2.4. Переходная и весовая функции

Изображение выходной величины непосредственно следует из определения передаточной функции:

. (2.8)

Переходная функция может быть найдена с применением обратного преобразования Лапласа при

. (2.9)

Подставив (2.8) в (2.9), получим

.

Если входной сигнал , то его изображение и тогда

.

Весовую функцию определяют также с применением обратного преобразования Лапласа при

.

Так как , a , то изображение входа и следовательно

.

Это равенство дает второе определение передаточной функции: это изображение выходной величины при нулевых начальных условиях при подаче на вход функции.

Таким образом, импульсная переходная функция (функция веса) есть обратное преобразование Лапласа передаточной функции

.

2.5. Частотная передаточная функция

Как уже отмечалось в разд. 2.2, частотные характеристики это графики, показывающие зависимость отношения амплитуд на выходе и входе звена и сдвига фазыот частоты при поступлении на вход гармонического сигналаи установившемся сигнале на выходе .

Воспользовавшись известными записями формулы Эйлера

(2.10)

и , (2.11)

можем представить синусоидальный сигнал выражением

.

Тогда входную и выходную переменные можно представить в виде суммы экспоненциальных функций

На основании принципа суперпозиции прохождение через звено каждой составляющей сигнала можно рассматривать отдельно. Поэтому, обычно, пользуются символической записью гармонической функции

Тогда (2.12)

(2.13)

Отношение выходного сигнала к входному называется частотной передаточной функцией (её иногда называют просто частотной)

Пусть, например, звено описывается уравнением

(2.14)

которое соответствует передаточной функции

С учетом (2.13) запишем

После подстановки этих выражений в уравнение (2.14) получим

Отсюда частотная функция звена

Сравнение частотной функции с обычной показывает, что она может быть получена путём формальной замены оператора на.

Частотную функцию можно представить в виде

,

или в показательной форме

.

В этих выражениях и соответственно действительная и мнимая части частотной функции; – модуль частотной функции (обозначают также ), а – её фаза. Легко показать (рис. 2.14), что модуль можно найти из выражения

,

а фазу из выражения

.

На комплексной плоскости (рис. 2.14) частотную передаточную функцию определяет годограф вектора , длина (модуль) которого равна, а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной положительной полуосью) . Кривую, которую описывает конец вектора при изменении частоты от 0 до ∞, называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). Таким образом, АФХ – это совмещённые АЧХ и ФЧХ.

Рис. 2.14. Построение АФХ по частотной функции

Итак, передаточная функция полностью определяет как статические, так и динамические свойства системы (звена). Она показывает, по какому закону тот или иной сигнал, поступивший на вход, преобразуется в выходной сигнал системы или звена.

2.5. Типовые динамические звенья

Любую систему можно представить в виде соединения звеньев – условно выделенных преобразователей сигнала направленного действия. Зная математические модели отдельных звеньев, можно получить модель всей системы.

Направленность действия означает, что сигнал передаётся от входа звена к выходу, а подключение других звеньев не оказывает влияния на свойства звена. Другими словами, включение звена в систему не изменяет его математической модели.

Типовые звенья описываются уравнениями не выше второго порядка, имеют один вход и один выход и являются элементами направленного действия.

Звено не обязательно соответствует функциональному элементу АСУ. Сложный элемент можно представить в виде соединения простых звеньев (не выше 2-го порядка), а соединение простых элементов – объединить в одно звено. Например, несколько последовательно соединённых усилителей заменяют одним с коэффициентом передачи, равным произведению коэффициентов усиления всех усилителей, входящих в соединение.

Рассмотрим вначале наиболее часто встречающиеся типовые звенья, а затем обратимся к особенностям их соединения и правилам преобразования структурных схем.