diplomna_chornookav

5)

Знайти область збіжності та суму ряду Лорана

n

xn .

n

n 2

6)

Знайти

область

збіжності

(абсолютної і умовної)

рядів Ньютона:

n

n

n

n

x

x

ex ny

а)

; б)

1

; в)

, де x n x(x 1)...(x (n 1)) .

n!

p

n!

n 1

n 1 n

n 1

n

1) f n x

nx

; 0 x 1

1

n x

Розв’язок.

f x lim fn x lim

nx

x .

x 0;1 справедлива

n

n 1 n x

x x

nx

2

x x

2

2

2

оцінка:

x

.

Тому

n x

1 n x

n x

1

1

n x 1

1

n

M n sup

nx

x

2

.

M n 0,

отже,

fn x

рівномірно збіжна до

x на

1

n x

n 1

x 0;1

0;1 .

2) f n x

xn

; a)0 x 1 ; б)1 x 1 ; в)1 x ,

де

1 xn

Розв’язок. а)

f x lim

fn x lim

xn

lim

1

0

. Знайдемо

xn

n

n

n 1

n 1

1

x

n 1

n

nx

n 1

n

nx

x

nx

x

n

n 1

0,

х 0 . Поскільки

за умовою

n

2

2

1 x

xn

1

1 xn

x 0;1 ,

то

M n

sup

xn

1 n

,

тому

M n

0 і послідовність

1 xn

1 n

x 0;1

1

рівномірно збіжна на даному відрізку.

0,

якщо 1 x 1;

1

f x lim fn x

, якщо x 1;

б)

2

n

1, якщо x 1.

Mn

f x f n x

1

і

lim Mn 0 , тому fn x – нерівномірно

sup

2

x 1 ;1

n

функція

f x розривна.

в)

f x lim fn x 1,

n

Mn

sup

f x fn x

sup

1

xn

sup

1

1

.

1 xn

xn

1 1 n

x 1 ;

x 1 ;

x 1 ; 1

Значить lim Mn 0

і fn x рівномірно збіжна на

1 ; .

n

3) а)

fn x arctgnx; 0<x< ; б)

fn x xarctgnx; 0<х< .

Розв’язок. а)

f x lim f

n

x lim arctgnx ,

n

n

2

M n sup

fn x f x

arctgnx

n

sup

.

arctgnx

0

,

1 n2 x

2

x 0;

x 0;

2

2

значить

f x ,

тому

sup

arctg 0

.

Оскільки

M n

0

, то

x 0;

2

2

2

послідовність fn x arctgnx на 0; збіжна нерівномірно.

б)

f x lim f

n

x lim xarctgnx x .

M

n

sup

f

n

x f x

n

n

2

x 0;

sup

xarctgnx

x

sup xarcctgnx

sup xarctg

1

sup

x

1

1

, бо тут

x 0;

2

x 0;

x 0;

nx

x 0;

nx

n

ми

скористались

тим,

що

arcctgnx arctg

1

і

з

нерівності

tg ,

nx

справедливої

при

випливає,

що

arctg .

Оскільки

0;

2

lim M

lim

1

0 ,

то

послідовність f

x xarctgnx

рівномірно

збіжна на

n

n

n

n n

2)

f

x xn ; a)0 x

1

; б)0 x 1;

n

2

n x

2тx

3)

f

; a)0 x 1; б)1 x ;

1 n2 x2

1

4)

fn x n

x

x ; 0<x<

;

n

5)

а) fn x

sin nx

; - x ; б)

fn x sin

x

; - x< ;

n

n

6)

fn x en( x 1) ; 0<x<1.

б) x .

x n

5)

fn x 1

; а) на кожному скінченному інтервалі (a;b); б) на

n

1)

Дослідити

послідовності

на

рівномірну

збіжність:

2

x, якщо 0 x

1

n

;

n

2

2

1

2

f

n x n

x

,

якщо

x

; на сегменті 0 x

1.

n

n

n

2

0,

якщо x

n

2)

Нехай функція

f x

має неперервну похідну f / x на інтервалі (a;b)

1

fn x рівномірно збіжна до

і

fn x n f x

f x . Довести, що

n

f

x на сегменті x , де a b.

неперервної функції? Розглянути приклад

fn x

1

x (n=1,2,…), де

n

0, якщо x ірраціональне;

x 1, якщо x раціональне.

x

n

x

n 1

1)

;

1 x 1.

n

n 1

n 1

x

x2

x2

x3

xn

xn 1

xn 1

. Тоді S x lim S

x

S

n

x

x

n

2

2

n 1

1

3

n n

1

n

x

n 1

x S x

x

n 1

1

1

lim x

x .

M

sup

S

sup

,

lim M

lim

0 ,

n

1

n

n

n

1

n 1

n

n

n n 1

n

1 x 1

1 x 1

тому ряд збігається рівномірно.

x

2)

; 0<x .

n 1 x 1 nx 1

n 1

Розв’язок.

Знайдемо

також

часткову

суму

даного

ряду

Sn

x

x

x

x

x

x

x

1

x 1 2x 1

2x 1 3x 1

n 1 x

1 nx 1

x 1

1

1

1

1

1

1

x

1