- •Профессионального образования
- •1. Цели и задачи дисциплины
- •2. Место учебной дисциплины в структуре ооп впо
- •3 Требования к результатам освоения дисциплины
- •4. Объем дисциплины и виды учебной работы
- •5. Содержание дисциплины
- •Тема 1. Математика в современном мире. Математическое моделирование, примеры построения математических моделей.
- •Тема 2. Функции одной переменной: понятие, графики основных элементарных функций. Предел и непрерывность.
- •Тема 3. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •Тема 4. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Экономические приложения.
- •Тема 13. Элементы математической статистики.
- •5.1 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
- •5.2 Разделы дисциплин и виды занятий
- •5.3 Перечень практических занятий
- •6. Примерная тематика курсовых работ
- •7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:
- •В) Средства обеспечения освоения дисциплины
- •8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
- •9. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
- •10. Тематика контрольной работы
- •11. Вопросы для подготовки к зачёту, экзамену Вопросы к зачёту для студентов обучающихся на базе неполного высшего, среднего профессионального (профильного) образования (1 семестр)
- •Вопросы к экзамену для студентов обучающихся на базе неполного высшего, среднего профессионального (профильного) образования (2 семестр)
- •Вопросы к зачёту для студентов обучающихся на базе среднего (полного) общего образования, среднего профессионального образования (1 семестр)
- •Вопросы к экзамену для студентов обучающихся на базе среднего (полного) общего образования, среднего профессионального образования (2 семестр)
- •Программа перезачёта для студентов обучающихся на базе высшего профессионального образования
- •Литература для подготовки к перезачёту
Программа перезачёта для студентов обучающихся на базе высшего профессионального образования
Программа перезачета по дисциплине «Математика» включает в себя следующие вопросы по основам линейной алгебры:
Матрицы. Операции над матрицами. Классификация матриц.
Определители. Свойства определителей. Вычисление определителей.
Системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения систем: метод Крамера, метод обратной матрицы, метод Гаусса.
Экзамен для перезачета проводится в виде теста, на который отводится 60 минут. В экзаменационное задание включено 13 задач.
Рассмотрим демонстрационный вариант теста, аналогичный тем, что даются на экзамене.
Демонстрационный вариант теста
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 |
Вычислить . Вычислить . Вычислить Вычислить . А = Найти А. Вычислить Вычислить Решить систему методом Крамера. В ответе указать и решение Решить систему методом обратной матрицы. В ответе указать Аи решение Решить систему решить методом Гаусса. Ответ дать в виде |
В следующих заданиях надо установить истинность или ложность двух высказываний.
Если высказывание истинно, то в ответе ему соответствует 1, если же высказывание ложно, то 0. Ответ на каждое задание - одна из пар 00, 01, 10, 11.
11
12
13
|
Каждая единичная матрица является диагональной.
Каждая квадратная матрица является диагональной.
Произведение двух квадратных матриц не зависит от порядка сомножителей. |
Определитель не изменится, если поменять местами его строки и столбцы.
Если все элементы определителя второго порядка умножить на 2, то определитель увеличится в 4 раза.
Методом Крамера можно решить любую систему линейных уравнений. |
Решим задачи теста.
1. Вычислить .
Решение. Складываем элементы матриц, стоящие на одинаковых местах. Получаем новую матрицу: . Эту матрицу записываем в бланк ответов. Заполненный бланк ответов покажем после решения всех задач.
2. Вычислить .
Решение. Сначала умножим все элементы 1-й матрицы на 5, затем получившуюся матрицу сложим со 2-й по образцу решения 1-й задачи.
. Эту матрицу записываем в бланк ответов.
3. Вычислить
Решение. Выполняем действия по правилу умножения матриц. Сначала элементы 1-й строки умножаем на соответствующие элементы матрицы-столбца, получившиеся произведения складываем. То же проделываем со 2-й и с 3-й строками. Получаем элементы матрицы-столбца, которая является результатом умножения матриц.
Эту матрицу записываем в бланк ответов.
4. Вычислить .
Решение. Выполняем действия по правилу умножения матриц.
Эту матрицу записываем в бланк ответов.
5. А = Найти А.
Решение. Выполняем действия, соответствующие методу нахождения обратной матрицы. Вычисляем определитель матрицы А:
Находим дополнительные миноры матрицы
Находим алгебраические дополнения матрицы А.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
Транспонируем эту матрицу и умножаем ее на Получаем обратную матрицу.
Эту матрицу записываем в бланк ответов.
6. Вычислить
Используем правило вычисления определителя 2-го порядка.
Результат записываем в бланк ответов.
7. Вычислить
Решение. Вычислим определитель двумя способами. Сначала воспользуемся правилом вычисления определителя 3-го порядка.
Теперь вычислим определитель другим способом. Преобразуем его так, чтобы во 2-й строке получилось 2 нуля. Для этого умножим 2-й столбец на 2 и прибавим к 1-му.
Результат – на место 1-го столбца. Кроме того, прибавим 2-й столбец к 3-му. Результат – на место 3-го столбца. Получаем определитель в новом виде:Этот определитель раскладываем по 2-й строке. Так как во 2-й строке остался только 1 элемент, отличный от нуля, то от разложения остается только 1 слагаемое. Этот определитель уже можно сосчитать, но лучше упростить вычисления. Для этого из 1-й строки вынесем общий множитель 5, а из 2-й строки – общий множитель 13. ПолучимПолучилось то же, что при счете 1-м способом.
На экзамене определитель можно считать любым методом. Результат заносим в бланк ответов.
8. Решить систему методом Крамера. В ответе указать
и решение
Решение. Выпишем матрицу системы и столбец свободных членовВычисляем определители=22 – 28 = -6. Определительполучился из определителяпри помощи замены его 1-го столбца столбцомb свободных членов, определитель получился в результате аналогичной замены 2-го столбца. Теперь вычисляем значения неизвестных:
Полученный результат можно проверить подстановкой значений неизвестных в исходную систему уравнений. Если хотя бы одно равенство будет неверным, то надо либо искать ошибку, либо решать задачу снова. В бланк ответа надо внести значение и решение системы в виде вектора
9. Решить систему методом обратной матрицы. В ответе указать Аи решение
Решение. Выпишем матрицу системы и столбец свободных членов. Найдем матрицу А, обратную к матрице А.
Вычисляем определитель матрицы А:
Находим дополнительные миноры матрицы
Находим алгебраические дополнения матрицы А.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений:
Транспонируем эту матрицу и умножаем ее на Получаем обратную матрицу.
Теперь находим решение системы по формуле .
Вычисляем Это означает, чтоВ бланк ответов записываем матрицу Аи решение в виде столбца. Перед записью в бланк решение можно проверить при помощи подстановки найденных значений неизвестных в уравнения исходной системы.
10. Решить систему решить методом Гаусса. Ответ датьв виде
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы: .
Идея метода заключается в преобразовании матрицы к треугольному виду. Сделать это можно разными способами. Согласно классическому методу 1-ю\строку надо умножить на и сложить со 2-й строкой, затем 1-ю строку надо умножить наи сложить с 3-й. Но из-за получающихся дробей делать это вручную неудобно, поэтому отклонимся немного от классического метода. Умножим 2-ю строку на (-2) и сложим с 1-й. Результат – на место 2-й строки: ( 4 3 3 21 ) (-4 6 -8 34 ) ---------------------- ( 0 9 -5 55 ) - новая 2-я строка. Умножим 1-ю строку на (-3), 3-ю – на 4 и сложим их. Результат – на место 3-й строки. (-12 -9 -9 -63 ) ( 12 16 20 76 ) ---------------------- ( 0 7 11 13 ) - новая 3-я строка. Заменим в исходной матрице старые строки на новые, получим такую матрицу:
. Умножим теперь 2-ю строку на (-7), 3-ю – на 9 и сложим их. Результат – на место 3-й строки. ( 0 -63 35 -385 ) ( 0 63 99 117 ) --------------------------- ( 0 0 134 -268 ) - новая 3-я срока.
После замены 3-й строки получаем матрицу . Получилась треугольная матрица (все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны 0). По этой матрице восстановим систему линейных уравнений.
Теперь система легко решается. Решаем сначала 3-е уравнение
Подставляем это значение во 2-е уравнение. ТогдаПодставляем теперь найденные значенияв 1-е уравнение.Найдены значения всех неизвестных. Решение представим в виде вектора, координатами которого являются значения неизвестных в порядке возрастания их номеров:Этот вектор заносим в бланк ответов.
11. Даны 2 утверждения:
Каждая единичная матрица является диагональной.
Определитель не изменится, если поменять местами его строки и столбцы.
Оба утверждения являются истинными. Поэтому ответ – две единицы, т.е. 11.
12. В этой задаче 1-е утверждение ложно, а 2-е - истинно, поэтому ответ такой: 01.
13. В этой задаче оба утверждения ложны, поэтому ответ такой: 00.
Заполненный бланк ответов может выглядеть так:
1
|
|
8 |
|
2 |
|
9 |
. |
3 |
|
10 |
: |
4 |
|
11 |
11 |
5 |
|
12 |
01 |
6 |
29 |
13 |
00 |
7 |
-65 |
|
|