Глава 2

Определенный интеграл

§ 2.1. Определение и свойства

1°. К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи вычисления площадей,

объемов, работы, объема производства, денежных потоков и т.п. В этих задачах приходится встречаться с

отысканием сумм специального вида.

2°.

Пусть

на

отрезке

[a,

b]

задана

ограниченная

функция

y = f(x). Рассмотрим разбиение T отрезка [a, b] точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. Для каждого

отрезка разбиения [xk , xk+1] определим его длину ∆xk = xk+1 − xk

, выберем в нем произвольную точку mk ,

найдем значение функции y = f(x)

в ней Mk=f( mk ) и составим для разбиения T интегральную сумму ST =

n−1

∑M k ∆xk

. На рис. 2.1 этой сумме соответствует площадь ступенчатой фигуры.

k=0

y

Mk

B

A

O

a x

x

x

k

m

x

x n − 2 xn −1b x

1

2

k

k+1

Рис. 2.1.

Число d(T ) = max ∆xk

характеризует "степень мелкости"

разбиения T; чем меньше это число, тем

k

мельче разбиение T. Если разбиения T1,T2 ,... выбираются так, что d(Tn ) → 0

при n → ∞ , то будем говорить

о неограниченном измельчении разбиения отрезка [a,b].

3°.

Определение. Если при d(T ) → 0 , т.е. при любом неограниченном измельчении разбиения отрезка

[a,b], интегральная сумма ST стремится к определенному пределу, то этот предел называют

определенным интегралом функции

y = f (x)

на отрезке [a,b] и обозначают ∫b

f (x)dx .

В этом случае

функцию f(x) называют интегрируемой на отрезке [a,b].

a

Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является ее непрерывность.

4°. Формула Ньютона–Лейбница для нахождения определенного интеграла для функции f(x),

интегрируемой на отрезке

[a,b]:

∫b

f (x)dx = F (b)− F(a),

a

где F(x) − любая первообразная для функции f(x) на [a,b].

5°.

Основные свойства.

1) ∫b [f (x)+ g(x)]dx = ∫b

f (x)dx + ∫b g(x)dx .

a

a

a

2) ∫b

Af (x)dx = A∫b

f (x)dx , A = const.

a

a

3) ∫a

f (x)dx = 0 ; ∫b

f (x)dx = −∫a

f (x)dx .

a

a

b

a

a

c

5)

Если f(x) ≤ g(x) на отрезке [a,b], то ∫b

f (x)dx ≤ ∫b g(x)dx .

6)

Если

на

отрезкеa

a [a,b]

выполняются

неравенства

m ≤ f(x) ≤ M, то m(b − a)≤ ∫b

f (x)dx ≤ M (b − a) (оценка интеграла).

a

Теорема о среднем. Для непрерывной на отрезке [a, b]

7)

функции y = f (x) найдется точка c [a,b], что

Р е ш е н и е .

Разобьем отрезок [1; 2]

на п частей так, чтобы точки деления xi (i = 0,

1, 2,

..., п)

составляли геометрическую прогрессию:

x0 = 1; x1 = q; x2 = q2; x3 = q3; . . . , xn = qn = 2,

откуда

q = n 2 .

Длина i-го

частичного

отрезка

равна∆xi

= qi+1 − qi = qi (q −1) ,

так

что

max ∆x

i

= qn−1 (q −1) → 0 при n → ∞ , т.е. при q → 1. В качестве точек m выберем правые концы частичных

i

отрезков, т.е. m = x

i+1

= qi+1 .

i

Составим интегральную сумму:

n−1

1

n−1

1

i

n

1

1/ n

ST = ∑

∆xi = ∑

q

(q

−1) =

(q

−1) =

n(2

−1).

m

i+1

q

1/ n

i=0

i=0 q

2

i

Остается найти предел интегральной суммы:

lim S

= lim

n(21/ n −1)

= ln 2,

T

n→∞

n→∞

21/ n

1/ n

1

так как

2

−1 ~

ln 2 при n → ∞ .

n

Итак,

2

1

dx = ln 2 .

∫

1

x

2

x

4

2

2

4

4

15

∫x3dx =

=

−

(−1)

=

.

4

4

4

4

−1

−1

Р е ш е н и е . С помощью производной находим наибольшее M

=

3

и наименьшее m =

1

значения

5

2

5 − x

функции f (x)=

на отрезке [0; 2]. Тогда

9 − x2

1 (2 −0)≤ ∫

5 − x2

dx ≤ 3

(2 −0), или 1 ≤ ∫ 5 − x2 dx ≤1,2 .

2

2

0

0

2

9 − x

5

9 − x

Точное значение интеграла равно

4 ln 5

−ln 3 ≈1,0472 .

3

Примеры

1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y =

1

и

y =

x2

.

1+ x2

2

Р е ш е н и е . Построим графики данных

кривых (рис. 2.2)

и найдем абсциссы точек пересечения

графиковизсистемы уравнений:

x2

y =

,

x2

1

2

=

,