Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет Львовская политехника

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Lab 2 (PI)+.doc

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2016

Размер:

525.82 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Лабораторна робота № 2

Тема

Елементи теорії похибок

Мета

Навчитися знаходити похибки заокруглення, похибки операцій.

Теоретичні відомості

1. Абсолютна та відносна похибки

Оновна задача теорії похибок полягає у знаходженні області невизначеності результату. Під похибкою розуміють величину, яка характеризує точність результату.

Нехай x – точне значення деякої величини, а x* – її відоме наближене значення.

Абсолютною похибкою числа x* називається деяка величина , що задовольняє умові

(1)

Відносною похибкою числа x* називається деяка величина , що задовольняє умові

(2)

Відзначимо, що точність результату краще характеризує відносна похибка. Інформацію про абсолютну та відносну похибки можна використати для наступного представлення числа x:

Значущими цифрами числа називаються всі цифри в його записі, починаючи з першої ненульової зліва.

Приклад 1.

x=7,45043 – всі цифри в записі цього числа значущі;
x=0,00814 – значущі цифри тільки 8,1,4;
x=84500 – всі цифри значущі;
x=5,0710 – всі цифри значущі;
x=8,45·10⁶ – значущі цифри тільки 8,4,

Приклад 2. Заокруглюючи число 2,314 до трьох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманого наближеного числа.

Розв’язок. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=2,31, тоді за формулами (1) і (2) маємо: 0,004. Відповідно відносна похибка

Приклад 3. Заокруглюючи число 0,3513 до двох значущих цифр, визначити абсолютну та відносну похибки отриманого наближеного числа.

Розв’язок. Заокруглення до трьох значущих цифр дає x*=0,35, тоді 0,0013. Відповідно відносна похибка

2. Вірні значущі цифри наближеного числа

Отже, значущими цифрами числа називаються всі цифри в його зображенні відмінні від нуля і нулі, якщо вони містяться між значущими цифрами або розташовані в кінці числа і вказують на збереження розряду точності.

Точність наближеного числа залежить від кількості вірних значущих цифр.

Значуща цифра називається вірною, якщо абсолютна похибка числа не перевищує половини одиниці десяткового розряду, що відповідає цій цифрі.

Приклад 4. Нехай x^*=17,68714 і = 3·10^–4. Скільки вірних значущих цифр має число x^*?

Розв’язок. Оскільки = 0,3·10^–3<0,5·10^–3, то x^* має вірні три значущі цифри після коми, тобто вірними будуть значущі цифри 1,7,6,8,7.

Приклад Нехай x*=12,843 і відомо, що = 0,03. Скільки вірних значущих цифр має число x*?

Розв’язок. Маємо = 0,03>0,5·10^-2 і < 0,5·10^-1. Отже у числа x* вірними будуть значущі цифри 1,2,8, а цифри 4 і 3 – сумнівні.

Приклад 6. Нехай x^*=0,07931 і = 0,006. Скільки вірних значущих цифр має число x^*?

Розв’язок. Маємо = 0,6·10^–2>0,5·10^–2. Отже у числа x^* всі значущі цифри сумнівні.

Приклад 7. Визначити кількість вірних цифр в числі 8,1249, якщо відносна його похибка становить .

Розв’язок. Знайдемо абсолютну похибку.

Маємо = 0,8·10^–2< 0,5·10^–1. Отже, в числі 8,1249 вірними є дві цифри: 8, 1.

3. Заокруглення числа

Розглянемо процес заокруглення чисел. Якщо число x=5,2674937 і його потрібно заокруглити до п’яти десяткових знаків після коми, то будемо мати x*=5,26749. Тобто, якщо старший розряд, що відкидається менше 5, то попередня цифра не змінюється. Якщо x=5,2674937 потрібно заокруглити до чотирьох знаків після коми, то x*=5,267 Тобто, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює або більше 5, то попередня цифра в числі збільшується на 1.

Зауваження. Інколи вважають, якщо старший розряд, що відкидається дорівнює 5, а попередня до нього цифра парна, то вона не змінюється, якщо ж попередня цифра непарна, то вона збільшується на одиницю.

Приклад 8. Заокруглити сумнівні цифри числа . Визначити похибку результату.