4. Зв’язок між кількістю вірних знаків та похибкою

Абсолютна похибка наближеного числа x зв’язана з кількістю вірних знаків співвідношенням:

,

де наближене число x представлено у вигдяді:

, ,

усі цифри якого вірні при даному w.

За граничну відносну похибку приймають число:

. (3)

Приклад 10. Знайти граничну відносну похибку наближеного числа 5,8473, якщо всі цифри у записі цього числа вірні у вузькому сенсі.

Розв’язання. Вибираємо w = 0, Тоді за формулою (3) маємо:

.

Приклад 11. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,01%?

Розв’язок. Маємо: ;;w = 0,

На основі формули (3) отримуємо:

. Отже, приймаємо n = Потрібно взяти п’ять десяткових знаків.

5. Похибки суми та різниці

Гранична абсолютна похибка алгебраїчної суми декількох наближених чисел дорівнює сумі граничних абсолютних похибок доданків.

При додаванні чисел з різною абсолютною точністю, щоб не робити обчислень із зайвими знаками, які не впливають на точність результату, доцільно виконати такі дії:

1. виділити числа, які мають найбільшу абсолютну похибку;

2. інші числа заокруглити так, щоб зберегти в них на один знак більше, ніж у виділених числах;

3. виконати додавання чисел;

4. отриманий результат заокруглити на один знак.

Тоді повна похибка результату .

Приклад 12. Знайти суму чисел 24,7 і 5,0753, якщо у доданків всі цифри вірні у широкому сенсі.

Розв’язок. Оскільки в даних чисел усі цифри вірні у широкому сенсі, то їх граничні абсолютні похибки відповідно дорівнюють 0,1 і 0,0001. Число 24,7, яке менш точне, не змінюємо, а друге 5,0753 заокруглюємо так, щоб зберегти в ньому на один знак більше, ніж у першому. Тоді одержимо 5,08. Знайдемо суму: s = 24,7 + 5,08 = 29,78.

Отриманий результат заокруглюємо до 0,1. Одержимо 29,8.

Оцінимо точність цього результату. Для цього обчислимо

;

;

;

.

Таким чином .

Приклад 13. Нехай числа = 2,787745 та= 2,774462 задані з усіма вірними значущими цифрами. Скільки вірних значущих цифр матиме число?

Розв’язок. Віднімаючи, отримаємо 0,013283. Запишемо граничні абсолютні похибки даних чисел:. Тоді абсолютна похибка різниці буде дорівнювати. Оскільки, то робимо висновок, що числомає чотири вірні значущі цифри 1, 3, 2, 8.

6. Похибки добутку та частки

Гранична відносна похибка добутку дорівнює сумі граничних відносних похибок співмножників.

Гранична відносна похибка частки дорівнює сумі граничних похибок діленого і дільника.

Приклад 14. Обчислити граничну абсолютну похибку добутку , де числа43,5 та= 0,0824 мають усі цифри вірні у широкому сенсі.

Розв’язок. Оскільки у заданих чисел усі цифри вірні в широкому сенсі, то можемо визначити їх граничні відносні похибки ,.

; .

Тоді гранична відносна похибка добутку буде дорівнювати

.

Оскільки , то добутокбуде мати щонайменше дві правильні значущі цифри в широкому сенсі:

.

Обчислимо тепер граничну абсолютну похибку добутку:

.

Таким чином .

Перемножуючи числа з різною кількістю вірних значущих цифр рекомендують:

1. виділити числа, які мають найменшу кількість вірних значущих цифр;

2. інші числа заокруглити так, щоб зберегти в них на один чи два знаки більше, ніж у виділених числах;

3. виконати множення чисел;

4. в отриманому результаті зберегти стільки значущих цифр, скільки вірних цифр мають виділені числа.

Приклад 15. Обчислити граничну відносну похибку частки , де числа2,8478 та= 2,24 мають усі цифри вірні у широкому сенсі.

Розв’язок. Оскільки в діленому п’ять вірних значущих цифр, а в дільнику – три, то ділене заокруглюємо до чотирьох значущих цифр і виконуємо ділення: (у результаті залишаємо стільки вірних цифр, скільки є в числі з меншою їх кількістю).

Граничну відносну похибку обчислюємо за формулою:

,

де ‑ перші значущі цифри чиселта,

(кількість вірних значущих цифр у менш точному числі).

.

7. Індивідуальне завдання.

Завдання 1. Заокруглюючи наступні числа до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки наближених чисел.

3,2523	1,643	1,807
0,17153	372,75	11,45
0,02103	3,4578	67,78
1,445	75,1425	90,123
0,0035392	583,7467	7,789
583,71	83,71	3,7167
0,004966	8,8059	0,1537
315,55	0,001234	5,785
71,534	0,1020	57,948
0,1545	5,07890	12,4789

Завдання 2. Визначити кількість вірних цифр в числі , якщо його відносна похибка задана.

= 2,7981, = 0,1102; = 12,8370 , = 1%; = 0,3328, = 0,2101; = 372,8 , = 2%; = 23,652 , = 0,1; = 17261 , = 1%; = 0,03575 , = 0,5102; = 0,22453 , = 10%; = 0,000335 = 0,15; = 6,3495 , = 0,1%; = 22,351, = 0,1; = 9,4698, = 0,1·10–2; = 47361, = 0,01; = 12,8370 , = 1%; = 0,3328, 0,2101;	= 32,8 , = 2%; = 23,652 , = 0,1; = 1761 , = 1%; = 0,03575 , =0,5102; = 0,2453 , = 10%; = 0,00035 = 0,15; = 32,8 , = 2%; = 23,982 , = 0,1; = 161 , = 1%; = 0,0375 , = 0,5102; = 1,22453 , = 10%; = 0,000335 = 0,15; = 8,395 , = 0,1%; = 20,351, = 0,1; = 9,4636, = 0,1·10–2;

Завдання 3. Заокруглити сумнівні цифри числа . Визначити похибку результату.

= 34,8240,021 = 4,0450,001 = 3,1240,041 = 0,13450,001 = 17,9860,004 = 26,80,037 = 88,2670,0084 = 96,4860,0003 = 9,4320,007 = 45,8240,01 = 24,09450,0056 = 30,1240,041 = 0,1450,0031 = 17,860,008 = 0,13450,0001

= 15,8860,009 = 6,85670,037 = 0,8240,0041 = 22,19450,0056 = 301,1240,41 = 6,80,037 = 8,2670,0184 = 6,4860,00322 = 9,320,007 = 4,07850,001 = 33,240,001 = 0,150,0031 = 174,860,002 = 61,80,027 = 0,80,0337

Завдання 4.

1. Знайти суму чисел , де,,і оцінити її абсолютну похибку, якщо всі наведені в зображенні цих чисел цифри є вірними.

2. Обчислити граничну абсолютну похибку добутку , де числа5,465 та= 0,81 мають усі цифри вірні у широкому сенсі.

3. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,001?

4. Оцінити відносну похибку добутку , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,,.

5. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,,.

6. Оцінити абсолютну похибку числа , якщо в числах,вірними є відповідно перші три і чотири цифри.

7. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,001?

8. Оцінити абсолютну похибку числа , якщо в числах,вірними є відповідно перші три і чотири цифри.

9. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,.

10. Оцінити відносну похибку добутку , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,,.

11. Знайти суму чисел , де,,і оцінити її абсолютну похибку, якщо всі наведені в зображенні цих чисел цифри є вірними.

12. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,001?

13. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,,.

14. Знайти суму чисел , де,,і оцінити її абсолютну похибку, якщо всі наведені в зображенні цих чисел цифри є вірними.

15. Обчислити граничну відносну похибку частки , де числа1,8578 та= 1,34 мають усі цифри вірні у широкому сенсі.

16. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,01%?

17. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,.

18. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,01%?

19. Оцінити абсолютну похибку числа , якщо в числах,вірними є відповідно перші три і чотири цифри.

20. Обчислити граничну абсолютну похибку добутку , де числа14,85 та= 0,0874 мають усі цифри вірні у широкому сенсі.

21. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,.

22. Оцінити абсолютну похибку числа , якщо в числах,вірними є відповідно перші три і чотири цифри.

23. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,0001?

24. Оцінити абсолютну похибку числа , якщо в числах,вірними є відповідно перші три і чотири цифри.

25. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,,.

26. Знайти суму чисел , де,,і оцінити її абсолютну похибку, якщо всі наведені в зображенні цих чисел цифри є вірними.

27. Скільки десяткових знаків потрібно взяти при обчисленні , щоб відносна похибка не перевищувала 0,1%?

28. Оцінити відносну похибку числа , якщо відносні похибки чиселвідповідно дорівнюють,.

29. Знайти суму чисел 4,8 і 53,0765, якщо у доданків всі цифри вірні у широкому сенсі.

30. Знайти граничну відносну похибку наближеного числа 54,473, якщо всі цифри у записі цього числа вірні у вузькому сенсі.