 3 x

Розв’язок. Скористаємося такою формулою з тригонометрії:

sin 3 x			1			3sin x sin 3x . Матимемо, що
sin 3 x			4			3sin x sin 3x . Матимемо, що
			4
												3						5																			3						5																		2n 1
sin 3 x				1			3 x				x				x							3x 3x																3x											3			1 n 1						x
sin 3 x							3 x															3x 3x																														1 n 1
			4								3!					5!																			3!						5!								4 n 1									2n 1 !

											2n 1			1 1 n 1 3																	3			2n 1			x2n 1 ,					x R .
	1 1 n 1 3x													1 1 n 1 3																	3						x2n 1 ,					x R .

																									2n 1 !
	4 n 1									2n 1 !							4 n 1								2n 1 !
	2)				f x							x


											1	2x
											1	2x
																x											1
		Розв’язок.														x													.						Використаємо												біноміальний												розклад
		Розв’язок.												1 2x x 1 2x												2			.						Використаємо												біноміальний												розклад
																							1						1															1		1								1
					1								1																			1																1							2
																																1																1							2
																							2						2										2					2		2								2						3
																							2						2										2					2		2								2						3
x 1 2x						2	x 1							2x																						( 2x)																					( 2x)
						2							2											2!																								3!
													2											2!																								3!


									1 3				2			2				1 3 5								3					3												2		1 3						3			1 3 5						4
x 1 x												2		x										2						x								x x												x									x
x 1 x								22 2!				2		x						23				2						x								x x												x									x
								22 2!												23		3!																										2!									3!
	1 3 (2n 3)																							(2n 3)!!
												xn		... x																							xn .			Щоб знайти											інтервал							розкладу,
		(n					1)!					xn		... x											(n 1)!												xn .			Щоб знайти											інтервал							розкладу,
		(n					1)!														n 2				(n 1)!
																			2x												1										1		1
																															1										1		1
розв’яжемо нерівність																						1,			x										, x							;		.
розв’яжемо нерівність																						1,			x										, x							;		.
																															2										2 2
																															2										2 2

III. Задачі для розв’язування

Розкласти в степеневий ряд відносно х наступні функції:

1)	f x	x10	;

		1 x
	f x	12 5x
2)				.
		6 5x x2

IV. Задачі підвищеної складності

Розкласти в степеневий ряд відносно х наступні функції:

1) f x	x cos x2
		;
	1 2x cos x2

2)	f x	xsha	;

		1 2xcha x2
3)	f x ex cos cos xsin .

§22. Практичне заняття №21

Розклад функцій в степеневі ряди

I.Контрольні запитання

1.Розкажіть алгоритм використання основних розкладів для одержання

розкладу деяких елементарних функцій в степеневі ряди.

II. Приклади розв’язування задач

Використовуючи різні методи, розкласти в степеневий ряд за степенями x

функцію

f x

1 x

arctgx .

1 x

Розв’язок. Для того, щоб одержати потрібний розклад, окремо розкладемо

1 x

arctgx . Розклад першої функції відомий, тому займемося розкладом

1 x

другої функції. З цією метою розглянемо функцію

на t 1;1 . Ясно, що

t 2

dt 2 arctgx , тому

2 1 t 2 t 4

1 n t 2n

. Щоб знайти інтервал

0 1 t

1 t

розкладу, розв’яжемо нерівність

t 2

1, t 1;1 . Проінтегруємо останній

ряд

на

0; x ,

x 1;1 .

Будемо

мати,

2n 1

arctgx

dt t 2 dt

t 4 dt 1 n t 2n x

1 n

0 1 t

3 5

2n 1

n x2n 1

, x 1;1 (можна

Отже, маємо,

що

arctgx x

довести,

що точку 1 можна включити до проміжку розкладу, тому

x 1;1 ).

Таким чином,

				1				1 x				1											1											1				1						x2				x3
f x						ln									arctgx									ln 1 x ln 1 x											arctgx					x
f x						ln									arctgx									ln 1 x ln 1 x											arctgx					x
				4				1 x				2											4											2				4							2		3
				4				1 x				2											4											2				4							2		3
		4												2					3				4								3			5											3					5
	x								x		x							x				x					1	x		x			x					1	x		1		x			1			x
									x																			x											x
4												2					3			4									3			5						2		2 3 2 5
4												2					3			4							2		3			5						2		2 3 2 5
					1				1 x3				1 x5												x5		x9					x4к 1							x4к 1						x 1;1 .

							x																x																			,
					2				2 3			2 5													5		9					4к 1					к 0 4к 1
III.			Задачі для розв’язування
		1)				Розкласти										в			степеневий							ряд			відносно						х	наступну									функцію
							f x									x					.

										1 x 1 x2