§ 3.2. Замена переменных в двойном интеграле

G

x =ϕ(u,v),

(3.6)

y =ψ(u,v),

(u,v) H.

При этом каждой точке (x, y) из G соответствует некоторая точка (u,v) из H , а каждая точка (u,v)

из H

переходит в некоторую точку (x, y)

множества G (рис. 3.8).

v

y

x = ϕ (u , v )

y = ψ (u , v )

( x, y)

H

( u , v )

G

0

x

0

u

(u,v)

Рис. 3.8.

множествоH ,

Иными

словами, когда точка

"пробегает"

соответствующая ей

точка

(x, y) = (ϕ(u,v),ψ(u,v)) "пробегает"

множествоG . Функции (3.6) называют отображением области

H

плоскости (u,v) на область G плоскости (x, y).

Пусть отображение (3.6) удовлетворяет следующим условиям.

1°.

Отображение (3.6) взаимно однозначно, т.е.

различным точкам

(u,v) из H соответствуют

различные точки (x, y) из G.

2°.

Функции ϕ(u,v),ψ(u,v) имеют в H

непрерывные частные производные первого порядка.

∂(ϕ,ψ )

∂ϕ

∂ϕ

3°.

Якобиан отображения

=

∂u

∂v

отличен от нуля во всех точках множества H .

∂(u,v)

∂ψ

∂ψ

∂u

∂v

соответственно, в плоскостях Oxy и Ouv,

а отображение

π

удовлетворяет условиям 1°-3°. Тогда

0,

2

для любой интегрируемой в G функции f (x, y) справедлива формула

∂(ϕ,ψ )

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (ϕ(u,v),ψ(u,v))

dudv.

(3.7)

∂(u,v)

G

H

∫∫ f (x, y)dxdy ,

(3.8)

G

∂(x, y)

∂x

∂x

cosϕ

− rsinϕ

=

∂r

∂ϕ

=

= r,

∂(r,ϕ)

∂y

∂y

sinϕ

r cosϕ

∂r

∂ϕ

следовательно, формула преобразования интеграла приобретает вид:

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ,rsinϕ) rdrdϕ.

(3.9)

G

H

Например, если G – круг x2 + y2

≤ R2 , а H

– прямоугольник 0 ≤ r ≤ R,0 ≤ϕ ≤ 2π, то соответствие

(3.8) между G и H не является взаимно однозначным, поскольку стороне H , примыкающей к оси Oϕ

(рис. 3.9), соответствует единственная точка – центр круга G . В то же время, если G′– проколотый круг

0 < x2

+ y2 ≤ R2 , а H / – полуоткрытый прямоугольник 0 < r ≤ R,0 ≤ϕ < 2π, то соответствие (3.8) между G/

и H /

взаимно однозначно. Имеем

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (r cosϕ, r sin ϕ) rdrdϕ =

G

G/

H /

Для площади σ(G)

круга G получаем знакомую формулу

σ(G) = ∫∫dxdy =

∫∫rdrdϕ =

2π

R

R

∫dϕ∫rdr = ∫2πrdr =πR2 .

G

H

0

0

0

ϕ

2π

H

r

R

Рис. 3.9

Примеры

1.

Вычислить

двойной

интеграл,

переходя

к

полярным координатам

∫∫xdxdy, где

G = {(x, y) : 2x ≤ x2 + y2 ≤ 4x, y ≥ 0}.

G

Р е ш е н и е . Изобразим множество G (рис. 3.10) и перейдем к полярным координатам по формулам

(3.8).

Подставим

формулы

(3.8) в уравнения

окружностей x2 + y2 = 2x, x2 + y2

= 4x и найдем

r = 2cosϕ,r = 4cosϕ.

Следовательно, при каждом значении ϕ

из промежутка

0,

π

переменная r

1

2

2

изменяется от r1 = 2cosϕ до r2 = 4cosϕ.

Таким

образом, множеству G при отображении (3.8)

соответствует более простое множество

≤ϕ ≤

π

,

H = (ϕ, r) : 0

2

2cosϕ ≤ r ≤ 4cosϕ

π

4cosϕ

2

∫∫xdxdy = ∫∫r cosϕ rdrdϕ = ∫dϕ

∫

r2 cosϕdr

=

G

H

0

2cosϕ

x = ar cosϕ,

(3.11)

y = brsinϕ.

Подставляя выражения (3.11) в уравнение эллипса, получим r2 =1,

откуда r =1, причем наглядно видно,

что при каждом значении ϕ из промежутка

π

переменная r изменяется от 0 до 1. Таким образом, на

0,

2

плоскости (r,ϕ) выделяется множество H =

π

(r,ϕ) : 0 ≤ r ≤1,0 ≤ϕ ≤

2

. Якобиан отображения

∂(x, y)

∂x

∂x

a cosϕ

− arsinϕ

=

∂r

∂ϕ

=

= abr.

∂(r,ϕ)

∂y

∂y

bsinϕ

br cosϕ

Следовательно,

∂r

∂ϕ

π

1

σ(G) = ∫∫dxdy = 4∫∫dxdy =

2

4∫∫abrdrdϕ = 4ab∫dϕ ∫rdr

=πab.

G

G1

H

0

0

Переходя к (обобщенным) полярным координатам, вычислить интегралы.

3.2.1.

∫∫cos(x2 + y2 )dxdy,

где G = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 4}.

G

3.2.2.

∫∫xydxdy, где G = {(x, y) : x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0}.

G

3.2.3.

∫∫

1−

x2

−

y2

dxdy,

где область G ограничена эллипсом

x2

+

y2

=1.

4

9

4

9

G

2

2

2

3.2.4.

∫∫x2dxdy,

где область G ограничена астроидой x

+ y

= 4

.

3

3

3

Р е ш е н и е .

Возьмем последовательность квадратов

G ={(x, y) : −n < x < n,−n < y < n},

где n =1,2,K,

исчерпывающую R2 . В условиях предыдущего примера

n

имеем

I = lim

2

2

)dxdy =

n

2

n

2

∫∫e−( x

+y

lim

∫e−x

∫e−y

=

n→∞Gn

n→∞

−n

−n

n

−x

2

2 +∞

−x

2

2

= lim

∫e

∫

e

=

dx .

n→∞

−n

−∞

+∞

∫ e−x2 dx =

π .

−∞

5. Найти несобственный интеграл

∫∫

dxdy

.

2

)(1+ y

2

)

|y|≤x (1+ x

Р е ш е н и е .

Рассмотрим исчерпание плоскости

R2

квадратами G ={(x, y) : −n < x < n,−n < y < n},

n

где n =1,2,K Нетрудно видеть, что пересечение G/ = G ∩G области интегрирования G ={(x, y) :| y |≤ x} с

n

n

квадратом Gn

задается неравенствами | y |≤ x < n и определяет исчерпание {Gn/ } области интегрирования

G . Следовательно,

∫∫

dxdy

= lim

∫∫

dxdy

=

|y|≤x (1

+ x2 )(1 + y 2 ) n→∞|y|≤x<n (1

+ x2 )(1 + y 2 )

x

x

dy

n

arctg

y

y=x

= lim

∫dx

∫

= lim

∫

dx =

(1 + x2 )(1+ y2 )

(1+ x

2 )

n→∞

0

−x

n→∞

0

y=−x

= lim

n

2arctg x

dx

= lim arctg2 x

n

=

π 2

.

∫

(1

+ x2 )

0

4

n→∞

0

n→∞

Признак сравнения. Пусть f (x, y) и g(x, y) – функции такие, что

0 ≤ f (x, y) ≤ g(x, y) на

неограниченном множестве G . Тогда из сходимости несобственного интеграла

∫∫g(x, y)dxdy следует

G

сходимость несобственного интеграла ∫∫ f (x, y)dxdy,

а из расходимости интеграла ∫∫ f (x, y)dxdy следует

G

G

расходимость интеграла ∫∫g(x, y)dxdy.

G

Теорема.

Пусть G R2 – неограниченное множество,

f (x, y) – функция, определенная на G и

интегрируемая

по всякому подмножеству в G с

границей

нулевой площади. Тогда из сходимости

интеграла ∫∫| f (x, y) | dxdy вытекает сходимость интеграла ∫∫

f (x, y)dxdy.

G

G

∫∫

sin xsin y

dxdy.

(3.13)

+ x

2

)(1

+ y

2

)

|y|≤x (1

площади. С учетом сходимости интеграла

dxdy

∫∫

2

)(1+ y

2

)

|y|≤x (1+ x

из неравенств

0 ≤

sin xsin y

≤

1

(1+ x2 )(1+ y2 )

(1+ x2 )(1+ y2 )

по признаку сравнения получаем сходимость интеграла

∫∫

sin xsin y

dxdy.

+ x

2

)(1+ y

2

)

|y|≤x (1

Отсюда по предыдущей теореме вытекает сходимость интеграла (3.13).

Теорема. Если кратный интеграл ∫∫

f (x, y)dxdy

сходится, то сходится и интеграл ∫∫| f (x, y) | dxdy.

G

G

Смысл этой теоремы в том, что в n -мерном (n ≥ 2)

пространстве понятие сходимости и абсолютной

I = ∫∫sin(x2 + y2 )2 dxdy

расходится.

R2

Р е ш е н и е .

Исследуем на сходимость интеграл

I1 = ∫∫

sin(x2 + y2 )2

dxdy,

R2

в котором подынтегральная функция неотрицательна. Пусть

Gn = {(x, y) : x2 + y2

≤ n2 },n =1,2,K– исчерпание плоскости R2, тогда

π ∫

sin t dt.

I1n = ∫∫ sin(x2 + y2 )2 dxdy = 2π ∫ sin r4 rdr =

n

n2

Gn

0

2 0

t

Но интеграл

∞ sin t

dt

расходится и стремится к +∞ (см. соответствующий пример из главы 2),

поэтому

∫

t

0

lim I1n = +∞,

и,

значит, интеграл I1

расходится. Если бы

данный интеграл I сходился, то,

согласно

n→∞

предыдущей теореме,

сходился бы и интеграл I1. Значит,

из его расходимости следует расходимость

интеграла ∫∫sin(x2 + y2 )2 dxdy.

R2

∫∫ f (x, y)dxdy = ∞∫ ∞∫

f (x, y)dy dx ,

R2

−∞ −∞

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫

dx ∫ f (x, y)dy .

(3.14)

R2

−∞

−∞