Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplomna_chornookav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

§11. Практичне заняття №10

Абсолютно та умовно збіжні ряди

I.Контрольні запитання

1.Чи можна для знакозмінних рядів використовувати ознаку порівняння?

2.Члени яких рядів можна довільно міняти місцями, що не впливатиме на суму цих рядів?

3.Чи можна члени збіжного ряду поміняти місцями так, щоб новоутворений ряд став розбіжним?

4.Чи добуток двох збіжних рядів зобов’язаний бути збіжним до числа що дорівнює добутку сум цих рядів?

5.Де в доведені теореми Мертенса суттєво використовується абсолютна збіжність одного з рядів?

II.Приклади розв’язування задач

1)Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

3 5 ... (2n 1)

( 1)n 1

(1)

2 4 6 ... (2n)

n 1

Розв’язок. При

p 0 загальний член ряду не прямує до нуля, тому ряд

буде розбіжний.

Розглянемо випадок, коли p 0 . Утворимо ряд з модулів:

n 1

1 3 5

2n 1 p

1 3 5 2n 1 p

2 4 6 2n

n 1

Він буде збіжний при p 2 і розбіжний при p 2 (№5, ІІ, 1)). Розглянемо ряд

(1). Для його дослідження скористаємось №8,ІІ,3), властивостями обмежених

послідовностей

і формулою

(деяка

допоміжна інформація).

Складемо

співвідношення:

2n 2

O 1

2n 1

2n 1 2n

n 1

O 1

O(1)

2n 1 2

2n 2n 1

(1) збіжний при

0 p 0 . Отже, при p 2 ряд

	1
o		.	Таким чином, ряд

n

(1) абсолютно збіжний, при

0 p 2 – умовно збіжний, при p 0 – розбіжний.

2) Для ряду

	cos nx		, 0 x
				(1)
	n	p
n 1

визначити для сукупності параметрів ( p, x) : а) область абсолютної збіжності; б)

область умовної збіжності.

Розв’язок. Для дослідження ряду cкористаємось ознакою Абеля-Діріхле:

Послідовність U n uk ,

де

uk coskx

– обмежена,

бо

k 1

Sn x cosx cos2x cosnx ,

Sn x

x 0;

(деяка

sin

допоміжна інформація).

монотонно спадає

до

нуля

0 ,

при p 0 .

Отже,

p 0, x 0; цей ряд буде збіжний.

Утворимо ряд з модулів

		cosnx


		n p
n 1

Будемо мати, cosnx cos2 nx , тому

	cosnx			cos2 nx

	n p			n p

(2)

(3)

Розглянемо ряд

cos2 nx

(4)

n p

n 1

cos2 nx

1 cos2nx

cos2nx

n p

n 1

2 n 1

n 1 n p

n 1

cos2nx

Ряд

збіжний при p 1 і розбіжний при

p 1. Дослідимо ряд

n p

n 1 n p

n 1

Використаємо знову ознаку Абеля-Діріхле. Покладемо un cos2nx .

Тоді,

як і

вище,

Sn x cos2x cos4x cos2nx

Sn x

для

всіх

sin x

x 0; .

p 0,

0 , тому цей ряд є збіжним. Значить ряд (4) при

n p

p 1 є збіжним (як сума двох збіжних рядів ) і при p 1 є розбіжним (як сума розбіжного і збіжного рядів).

Таким чином, із нерівності (3), за ознакою порівняння рядів, маємо, що при p 1 ряд (2) є розбіжним. Звідси слідує, що при p 1 ряд (1) – умовно збіжний, 0 x – область умовної збіжності.

Має місце нерівність

	cosnx			1			(5)

	n p			n p
	n p			n p
			1
Враховуючи те, що ряд				збіжний при	p 1 і розбіжний при		p 1 та
Враховуючи те, що ряд				збіжний при	p 1 і розбіжний при		p 1 та
		n 1 n p
нерівність (5), матимемо,		що при p 1 ряд (2) є збіжним. Тоді при				p 1 ряд
(1)– абсолютно збіжний, 0 x – область абсолютної збіжності.
Отже, при p 1 ряд			(1)	– абсолютно	збіжний, ( 0 x	–	область
абсолютної збіжності), а при				p 1 ряд (1) –	умовно збіжний, ( 0 x –
область умовної збіжності).
III. Задачі для розв’язування

					sin	n
					sin
1)	Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд				4			;
1)	Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд				n p sin		n	;
				n 1			n
				n 1
					4
		sin nx
2)	Для ряду			(0 x ) визначити для сукупності параметрів ( p, x) :
2)	Для ряду	n	p	(0 x ) визначити для сукупності параметрів ( p, x) :
	n 1	n

а) область абсолютної збіжності; б) область неабсолютної збіжності.

Перевірити,

що

добуток

двох

розбіжних

рядів

n 1

є абсолютно збіжний ряд.

n 1

cos

4) Знайти суму ряду

n 1

IV. Задачі для домашнього розв’язування

sin

Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

n 2

ln n

Довести, що ряди

а) sin x

sin 2x

sin 3x

...;

б) cos x

cos 2x

cos3x

...

не абсолютно збіжні в інтервалі (0, ) .

m(m 1)...(m n 1)

Дослідити на збіжність ряд

, де

n 1

Якщо ряд

збіжний і

lim

чи можна говорити, що ряд

n 1

n a

n 1

(

( 1)

також збігається? Розглянути приклади:

n 1

V.Задачі підвищеної складності

1)Дослідити збіжність рядів:

( 1)

n n

sin(n

)

sin n

а)

;

б)

;

в)

n 2

ln n

n 2

ln(ln n)

n 10 n 10sin n

p)(2 p)...(n p)

Для ряду ( 1)n 1

визначити: а) область абсолютної

n!n

n 1

збіжності; б) область умовної збіжності.

( 1)

n 1

Довести,

що

добуток

двох

збіжних

рядів

( 0) і

n 1

( 1)

( 0)

ряд

збіжний,

якщо

розбіжний, якщо

n 1

§12. Практичне заняття №11

Підсумкове заняття з числових рядів

I.Контрольні запитання

1.Чи одні і ті ж ознаки використовуються для з’ясування збіжності знакододатних і знакозмінних рядів?

2.Чи правильна ознака порівняння для знакозмінних рядів?

3.Спробуйте привести шкалу ознак збіжності знакододатних рядів розміщених в порядку зростання їх сили.

4.Чи справедливий переставний закон додавання для нескінченних сум?

5.Чи суттєвим в ознаці Лейбніца є монотонність послідовності модулів членів знакозмінного ряду?

6.Чи гарантує збіжність ряду обмеженість послідовності його часткових сум?

7.Коли з інформації про розбіжність ряду з модулів випливає розбіжність самого ряду?

8.Чи можна з умовно збіжного ряду за рахунок перестановки його членів одержати абсолютно збіжний ряд?

9.Аналогічне питання для абсолютно збіжного ряду.

10.Що означає „швидко” чи „повільно” збіжний чи розбіжний ряд?

11. Які ознаки вирішують проблему збіжності „швидко” збіжного

ряду(„сильні” чи „слабкі”)?

II. Приклади розв’язування задач

Дослідити на збіжність ряд

((n 1)!)

2! 4! ... (2n)!

n 1

Розв’язок. Для дослідження даного ряду скористаємось ознакою

Даламбера. Складемо спочатку співвідношення:

2n 2 !

n 3 n 4 2n 2

2 n

2 n 2

... 1

n 2 ! n 2 n

n 2

n 1

n 2

Звідси маємо, 1

, поскільки

an 1

n 2

e , то e

n 1

1, отже, за

lim 1

n 2

an 1

ознакою Даламбера ряд збіжний.

n 1

Скільки членів ряду

( 1)

потрібно взяти, щоб отримати його суму з

n2 1

n 1

точністю до 10 6 .

Розв’язок.

Оскільки

для

знакододатнього

ряду

має

місце

оцінка:

S S

n 1

то

знайдемо

коли

10 6 .

Будемо

мати:

10 6

n2 1 106 ;

1 1012 ; n2

1012

1; n

1012 1.

Остання

нерівність буде виконуватися, якщо n 1012

106 .

Отже,

щоб отримати суму ряду з точністю до 10 6 ,

потрібно взяти 106

його членів (це приклад „повільно” збіжного ряду, бо для отримання суми з певною, навіть невисокою, точністю потрібно взяти багато його членів).

III. Задачі для розв’язування

Дослідити на збіжність ряди:

n!n p

(q 0) ;

n 1 q(q 1)...(q

1 3

5 ... (2n 1)

2) ( 1)n 1

;

2 4 6 ... (2n)

n 1

Скільки членів ряду

sin

потрібно взяти, щоб отримати його суму з

n 1

точністю до 10 6 .

p)(2 p)...(n p)

4) Для

ряду

( 1)n 1

визначити: а) область

n!n

n 1

абсолютної збіжності; б) область умовної збіжності.

IV. Підготуватись до здачі модуля з теорії і практики числових рядів.

§13. Практичне заняття №12

Збіжність функціональних послідовностей і рядів

I.Контрольні запитання

1.Що таке область збіжності функціональної послідовності чи ряду?

2.Сформулюйте означення області умовної та абсолютної збіжності ряду.

3.Які прийоми і ознаки слід використовувати для знаходження областей,

вказаних в попередніх питаннях?

II. Приклади розв’язування задач

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) функціональних рядів 1)

та 2).

	n	1 x	n
	1
1)			, x 1
	2n 1
n 1		1 x

		n		1	x	n
		1
Розв’язок.						, x 1	(1)

	n 1	2n	1 1		x

1 x

Утворимо ряд з модулів:

. Застосуємо ознаку

n 1

2n 1

1 x

n 1

2n 1

Коші: lim n

1 x

lim

1 x

lim

1 x

2n 1

1 x

n n 2n 1

n n

2n 1

	1 x	1,	1	1 x	1,	0	2	2 ,


	1 x			1 x			1 x


x 1							x 0; .
					, тому
x ; 1 0;

			0		1			1 x 0
	1		0					1 x 0
0	1	1,			1 x
					1 x		,		x		,
	x			1			,		x	0	,
1						1
1
								1 x
								1 x
			1	x
Таким		чином,		0;				–	область

абсолютної

збіжності

даного

ряду

(1).

Дослідимо

цей ряд при

x 0 :

1n . Складемо ряд з модулів:

. Цей ряд є розбіжним

2n 1

n 1

(№2, ІІ, 1)). Ряд

є рядом Лейбніца, тому збіжний.

2n 1

n 1

Отже,

при

x 0

ряд (1)

умовно

збіжний. При

x 0 ряд (1)

буде

розбіжний, бо розбіжність ряду з модулів одержана з допомогою ознаки Коші, а значить, загальний член ряду не прямує до нуля.

	1 3	... (2n 1)	x n
2)
		4 ... 2n
n 1	2		2x 1

1 3 2n 1

Розв’язок.

(1)

n 1

2 4 2n

1 3 2n 1

Утворимо ряд з модулів:

Скористаємось

2 4 2n

n 1

1 3 2n 1

n 1

2 4 2n

an 1

ознакою Даламбера: lim

lim

n an

1 3 2n 1

n 2 4 2n 2 1

1 x2

2n 1

1 x2

1 2

lim

lim 1

0 ,

2n 2

1 x

2n 2 1

1 x2 0 ,

1 2

0 ,

1 2

0 , x ; 1 1;1 1; . Таким

чином, x ; 1 1;1 1; – область абсолютної збіжності ряду (1).

Дослідимо ряд при x 1.

3 2n 1

x 1. Матимемо ряд

. Використаємо ознаку Раабе:

2 4 2n

n 1

3 2n 1

2 4 2n 2

2n 2

lim n

2 4 2n

1 3 2n 1

an 1

2n 2 2n 1

x 1

lim n

1, ряд розбіжний. Тому в точці

2n 1

ряд (1) розбіжний.

1 3 2n 1

x 1. Отримаємо ряд 1 n

n 1

2 4 2n

2n 2

Скориставшись

№8,

ІІ,

3),

матимемо,

що

2n 1

n 1

2n 1

n 2n 2n 1

n n 2 2n 1

o 1

. Поскільки p

0 ,

то

ряд збіжний. Таким

чином,

точці

x 1 ряд (1) збіжний умовно.

III.

Задачі для розв’язування

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних

функціональних рядів:

;

n 1

		n 32n
2)						xn (1 x)n ;
2)		2n				xn (1 x)n ;
	n 1	2n
							x	n
3)							x		;

		(1 x)(1 x2 )...(1 xn )
	n 1	(1 x)(1 x2 )...(1 xn )
		x	n	y	n
4)		x		y			.
4)		xn y n					.
	n 1	xn y n

IV. Задачі для домашнього розв’язування

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних

функціональних рядів:


	n	x		n

1)			;

n 1 n 1		2x 1

;

n p

n 1

x(x n)

;

n 1

;

a2n x2

n 1 n n! 1

n 1

V. Задачі підвищеної складності

Знайти область збіжності (абсолютної і умовної) наступних

функціональних рядів:

sin(nx)

, q 0; 0 x ;

n 1

1 nq

,( y 0) ;

n 1 n

ln(1 xn )

,(x 0) ;

n 1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20161.48 Mб24cушка (зміст).pdf
#
12.09.20193.65 Mб2DE.doc
#
18.08.2019295.94 Кб2derevo.doc
#
14.11.2018134.14 Кб8Diagnostika.doc
#
19.11.2019220.67 Кб1Diagno_prog_tehnologi_SR.doc
#
14.02.20161.7 Mб38diplomna_chornookav.pdf
#
14.02.20162.92 Mб58diplomna_protsyuk.doc
#
04.11.20185.84 Mб19dyplomna.doc
#
19.07.201940.23 Кб2ekonom.docx
#
16.11.2019354.82 Кб12Ekonomika.doc
#
14.02.2016125.59 Кб7Ekzamen_STV.docx