Добавил:

Sergo Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Государственный университет управления

Предмет:

Высшая математика

Файл:

1 курс 2 семестр (книга №2).pdf

Скачиваний:

113

Добавлен:

16.12.2013

Размер:

2.03 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Упражнения

Задачи с экономическим содержанием.

2.3.3.1. Зависимость потребляемой на бытовые нужды города электроэнергии y (кВт ч) от времени суток x (час) выражается следующей формулой: y = a +bcos12π (x +3). Найти суммарный расход

электроэнергии за сутки. Произвести расчет при следующих числовых данных: a = 25000 кВт ч, b = 15000 кВт ч.

2.3.3.2. Найти стоимость перевозки 1000 тонн груза по железной дороге на расстояние 1000 км, если тариф на перевозку одной тонны убывает с каждым следующим километром на постоянную величину

0,5 руб.

2.3.3.3. Функция предельного дохода равна	MR(q)=		10	. Найти функцию дохода R(q) и вычислить
		(1	+ q)

ее значение при

q = 9, если известно, что R(0) = 0.

2.3.3.4.Дана функция предельных издержек MC(q)= 100π arctgq . Найти выражение для функции издержек C(q) и ее значение при q = 100, если известно, что C(0) = 1000.

2.3.3.5.Дана функция предельного потребления MC(y)= 0,8 + 0,y2 . Найти выражение для функции

потребления C(y) и ее значение при y = 400, если известно, что C(100) = 100.

2.3.3.6.Пусть скорость изменения денежного потока задана функцией I (t)= 203 t . Найти зависимость

величины денежного потока K(t) от времени t и величину накоплений на интервале [1, 64], если известно, что K(0) = 50.

2.3.3.7.Рассматривается непрерывный денежный поток, прибывающий с постоянной скоростью 1 млн руб./год. Найти его дисконтированное значение в течение двух лет для непрерывных 5%. Аналогичный вопрос для интервала в три года и 4%.

2.3.3.8.Пусть скорость изменения денежного потока задана функцией I(t) = 40 + 0,05t. Найти дисконтированное значение денежного потока за 5 лет при непрерывных 5%.

§ 2.4. Несобственные интегралы

1°.	Несобственные интегралы с бесконечными пределами
Пусть	функция f(x)	определена для всех x ≥ a и интегрируема на	любом	отрезке	[а, b]. Тогда
b		несобственным интегралом от f(x) в пределах
lim ∫ f (x)dx	называется	несобственным интегралом от f(x) в пределах	от а	до +∞ и	обозначается
b→+∞ a

+∞

∫ f (x)dx .

b +∞

Аналогично определяются интегралы ∫ f (x)dx и ∫ f (x)dx .

−∞ −∞

Таким образом,

+∞	b	b	b
∫ f (x)dx =	lim ∫ f (x)dx ;	∫	f (x)dx = lim ∫ f (x)dx ;
a	b→+∞ a	−∞	a→−∞ a

+∞	c
∫	f (x)dx = lim ∫ f (x)dx
−∞	a→−∞ a

+ lim ∫ f (x)dx .

b→+∞ c

Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называются сходящимися. В противном случае интегралы называются расходящимися.

Признак сравнения. Пусть функции f (x) и	g(x) определены для всех x ≥ a и интегрируемы на
каждом отрезке [а, b], b ≥ a . Если 0 ≤ f (x) ≤ g(x)	+∞
каждом отрезке [а, b], b ≥ a . Если 0 ≤ f (x) ≤ g(x)	для всех x ≥ a , то из сходимости интеграла ∫g(x)dx
	a

+∞

вытекает сходимость интеграла ∫ f (x)dx , причем

∫

f (x)dx

≤

∫g(x)dx ; из расходимости интеграла

+∞

∫ f (x)dx вытекает расходимость интеграла ∫g(x)dx .

Признак абсолютной сходимости.

Пусть функция

f (x)

определена для всех

x ≥ a .

Если

+∞

интеграл ∫| f (x) | dx сходится, то сходится и интеграл ∫ f (x)dx , причем ∫ f (x)dx

≤

∫|

f (x) | dx .

+∞

Если интеграл ∫ f (x)dx

сходится, а

∫| f (x) | dx

расходится,

то интеграл

∫ f (x)dx называется

условно сходящимся.

Замена переменной в несобственном интеграле основывается на следующей теореме.

Теорема.

Пусть

функция

f (x)

определена

непрерывна

при

x ≥ a .

Если функция x= φ(t), определенная на промежутке α < t < β (α и β могут быть и символами −∞ и +∞

соответственно), имеет непрерывную производную φ'(t) ≠ 0 и limϕ(t) = a , limϕ′(t) = +∞, то

t→α

+∞

′

∫

f (x)dx = ∫

f (ϕ(t))ϕ

(t)dt .

Примеры

∞

Вычислить

несобственный

интеграл

бесконечным

пределом ∫

основываясь на

определении несобственного интеграла.

x ln

Р е ш е н и е . По определению,

∞

−1

∫

lim ∫

= lim

1 x ln

b→+∞ 1

x ln

b→+∞

2ln

∞

Доказать сходимость несобственного интеграла с бесконечным пределом ∫

cos x

dx .

Р е ш е н и е .

∞ cos x

b cos x

sin x

b sin x

∞ sin x

∫

dx =

lim ∫

dx = lim

+ ∫

= −sin1+ ∫

2 dx

b→+∞ 1

b→+∞

∞

Интеграл

∫

sin x

сходится (причем абсолютно),

т.к. | sin x | / x2 ≤1/ x2

при

x ≥1 ,

а интеграл

1 x

∞

cos x dx .

∫

12 dx сходится. Таким образом сходится и интеграл ∫

∞

| cos x | dx .

Доказать расходимость несобственного интеграла ∫

Р е ш е н и е .

Действительно,

| cos x |

≥ cos2 x

1+cos 2x .

Интеграл

∞1

+cos 2x

dx =

1 b

−

∞ cos 2x

dx = lim

ln b −

∞ cos 2x

расходится,

т.к.

ln b = ∞, а

∫

lim

∫

lim

b→+∞

2 1

b→+∞

∞

интеграл

∫

cos2x

сходится

(см.

пример). Следовательно,

интеграл

∫

| cos x | dx

расходится.

Упражнения

Найти несобственные интегралы или установить их расходимость:

2.4.1.1.	∫ dx .
	∞
2.4.1.3.	1		x
2.4.1.3.	∫	dx .
	∞
	1		x		dx
2.4.1.5.	∞				dx	.
	∫
	∫			2	+ 2x +5
	−∞ x				+ 2x +5
2.4.1.7.	∞
2.4.1.7.	∫e−2 x dx .
	0
2.4.1.9.	∞
2.4.1.9.	∫e− x dx .
	0

2.4.1.11. ∞∫e−3x dx .

2.4.1.2.	∫	dx2 .
	∞
	1	x
	∞
2.4.1.4.	∫		2xdx				.
2.4.1.4.	∫		2				.
2.4.1.6.	−∞ 1+ x								.
2.4.1.6.	∫				dx				.
	∞
	1	x x2 −1
2.4.1.8.	∞
2.4.1.8.	∫xsin xdx .
	0
2.4.1.10.	∞ arctgxdx
	∫							.
	∫			1+ x		2		.
	1			1+ x
2.4.1.12.	∞∫xe−3x dx .
	0

2.4.1.13.	Дайте	определение	несобственного	интеграла	с	бесконечным	верхним	пределом
			∞
интегрирования. Сходится ли интеграл ∫cos xdx ? Ответ обоснуйте.
2.4.1.14.			0
2.4.1.14.	Дайте	определение	несобственного	интеграла	с	бесконечным	нижним	пределом
			0
интегрирования. Сходится ли интеграл ∫ex dx ? Ответ обоснуйте.

−∞

2.4.1.15. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. Приведите примеры.

2.4.1.16. При каких положительных значениях α несобственный интеграл ∞∫ dx сходится, а при каких

1 xα

расходится? Ответ обоснуйте.

2°. Несобственные интегралы от неограниченных функций

Если функция f (х) определена при а ≤ х < b, интегрируема на любом отрезке [а, b − ε], 0 < ε < b − а и не ограничена слева от точки b, то по определению полагают

∫b	f (x)dx = lim b−∫ε f (x)dx .
a	ε→0+0	a

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. В

противном случае интеграл называется расходящимся.
Аналогично, если функция f (x) не ограничена справа от точки а, то
∫b	f (x)dx = lim	∫b	f (x)dx .
a	ε→0+0	a+ε
a		a+ε

Наконец, если функция в окрестности внутренней точки с отрезка [a,b] не ограничена, то по определению

		∫b	f (x)dx = ∫с	f (x)dx + ∫b		f (x)dx .
	f (x)	a	a		с
Пусть функция	f (x)	непрерывна на отрезке			[a,b], за исключением конечного числа точек. Если
существует функция	F (x)					′
существует функция	F (x)	, непрерывная на [a,b], для которой F (x)= f (x), кроме конечного числа точек,

то имеет место формула Ньютона–Лейбница:

∫b f (x)dx = F (a)− F (b).

Функция F (x) иногда называется обобщенной первообразной для функции f (x) на отрезке [a,b].

Для функций, определенных и положительных на промежутке a ≤ x < b , справедливы признаки сходимости (признаки сравнения), аналогичные признакам сравнения для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Признак

сравнения.

Пусть функции

f (x) и

g(x)

определены на

промежутке

a ≤ x < b

интегрируемы

на

каждом

отрезке

[a,b −ε], 0 <ε < b − a . Если

0 ≤ f (x)≤ g(x),

то

из

сходимости

интеграла ∫b g(x)dx

вытекает

сходимость

интеграла

∫b

f (x)dx ,

причем

∫b

f (x)dx

≤

∫b g(x)dx ;

из

расходимости интеграла ∫b

f (x)dx вытекает расходимость интеграла ∫b g(x)dx .

Признак абсолютной сходимости. Пусть функция

f (x) определена на промежутке a ≤ x < b

интегрируема

на каждом

отрезке

[a,b −ε];

тогда

из

сходимости интеграла

∫b |

f (x)| dx

следует

сходимость интеграла ∫b

f (x)dx .

В этом случае интеграл ∫b

f (x)dx

называется абсолютно сходящимся. Если же интеграл

∫b

f (x)dx

сходится, а интеграл ∫b |

f (x)| dx

расходится, то интеграл ∫b

f (x)dx называется условно сходящимся.

Аналогичные признаки справедливы и для несобственных интегралов ∫b f (x)dx , где f(х) не ограничена

справа от точки a.

Примеры

Исходя из определения, вычислить следующие несобственные интегралы (или доказать их расходимость):

3 3

= lim

ln x

1+ε x

ln x

ε→0+0

1+ε

∫

ε→0+0

= lim

−

3 ln

( 1+

ε)

ε→0+0

−ε

2. ∫

= lim

∫

= lim lntg(

)

cos x

ε→0+0

= lim lntg(

−

ε ) = ∞.

ε→0+0

Следовательно, данный интеграл расходится.

Упражнения

Найти несобственные интегралы или установить их расходимость.

2.4.2.1.	1
2.4.2.1.	∫ln xdx .
2.4.2.3.	0		dx .
2.4.2.3.	∫		dx .
	1
2.4.2.5.	0		1− x2	.
2.4.2.5.	∫		dx	.
	2
	0 3		(x −1)2
2.4.2.7.	e4		dx	.
2.4.2.7.	∫	x	dx	.
	0	x	ln x
2.4.2.9.	1		dx
2.4.2.9.	∫0		x(1− x) .
2.4.2.11.	∫1	x2 ln xdx .
	0

2.4.2.2.	∫−21		dx		.
2.4.2.2.	∫−21				.
2.4.2.4.	∫		x
2.4.2.4.	∫		xdx .
	3
2.4.2.6.	2		x − 2
2.4.2.6.	∫		dx2 .
	1
2.4.2.8.	0	x ln					x	4 .
2.4.2.8.	∫		2 dx					4 .
	1
	0	x + x
		3
	∫1		x−
2.4.2.10.			x−	4				dx .
2.4.2.10.						1		dx .
	0 1− x						4

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 115 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
16.12.20132.03 Mб1131 курс 2 семестр (книга №2).pdf
#
16.12.2013695.59 Кб901 курс 2 семестр (книга №3).pdf
#
16.12.201348.13 Кб27vyshka_var_2008.doc
#
16.12.201365.54 Кб73Билет по высшей математике.doc
#
16.12.2013498.16 Кб26Билет по вышке 2 семестр 2005-2006.jpg
#
16.12.2013385.09 Кб53Билеты по высшей математике ГУУ.jpg