5. Аналитические преобразования в пакете MathCad

Пакет MathCAD позволяет выполнять целый ряд аналитических (символьных) процедур (symbolic operations), используя инструменты панелей Symbolic (символьные) и Calculus Toolbar (матанализ). К этим операциям относятся:

операции над функциями – вычисление производных (derivate) и неопределенных интегралов (indefinite integrals), разложение функций в степенные ряды (expand to series);
операции над последовательностями – нахождение пределов (limits), вычисление сумм (summation) и произведений (iterated product);
операции над дробями (разложение на простые дроби – convert to partial fractions),
операции над математическими выражениями упрощение (simplify), приведение подобных членов (collect terms)

При записи аналитических соотношений следует использовать знак символьного равенства. Он отображается в тексте документа как  и набирается нажатием клавиш CTRL+или, используя панели Symbolic (символьные) или Evaluation (вычисление). Некоторые примеры аналитических процедур приведены на рис.9, который представляет фрагмент документа MathCAD.

Рис.9. Примеры аналитических (символьных) преобразований в пакете MathCAD

6. Работа с векторами и матрицами в пакете MathCad

Для проведения целого ряда вычислительных процедур пакет MathCAD предоставляет широкий инструментарий дополнительных возможностей автоматизации расчетов. В первую очередь это возможности обработки упорядоченных совокупностей элементов.

Упорядоченные совокупности элементов называются матрицами и векторами. Каждая матрица (двумерный массив) и вектор (одномерный массив) имеет свое уникальное имя. Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения, начинаясь с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN (по умолчанию эта переменная равна нулю, но ее можно переопределить в тексте документа для удобства пользователя). Векторы и матрицы можно задавать:

импортируя данные из структурированного внешнего ASCII-файла, используя выражение вида X:=READPRN(«адрес и имя файла»). Последнее часто бывает необходимо при анализе результатов экспериментов, сохраненных в виде упорядоченных многостолбцевых массивов;
«вручную» с заполнением массива пустых полей (для не слишком больших массивов);
с использованием дискретного аргумента, когда имеется некоторая явная зависимость для вычисления элементов через их индексы.

Примеры реализации различных способов ввода отражены на рис. 10-12.

Рис. 10 Ввод матриц в ручном режиме

Рис. 11. Ввод матриц с помощью функций

Для формирования элементов матриц в виде случайных чисел используется функция rnd(a), которая возвращает случайное число равномерно распределенное в интервале (0, а). Поэтому выражение вида rnd(2a) – a будет возвращать случайное число из интервала (–a,a). На рис. 12 приведен пример формирования матрицы случайных чисел.

Рис. 12. Формирование случайной матрицы с помощью функции rnd

Пакет MathCAD позволяет производить алгебраические процедуры с матрицами и преобразовывать их по определенным правилам. Примеры процедур представлены на рис. 13 – 16.

Любое вычисление, которое MathCAD может выполнить с одиночными значениями, он может выполнять также с векторами и матрицами, используя оператор векторизации, который изменяет смысл операций. Например, пусть Q некоторая матрица. Тогда запись exp(Q) или (в средеMathCAD) является некорректной, так как аргументом функции exp (или радикал) должна быть простая переменная, а не матрица. Применение к этой функции оператора векторизации приводит к вычислению функции от каждого элемента матрицы и результатом также является матрица. Пример применения операции векторизации представлен на рис. 17.

Если результаты экспериментальных наблюдений или расчетов формируют матрицы, то имеется возможность строить графики (как обычные, так и трехмерные) функций, заданных в виде таблиц. При этом в качестве независимого аргумента (и зависимой переменной) может быть выбран любой из столбцов (или любая из строк) данной матрицы. Пример построения графика приведен в MathCAD документе, приведенном на рис. 18.