Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тернопольский национальный педагогический университет им. В. Гнатюка

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

diplomna_chornookav

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2016

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Розв’язок. В нас an	ctg	nπ	sin	nπ	. Перетворимо цю різницю.

		4n 2		2n 1

nπ

ctg

sin

2n 1

nπ

sin

nπ

A ctg

1 ctg

ctg

4 2n 1

nπ

sin

nπ

4n 2

nπ

4n 1 π

B 1 sin

sin

2sin

cos 4 2n 1 .

2n 1

4 2n 1

sin

4n 1 π

Тому

4 2n 1

2sin

cos

. Введемо такі позначення:

4 2n 1

nπ

sin

4n 2

sin

4n 1 π

4 2n 1

sin

cos

. Тоді

Дослідимо

4 2n 1

2an an .

sin

nπ

4 2n

4n 2

на збіжність ряди

. Це знакододатні ряди. Порівняємо ряд

an з

n 1

рядом

(гармонічний).

За граничною ознакою порівняння будемо мати:

n 1 n

sin

4 2n 1

lim

4 2n 1 2

1 2

sin

nπ

sin

nπ

2 2

4n 2

4 2n 1

nπ

4n 2

Таким чином,

оскільки ряд

– розбіжний, то ряд

–

також

n 1 n

n 1

розбіжний.

Для дослідження на збіжність ряду an

дещо перетворимо an

, а

n 1

4n 1

саме

sin

cos

4 2n 1

cos

sin

4 2n 1

4 2n

4 2n 1

sin

sin 2

Тепер

порівняємо цей ряд з рядом

sin

4 2n 1

π 2

sin

4 2n 1

16 2n 1

. Будемо мати: lim

lim

0. Це

n 1 n2

16 4

4 2n

		1
			. Тоді ряд
	– збіжний, бо збіжним є ряд				теж
означає, що ряд an	– збіжний, бо збіжним є ряд			2an	теж
n 1	n 1 n2		n 1

буде збіжний. Отже,	ряд an , як різниця збіжного	і	розбіжного	рядів, є
	n 1

розбіжний.

ln(n!)

2) n

n 1

Розв’язок. Застосуємо границю lim n n! 1 (№4,II, (1)).

n nn e

З означення границі послідовності будуть справедливими такі нерівності:

n n

n ln

ln n!

, n n0 ;

;

ln n! n ln

. Звідси

nα

nα 1

Отже, матимемо таку нерівність:

ln n!

ln n

, n n

(1)

nα 1

nα

nα 1

1) Нехай α 2 . Тоді

ln n

(2)

n 1

n 2

бо

α 2

α 1,

α 2

1. Ясно, що

ln n

0 n .

α 2

n 2

Тоді за означенням границі (див. рис.) маємо n n0

ln n

(3)

n 2

Значить, з (2) і (3) маємо, n n0

ln n

(4)

n 1

n 2

Оскільки

то

звідси

слідує,

що ряд

є збіжний. Звідси

і з

n 1 n

ln n

нерівності (4) маємо, що ряд

– теж збіжний. Тоді з нерівності (1) ряд

n 1 nα 1

ln n!

теж є збіжний (за ознакою порівняння рядів) при α 2 .

nα

n 1

2) Нехай тепер α 2 . Розглянемо ряд

. Ясно, що

n 1 nα 1

, n 9

(5)

nα 1

ln n!

Оскільки в нас ряд

– розбіжний, то з (5) маємо, що ряд

– теж

nα

n 1 nα 1

n 1

ln n!

розбіжний. Отже,

нерівності

(1) отримуємо, що

ряд

теж

nα

n 1

розбіжний (за тією ж ознакою порівняння рядів) при α 2 .

		1
3) ln
3) ln
n 1		n

Розв’язок.

	1
ln sin
ln sin
	n

	1		1
ln		ln sin
ln	n	ln sin	n
n 1	n		n



	n 1

	1

	n
ln	n
ln			1
			1
sin
sin		n
		n

(1)

Нехай 0 . Тоді очевидно, що ряд буде розбіжний, бо загальний член ряду не прямує до нуля.

		1

		n
Нехай 0	. Справедливою буде рівність: ln	n
Нехай 0	. Справедливою буде рівність: ln			1
				1
	sin
	sin		n
			n

Тоді ряд (1) буде збіжний чи розбіжний разом з рядом



	ln 1

1

	n
	n			1 .
			1	1 .
			1
sin
sin		n
		n

(2)

n 1

sin

Дослідимо (2):

. Ми знаємо, що існує така

sin

формула:

sin x x O(1) x3

(деяка допоміжна інформація). З’ясуємо, що являє

собою величина O(1)

в цій рівності. lim

sin x x

lim

cos x 1

lim

sin x

x 0

3x2

x 0

Таким

чином

sin x x x x3 ,

де

Тоді

sin

, n ;

1 1

Розглянемо

nα

n3α

ряд

. Він буде збіжний при

2 1

. Отже, при

ряд (2) є

n 1 n

збіжний, тому ряд (1) теж буде збіжний при 12 .

III.Задачі для розв’язування

Дослідити на збіжність наступні ряди:

4 n2 n b ;

n a

2) a

(a 0, b>0, c>0) ;

n 1

nn2

1 1

;

cos

n 1

sin

IV. Задачі для домашнього розв’язування

		b	1n	c	1n
1) a	1n	b		c		(a 0, b 0, c 0) ;	2) nn 1 ;
1) a	1n					(a 0, b 0, c 0) ;	2) nn 1 ;
				2
n 1							n 1

			n	2n		n	ln n
3) a (b ln n c ln2 n)	(a 0) ;	4)			(a 0, b 0) ; 5)			.
			(n a)n b (n b)n a			(ln n)n
n 1		n 1			n 2

V.Задачі підвищеної складності

		ch

1) ln			n	;

n 3

	cos n

	((n 1)!)	n
2)			;
	2! 4! ... (2n)!
n 1

Дослідити збіжність рядів un з наступними загальними членами:

				n 1
					n
	1! 2! ... n!				ln2 k
3) u	1! 2! ... n!	;	4)	u	k 1	;
3) u	(2n)!	;	4)	u	n	;
n	(2n)!			n	n
n				n

Скільки потрібно взяти членів ряду, щоб знайти його суму з точністю

10 5 , якщо:

	1			2	n			1
5)		;	6)			;	7)		.
	2			(n 1)!
n 1	n		n 1				n 1	(2n 1)!

§9. Практичне заняття №8

Знакозмінні ряди

I.Контрольні запитання

1.Чи будемо вважати знакозмінний ряд, в якому до якогось члена (можливо із великим номером) є члени різні за знаком, а починаючи з нього всі однакового знаку?

2.Сформулювати обидві ознаки Абеля-Діріхле і проаналізувати їхні умови.

3.Одержати ознаку Лейбніца.

4.Одержати оцінку похибки при заміні суми ряду Лейбніца його частковою сумою.

II.Приклади розв’язування задач

1) Подивимось наскільки суттєвими в ознаці Лейбніца є її умови. Ясно,

що умова pn 0, n ( 1 n pn – ряд Лейбніца) суттєва, бо в

n 1

протилежному випадку загальний член ряду 0 і значить ряд розбіжний. Крім того, ще є умова монотонності pn : p1 p2 p3

Розглянемо ряд

(1)

2 1

n 1

Тут

2 1 n

0, n n

. Дослідимо на монотонність:

p 1, p

, p

... , p

, p

, ...

2n 1

2n 6n 3

4n 3

0 .

2n 1

2n 2n 1 2n

2n 1 2n

Таким чином,

p2n 1 p2n .

6n 3 2n

4n 3

Тому

. Отже,

2n 1

2n 2n 1

2n 2n

p2n 1

p2n p2n 1 ,

і перша

умова

(монотонності)

ознаки

Лейбніца не

виконується. З’ясуємо, яким є ряд (1). Запишемо його у наступному вигляді

2 1

. Ряд

є рядом Лейбніца, тому

2 1

n 1

n n 1 n

n 1

збіжний. Ряд гармонічний, тобто є розбіжний. Оскільки сума збіжного і

n 1 n

розбіжного рядів є розбіжним рядом, то ряд (1) – розбіжний.

Отже, якщо ми маємо ряд 1 n bn , де bn 0 і bn 0 при n , то з

n 1

цього ще не слідує, що даний ряд збігається.

2) Дослідити на збіжність ряд sin(

n2 k 2 )

n 1

Розв’язок. Загальний член цього ряду можна записати таким чином:

sin

n n

k 2

(1)

Нехай

n2 k 2

n .

Скориставшись

відомою

формулою

sin n 1 n sin , (1) представимо:

1 n sin

n2 k 2

n 1 n sin

n2 k 2

1 n sin

. В результаті перетворень

n2 k 2 n

ми отримали ряд:

1 n sin

(2)

n 1

Чи буде він рядом Лейбніца?

k 2

(монотонно спадна функція);

1) При n sin

k 2

lim sin

Отже, (2) – ряд Лейбніца, тому він збіжний.

3) Довести, що знакопочережний ряд b1 b2 b3 b4 ... ( 1)n 1bn ...(bn 0)

	b		p		1
збіжний, якщо	n	1		o		, де	p 0 .
збіжний, якщо		1		o		, де	p 0 .
	bn 1		n	n

Доведення. Справедливим є таке твердження: якщо для строго

додатнього ряду

при n виконується умова

, то

n 1

0 досить мале,

an o

де

причому, якщо p

0 , то

при

n p

n ,

тобто

an при

n n0 , монотонно спадаючи, прямує до нуля. Звідси

слідує,

що

при

p 0

послідовність

bn 0 при n n0 .

Тому, за

ознакою

Лейбніца, даний ряд збіжний, що й потрібно було довести.

III. Задачі для розв’язування

Дослідити на збіжність знакозмінні ряди:

					n(n- 1)
	Ґ
	Ґ	(-		1)		2
1)	е	(-		1)		2	;

				2	n
	n= 1			2
			ln	100	n			n
3)			ln		n	sin		n	;
3)						sin			;
	n 1			n		4

2)1	1		1			1		1	1	1	1	1	...;
2)1													...;
	2	3				4		5	6	7	8	9
		( 1)			n
4)		( 1)					.


		n		( 1)n
n 2		n		( 1)n

IV. Задачі для домашнього розв’язування

1)	1	3				5						7	...;						2)	1			1		1				1			1	1	...;
1)	1												...;						2)	1														...;
		2				4		8															2		4				8			16	32
								2n 100										n							n sin					2	n
3)	( 1)						n	2n 100										;	4)	( 1)					n sin						n	;

														1
	n 1							3n						1						n 1									n
																										n
																										n
5)	( 1)n												n			;			6)			(		1)			.
5)	( 1)n															;			6)								.
	n 1								n 100											n 1			n n
V. Задачі підвищеної складності

		( 1)							n

1)										;
1)				n						;
	n 1			n
2)	1	1			1						1				1		1	...
2)	1																	...
		2	3					4						5			6
	Примітка: Застосувати формулу 1																			1	...					1		C ln n							, де	C – стала
	Примітка: Застосувати формулу 1																				...							C ln n						n	, де	C – стала
																				2						n								n
																				2						n

Ейлера і lim n 0 .

	( 1)	n 1
3) Знаючи, що			ln 2 , знайти суми рядів, отриманих із ряду
	n
n 1

1 12 14 13 16 81 ... в результаті перестановки його членів.

§10. Практичне заняття №9

Абсолютно та умовно збіжні ряди

I.Контрольні запитання

1.Співвідношення між збіжністю ряду з модулів і самого ряду.

2.Які ряди називаються абсолютно та умовно збіжними?

3.Чи можна використовувати ознаки збіжності знакододатних рядів для з’ясування збіжності умовно збіжних рядів?

4.Які ознаки дозволяють встановлювати збіжність умовно збіжних рядів?

II.Приклади розв’язування задач

1)Дослідити на абсолютну і умовну збіжність ряд

	( 1)		n
ln 1				(1)
ln 1	n	p		(1)
n 2	n

Розв’язок. 1) Нехай p 0 . Тоді загальний член ряду не прямує до нуля і, відповідно, ряд розбіжний.

2) Нехай p 0 . Утворимо ряд з модулів

(2)

n 2

Порівняємо ряд (2) з рядом

. За граничною ознакою порівняння будемо

n 2

n p

ln 1

мати: lim

1. Таким

чином, поскільки ряд

збіжний при

n 2 n

n p

p 1 і розбіжний при

p 1, то ряд

(2) теж буде збіжний при

p 1 і розбіжний

при p 1. Тобто при

p 1 ряд (1) абсолютно збіжний.

Розглянемо ряд (1). Скориставшись формулою ( 2 ) (деяка допоміжна інформація) матимемо:

O 1

ln 1

(3)

2 p

Ряд

при

p 0 є рядом Лейбніца, тому він збіжний. Ряд

збіжний

n p

n 1

n 2 n2 p

при 2 p 1, p

і розбіжний при 2 p 1, p

, тому,

за ознакою порівняння в

граничній формі, ряд

збіжний

при

і розбіжний при інших р.

2 p

n 1 n

Значить, як випливає з рівності (3), ряд (1) умовно збіжний при

p 1.

Отже,

при

p 1 ряд (1)

абсолютно збіжний,

а при

p 1 –

умовно

збіжний.

III.

Задачі для розв’язування

Дослідити на абсолютну (крім V.4) і умовну збіжність наступні ряди:

( 1)n 1

( 1)n

;

2) ln 1

;

(n ( 1)

)

n 1

n 2

n 1

n 2

IV. Задачі для домашнього розв’язування

( 1)n 1

2n sin2n x

( 1)n 1

;

2) ( 1)n 1

;

p 1

n 1

( 1)

n 1

n 1 n n

n 1

n(n 1)

100

4) ( 1)

;

5) ( 1)n

n 1 100 n

n 1

V. Задачі підвищеної складності

1 3 5 ... (2n 1)

( 1) ln n

1) ( 1)n 1

;

2 4 6 ... (2n)

n 1

sin n sin n2

( 1)

;

5) sin n2 ;

n 1

Примітка: Довести, що limsin n2 0 .

6) Дослідити на збіжність ряд

....

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.20161.48 Mб24cушка (зміст).pdf
#
12.09.20193.65 Mб2DE.doc
#
18.08.2019295.94 Кб2derevo.doc
#
14.11.2018134.14 Кб8Diagnostika.doc
#
19.11.2019220.67 Кб1Diagno_prog_tehnologi_SR.doc
#
14.02.20161.7 Mб38diplomna_chornookav.pdf
#
14.02.20162.92 Mб58diplomna_protsyuk.doc
#
04.11.20185.84 Mб19dyplomna.doc
#
19.07.201940.23 Кб2ekonom.docx
#
16.11.2019354.82 Кб12Ekonomika.doc
#
14.02.2016125.59 Кб7Ekzamen_STV.docx