diplomna_chornookav

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Розв’язок. n N, p , x R

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

РОЗДІЛ ІІ

РЯДИ

§1. Деяка допоміжна інформація

При розв’язуванні задач на практичних заняттях з теорії числових рядів,

ми будемо часто користуватися формулами, де використовуються асимптотичні

оцінки.

Скажемо, що an o(bn ) (читається an

“о маленьке” від bn ),

n , де

b –

дві послідовності

дійсних

чисел, якщо

lim

0 .

Зокрема,

n b

поклавши bn

1, n будемо мати, що запис an o(1)

означає, що an –

нескінченно мала послідовність.

Крім того, ми ще користуватимемось записом an

O(bn ) (читається “о

велике”

від b

). Це означає, що

M 0 : n

M . Зокрема те, що

an – обмежена послідовність можна записати у вигляді an

O(1) .

Використовуючи властивості нескінченно малих та обмежених послідовностей, можна стверджувати, що,

o(1) o(1) o(1); o(1) o(1) o(1); o(1) O(1) o(1);

O(1) O(1) O(1);

O(1) O(1) O(1).

Доведемо наступні асимптотичні формули:

		1			1										n
1															n	,	(1)
1														2		,	(1)
		n							n			n		2
			1				1
			1				1				n
ln 1											n		,				(2)
ln 1													,				(2)
			n					n		n2
sin	1		1			n			,								(3)
sin	n			n			n3		,								(3)
	n			n			n3


1

і з’ясуємо при цьому,

n	, n	, n	, n .

	n		e
1

	e	2			n
						,	(4)
				n2
n			n
якими			в	цих формулах є			послідовності

Розглянемо (1).

Знайдемо lim

lim

Нехай

x . Тоді

1 x 1 x

1 x

lim

x 0

Таким чином, маємо, що якщо позначити через

(5)

то, по-перше,

lim n

(6)

і, по-друге, з (5) (1). З рівності (6) ми маємо,

що n

O 1 , тому рівність (1)

можна записати в іншій, більш загальній формі:

O 1

(1 )

Для

того, щоб

встановити,

якою

розглянемо

(2).

Знайдемо

ln 1

x ,

lim ln 1

lim

Позначивши

матимемо, що

ln 1 x x

1 x

lim

Тобто,

якщо позначити

2x 1 x

x 0

через

n		1	1		2
	ln 1			n		(7)

		n	n

то, по-перше,

lim n

і, по-друге, з (7) (2). Оскільки з

O 1 , тому

(8) маємо, що n

таким чином:

O 1

ln 1

Аналогічно встановлюємо, якою є n . Для цього покладемо

sin

lim

Знайдемо

lim sin

Нехай

(8)

(2) запишемо

( 2 )

(9)

x .

Тоді

	sin x x		0		cos x 1						sin x		cos x	1
lim				lim			lim					lim			.
lim		3		lim		2	lim					lim			.
x 0	x	3	0	x 0	3x	2	x 0				6x	x 0	6	6
	x		0		3x						6x		6	6

Таким чином, по-перше,
					lim n			1		,					(10)
					lim n				6	,					(10)
					n				6
					n

і, по-друге, з (9) (3). З рівності (10) ми маємо, що можна записати в іншій, більш загальній формі:

sin

O 1

Подивимось, якою є n

. Нехай

n .

O 1 , тому рівність (3)

(3 )

(11)

Покладемо 1n x. З самого початку скажемо, що з допомогою правила Лопіталя

легко показуємо, що lim

ex 1 x

а тому звідси маємо,

x 0

1 x

o x2

x 0 .

(12)

1 x

ln 1 x

Тепер

оцінимо

величину

2 x e

e 2 x,

при

цьому

скористаємось вже відомою нам рівністю

ln 1 x x

O x3 .

(13)

Будемо

мати,

якщо

скористаємось

описаними

вище операціями

(„о

ln 1 x

(12)

ln 1 x

маленьке”) і О („о велике”), e

x e e

e 1

O x3

1 x

ln 1 x

O x

o x2

o x

2 ,

x 0.

1 x x

e e x

Отже, 1 x

o x

e 2 x 4 x

x 0, або

4 o 1

1 x

1 n

і lim

, значить

, або простіше

x 0

1 n

O 1

( 4 )

Обчислимо

суму

cosx cos2x cosnx .

Помножимо

обидві

частини

рівності

на

2sin

Будемо

мати,

sin

2sin

cos x 2sin

cos2x 2sin

cosnx sin

sin

2n 1

x sin

2n 1

x sin

2n 1

x sin

. Звідси, якщо x 2k ,

то,

sin

2n 1

x sin

sin nx cos n 1 x

(14)

2sin

sin

або

x R .

(15)

sin

В наступних параграфах будемо користуватись такою термінологією:

№4, ІІ, 1). Це означає практичне заняття №4, пункт ІІ, задача 1).

§2. Практичне заняття №1

Поняття ряду. Збіжність ряду. Обчислення сум рядів. Необхідна

умова збіжності ряду. Гармонійний ряд. Геометрична прогресія

I.Контрольні запитання

1.Дати означення збіжності та розбіжності ряду.

2.Показати зв’язок між рядами і послідовностями.

3.Сформулювати і обґрунтувати необхідну умову збіжності (або достатню умову розбіжності) ряду і з’ясувати чи буде вона достатньою умовою.

4.Встановити розбіжність гармонійного ряду.

5.Розкрити проблему збіжності геометричної прогресії.

II. Приклади розв’язування задач

Безпосередньо за означенням довести збіжність наступних рядів 1) і 2),

знайти їх суми.

1)	1 -	1	1	-	1	...	(-1)n-1	...
		2	4		8		2n-1

Розв’язок. Даний ряд – це геометрична прогресія із знаменником

q 12 . Сума геометричної прогресії обчислюється за формулою:

				( 1)			n 1					1					2																2
Тому				( 1)								1					2	, отже, ряд збіжний до суми															2	.
Тому						2n 1						1					3	, отже, ряд збіжний до суми															3	.
		n 1				2n 1						1					3																3
												1
												1			2
		1		1			1							1				1					1
2)																...											...
2)		2						2			2			2		...			2	n				n			...
		2		3				2				3							2	3
		Розв’язок. Даний ряд – це сума двох геометричних прогресій
																					1
	1		1								1																		1
	1		1		...						1		...,								2								1
																		S1			2					1(q				);
	2		22							2n								S1						1		1(q				);
	2		22							2n											1			1					2
																					1		2
																							1
	1		1						1																			1			1
	1		1		...				1				...,						S2				3					1	(q		1	) ,		таким
																							3
	3		32						3n																	1		2			3
	3		32						3n													1				1		2			3
																						1			3

S	b1
		.
	1 q

чином,

		1			1				1	3				3
(		1			1	) S1		S2 1	1	3	, отже, ряд збіжний до суми			3	.
(		n			n	) S1		S2 1	2	2	, отже, ряд збіжний до суми			2	.
n 1	2			3					2	2				2

3) Довести,							що,	якщо	ряд			an	збіжний, то ряд An , де
												n 1			n 1
		pn 1		1
An			ai				( p1	1, p1 p2 ...),				отриманий в результаті групування членів

i pn

даного ряду без порушення порядку їх слідування, також збіжний і має ту саму суму. Обернене твердження невірне; навести приклад.

Доведення. Із збіжності ряду an випливає існування границі будь-якої

n 1

підпослідовності послідовності його часткових сум, що дорівнює сумі ряду S.

Візьмемо цю підпослідовність таким чином,

S p

, a1 a2 ap 1

S p

, a1

ap 1

S p , ,

1 S p

Тоді

lim S p

S за умовою. Оскільки послідовність

n 1

часткових сум ряду An A1 A2 An дорівнює S pn 1 , то

n 1

lim A1 A2 An також дорівнює S , що й потрібно було довести.

Обернене твердження не вірне, через те, що із збіжності підпослідовності не випливає збіжність самої послідовності. Підтвердимо це прикладом. Нехай

	n 1		1	1 ,
an 1 n 1. Ряд	1	, очевидно, розбіжний, проте, наприклад, ряд	1	1 ,
n 1		n 1

отриманий із попереднього в результаті групування його членів по два,

збіжний.

III. Задачі для розв’язування

Безпосередньо довести збіжність наступних рядів, і знайти їх суми:

1)		1		1		1	...	1			...;
1)	1 2			2	3	3 4	...	n(n 1)			...;
	1 2			2	3	3 4		n(n 1)

2)	(		n 2 2 n 1 n).
		n 1

3)	Довести, що якщо ряди an ( A) і											bn (B)	збіжні і an cn bn (n 1,2,...),
										n 1		n 1

	то ряд cn (C)						також збіжний. Що можна сказати про збіжність ряду (C) ,
				n 1
	якщо ряди ( A) і (B) розбіжні?

4)	Довести, що, якщо ряд an (an 0) збіжний, то ряд an2 також збіжний.
									n 1				n 1

Обернене твердження невірне; навести приклади.

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Безпосередньо довести збіжність наступного ряду, і знайти його суму

1)		1	1		1	...	1	...
	1 4		4	7	7 10		(3n 2)(3n 1)

Дослідити на збіжність ряди:

2)1 1 1 1 1 1 ...

3)0,001 0,001 30,001 ...

4)Довести, що ряд чисел, обернених членам арифметичної прогресії,

розбіжний.

Довести,

що, якщо

ряди an2

і bn2 збіжні, то збіжні також ряди

n 1

anbn

(an bn )2 ,

n 1

n=1

Довести, що, якщо lim na n a 0, то ряд an розбіжний.

n 1

V. Задачі підвищеної складності

1) Довести, що, якщо ряд an з додатними і монотонно спадними членами

n 1

збіжний, то lim na n 0.
n

2) Довести, що, якщо члени ряду an додатні і ряд	An , отриманий в
n 1	n 1
результаті групування членів цього ряду, збіжний,	то даний ряд також
збіжний.

§3. Практичне заняття №2

Ознаки збіжності знакододатних рядів. Критерій збіжності

знакододатних рядів з монотонно спадними членами

I.Контрольні запитання

1.Сформулювати і обґрунтувати ознаку порівняння в найпростішій формі через нерівності.

2.Розкажіть, як практично використовувати ознаку порівняння в найпростішій формі.

3.Як одержати ознаку порівняння в граничній формі?

4.Обґрунтуйте як практично використовувати ознаку порівняння в граничній формі.

5.Сформулювати і обґрунтувати критерій збіжності знакододатних рядів з монотонно спадними членами.

6.Проілюструвати застосування ознаки з попереднього питання на прикладі узагальненого гармонійного ряду.

II.Приклади розв’язування задач

Дослідити на збіжність ряди 1) і 2):

1)	1	1	1	1	...	1	...
		3	5	7		2n 1

	Розв’язок. Застосуємо ознаку порівняння в граничній формі. Порівняємо

даний						ряд			з		рядом					1			:		lim			2n 1				lim			n		1	0.	Оскільки ряд		1		–
даний						ряд			з		рядом								:		lim							lim						0.	Оскільки ряд				–
																	n				n				1				n 2n 1 2								n
																									n
															1			1			1							1					1
розбіжний, то ряд 1															1			1			1		...					1		...			1		теж буде розбіжний.
розбіжний, то ряд 1																							...							...					теж буде розбіжний.
													3 5 7														2n 1					n 1 2n 1
2) 1							1			1	...					1						...
2) 1									52		...			(2n						1)2		...
				32					52					(2n						1)2
			Розв’язок. Для дослідження ряду знову застосуємо ознаку порівняння в
граничній										формі.									Порівняємо											даний			ряд		з	рядом	1		:

																																						n2
				1
													n2
lim		(2n 1)2							lim				n2								1		0.			Оскільки						ряд		1	–	збіжний, то	ряд
lim					1				lim				(2n			1)2					4		0.			Оскільки						ряд		n2	–	збіжний, то	ряд
n					1					n			(2n			1)2					4													n2
					n2
	1					1							1													1
1	1					1		...					1				...									1				теж буде збіжний.
1	2					2		...				(2n 1)				2	...												2	теж буде збіжний.
3				5								(2n 1)											n 1 (2n 1)

III. Задачі для розв’язування

Дослідити на збіжність ряди:

1)	1	1	1		...	1	... ;

	2	2 3	3	4		n n 1

2)	1	1	...	1	... ;


	1 3	3 5		(2n 1)(2n 1)

	n		n
3) ctg		sin		.
3) ctg	4n 2	sin	2n 1	.
n 1	4n 2		2n 1

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Дослідити на збіжність ряди:

		n 2				n 2
1)		n 2				n 2	;
1)			n				;
	n 2		n
		1
3)		1			;

			1
	n 1 ln2 (sin		1	)
	n 1 ln2 (sin			)
			n

V. Задачі підвищеної складності

Дослідити на збіжність ряди:

n 1

ln(n!)

;

n 1


2)	n a		4 n2 n b ;
n 1
		ch

4) ln			n	.

n 3

	cos n


3) e 3	n	;	4) n2e	n	.
n 1			n 1

§4. Практичне заняття №3

Критерій Коші збіжності ряду

I.Контрольні запитання

1.Сформулювати критерій Коші збіжності ряду, розказати як він одержується і застосовується.

2.Розказати, що слід зробити для доведення розбіжності ряду,

використовуючи критерій Коші.

II. Приклади розв’язування задач

Користуючись критерієм Коші, довести збіжність наступного ряду

sin(n 1)x

sin(n 2)x

...

sin(n p)x

...

2( n 1)

2( n 2)

2( n p)

2n 1

2n 2

2n p

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20161.48 Mб24cушка (зміст).pdf
#
12.09.20193.65 Mб2DE.doc
#
18.08.2019295.94 Кб2derevo.doc
#
14.11.2018134.14 Кб8Diagnostika.doc
#
19.11.2019220.67 Кб1Diagno_prog_tehnologi_SR.doc
#
14.02.20161.7 Mб38diplomna_chornookav.pdf
#
14.02.20162.92 Mб58diplomna_protsyuk.doc
#
04.11.20185.84 Mб19dyplomna.doc
#
19.07.201940.23 Кб2ekonom.docx
#
16.11.2019354.82 Кб12Ekonomika.doc
#
14.02.2016125.59 Кб7Ekzamen_STV.docx