Численные методы. Программный комплекс mathcad

Сегодня компьютер обычно воспринимается как техническое офисное средство, инструмент для работы в Internet или игровая приставка. Вместе с тем, изначально само его название (от англ. computer – вычислитель) указывает, что по своей природе этот инструмент предназначен в первую очередь для выполнения различного рода расчетов. Компьютер не только обеспечивает автоматизацию процесса вычислений, но и позволяет применять для решения задач специальные численные методы, которые практически не могут использоваться без его поддержки. Данные методы называются численными потому, что они основаны на операциях с числами, то есть на четырех арифметических действиях – сложении, вычитании, умножении и делении, но позволяют решать разного вида уравнения, включая дифференциальные, производить интегрирование функций, решать задачи оптимизации и т. п.

Очень удобным программным продуктом, который позволяет реализовать на компьютере разнообразные численные методы является пакет компьютерной математики MathCAD.

Причины выбора MathCad

MathCAD является мощным, специализированным программным пакетом, предназначенным для решения самых различных математических задач. Его главное достоинство в том, что задачи можно решать, практически не составляя программу, т.е. без использования языка программирования. Именно это и привлекает в пакете самых различных пользователей. Ведь конкретного специалиста интересует лишь результат поставленной задачи, а не то, как для этого составить программу.

MathCAD  -  интегрированная полнофункциональная система решения математических, инженерно-технических и научных задач.  Данный пакет- замечательный помощник инженера. MathCAD позволяет выполнять инженерные расчёты  любой сложности в любых прикладных областях на самых ранних этапах жизненного цикла изделия  при этом достигать  требуемой в данной прикладной области точности вычислений. 

В MathCAD встроен автоматический учет единиц измерения, и тем самым при расчетах убирается целый пласт ошибок, которые совершают инженеры. Между прочим, в Excel много труда уходит на постоянный контроль перевода см² в м², МПа в кгс/см², тс/м². MathCAD - хорошее решение для ИНЖЕНЕРНЫХ задач. Данный пакет удобней для чистых инженерных расчетов, чем Excel.

Основные положения, которые рассматриваются в этой работе, относятся к базовому программному продукту MathCAD 13, разработки фирмы Mathsoft.. Сейчас существуют несколько более новых версий разработки компании PTC – MathCAD 14, MathCAD 15, каждая из них имеет свои особенности, но основные операции для выполнения вычислений присутствуют во всех новых разработках MathCAD.

1. Общие сведения о пакете

MathCAD-документ это чистый лист бумаги, на котором с помощью клавиатуры и мыши можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области выражения в виде, принятом научным миром задолго до появления компьютера. Экран дисплея при работе в среде MathCAD имеет вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1. Внешний вид интерфейса пакета MathCAD

Интерфейс MathCAD аналогичен интерфейсу программных продуктов Microsoft Office и имеет аналогичные команды панели управления. Заметим, что команда Number используется для задания формата выводимых на экран значений, меню Math – для задания режима проведения вычислений (ручной/автоматический), а меню Simbolics для проведения аналитических расчетов.

По умолчанию новый объект является формулой. Чтобы набрать формулу, надо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков арифметических операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охватывающий ее текущий элемент, например имя переменной (функции) или число. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется поле заполнения в виде черного прямоугольника (place holder). В это место помещают очередной оператор.

Для управления порядком операций используют круглые скобки, которые можно вводить вручную. Чтобы выделить элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое целое, используют клавишу ПРОБЕЛ. При каждом ее нажатии уголковый курсор «расширяется», охватывая элементы формулы, примыкающие к нему. После ввода знака операции элементы в пределах уголкового курсора автоматически заключаются в скобки.

Элементы формул (заготовки-шаблоны математических знаков и конструкций программирования, таких как знаки арифметических операций, матрицы, знаки интегралов, производных и т.д.) можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления, которые открываются из меню View (Вид) или кнопками надели управления Math (Математика) (рис. 1.2). Кнопки вывода на экран наборных панелей занимают пятую сверху строку программного окна MathCAD.

Таблица 1 – Наборные панели палитры математических инструментов MatCAD

Значок кнопки	Назначение наборной панели	Значок кнопки	Назначение наборной панели
	Ввод знаков арифметических операций, цифр		Ввод операторов символьной математики
	Ввод знаков отношений, используемых при записи условий		Ввод букв греческого алфавита
	Построение различных графиков		Ввод конструкций программирования
	Ввод матричных операторов		Ввод операторов суммирования, интегрирования и дифференцирования

Для вызова на экран нужной наборной панели достаточно щелкнуть левой кнопкой мыши (ЛКМ) на значке, а затем приемом "перетащить и оставить", поместить раскрывшуюся наборную панель в удобном для работы месте программного окна MathCAD. Назначение их пояснено в таблице 1.

В MathCAD содержится небольшая группа системных переменных, имеющими предопределенные системой начальные значения. Изменение значений системных переменных производят во вкладке Встроенные переменные диалогового окна Math Options команды Математика  Опции. Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т.е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной. Так, команда на языке Basic LET x = 10 в MathCAD записывается следующим образом: x:=10. Присваивание переменной начального значения с помощью оператора :=, вызывается нажатием клавиши : (двоеточие) на клавиатуре при английской раскладке. Такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена, и ее нельзя использовать. Однако с помощью знака  (клавиша ~ на клавиатуре в английской раскладке) можно обеспечить глобальное присваивание (рис. 2, пример 1). MathCAD считает документ в два прохода (слева направо и сверху вниз). При первом проходе выполняются все действия, предписанные глобальным оператором присваивания (), а при втором – предписанные локальным оператором присваивания (:=), и отображаются все необходимые результаты вычислений (=).

Существуют также жирный знак равенства (комбинация клавиш Ctrl + =), который используется, например, как оператор приближенного равнства при решении систем уравнений, и символьный знак равенства  (комбинация клавиш Ctrl + .).

Дискретные аргументы (ранжированные переменные) – особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами. Дискретные аргументы позволяют выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы. Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного, либо целочисленных. Так, команды на языке BASIC:

FOR x = 2 to 10 STEP 0.1; FOR i = 1 to 10 STEP 1,

в MathCAD записываются следующим образом:

x : = 2, 2.1..10; i : = 1..10.

В данном случае используется оператор для задания ранжированной переменной "..". (клавиша ; в английской раскладке). В отличие от BASIC, при задании ранжированной переменной указывается не шаг ее, а значение x₀ + x. Ранжированные переменные могут вводиться как по возрастанию, так и по убыванию.

Функция – выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами, и определяется его числовое значение. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные в скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции (рис. 2, пример 2).

Рис. 2. Примеры определения переменных и функции

Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение. Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные, т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и определенные пользователем. Вставить встроенную функцию можно одним из следующих способов: выбрать пункт меню Вставка  Функция (Insert  Function); нажать комбинацию клавиш Ctrl + E или же щелкнуть на кнопке .

Далее можно выбрать функцию из имеющегося набора и выяснить для себя ее формат.

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Они вставляются с помощью команды Вставка  Текстовая регион или комбинации клавиш Shift + " (двойная кавычка).