Метод - Векторна алгебра

Міністерство освіти і науки України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ ХАРЧОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Кафедра вищої математики

М е т о д и ч н і в к а з і в к и до практичних занять і самостійної роботи

з курсів «ВИЩА МАТЕМАТИКА»,

«ВИЩА ТА ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА» розділ «Векторна алгебра»

для студентів усіх напрямів підготовки денної та заочної форм навчання

Одеса ОНАХТ 2013

Методичні вказівки до практичних занять і самостійної роботи з курсів

«Вища математика», «Вища та прикладна математика» розділ «Векторна

алгебра та аналітична геометрія» для бакалаврів усіх напрямів підготовки

денної та заочної форм навчання /Укладачі Ю.С. Федченко, Н.Г. Коновенко. -

Одеса: ОНАХТ, 2013. - 24 с.

Укладачі Ю.С. Федченко, канд.фіз.-мат. наук, доцент Н.Г. Коновенко, канд.фіз.-мат. наук, доцент

Відповідальний за випуск зав. кафедрою вищої математики В.М. Кузаконь, канд. фіз.-мат. наук, доцент

ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

Розділ “ Векторна алгебра ” є однією з частин програм курсів “Вища математика”, “Вища та прикладна математика”, який необхідний для вивчення фундаментальних, загальноінженерних і спеціальних дисциплін, для набуття і розвитку навичок, необхідних для застосування математичних засобів в роботі інженера.

Мета практичних занять - розвиток навичок, які використовуються при практичному застосуванні математики.

У результаті вивчення даного матеріалу студент повинен:

1)вміти розв’язувати математичні задачі та зводити розв’язки до практично прийнятого результату, а також розвинути логічне і алгоритмічне мислення;

2)набувати навичок математичного дослідження прикладних питань (застосування математичних засобів для розв’язання заданих практичних задач, вибір оптимального розв’язку, інтерпретація та оцінка отриманих результатів);

3)самостійно опрацьовувати математичні тексти, що містяться в літературі, пов’язаній зі спеціальністю студента;

4)вміти застосовувати всі нові сучасні обчислювальні засоби, а також користуватися таблицями та довідниками.

Виходячи з перерахованих вище основних задач викладання математики і враховуючи інтереси спеціальностей, авторами розроблено дані методичні вказівки.

Контроль успішності та якості навчання здійснюється з використанням методів і засобів, що визначаються вищим навчальним закладом. Академічні успіхи студентів визначаються за допомогою систем оцінювання, що використовуються у вищому навчальному закладі з обов’язковим переведенням оцінок до національної шкали та шкали ECTS.

§1. Вектори. Лінійні операції над векторами

1.1Основні теоретичні відомості

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок, тобто відрізок, який має певну довжину і напрям.

Лінійними операціями над векторами є: додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.

Означення (правило трикутника). Сумою a b двох векторів a і b

називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a , а кінець

— із кінцем вектора b :

Правило паралелограма: відносять вектори a і b до спільного початку й на них будують паралелограм, як на сторонах. Тоді a b є вектор, який збігається з діагоналлю цього паралелограма, що виходить із спільного початку векторів a і b .

При множенні вектора на скаляр кожна координата вектора множиться на цей скляр: a x1, y1, z1 .

Властивості лінійних операцій над векторами: a b b a ;

a b c a b c ;

1 2 a 1 2 a ;

1 2 a 1 a 2 a ;

a b a b .

Довжина вектора обчислюється за наступною формулою:

Напрямок вектора a визначається кутами , , , які утворено даним вектором з осями координат Ox, Oy, Oz.

Косинуси цих кутів (напрямні косинуси вектора) визначаються за

1.2 Розв’язання задач

Завдання 1. Дано вектор a 1; 2;0 та вектор b 2;3; 2 . Знайти:

1)a b ;

2)a b ;

3)c1 5a 2b ;

4)c2 3a 2b .

Рішення

1)a b 1 2; 2 3;0 2 3;1; 2 ;

2)a b 1 2; 2 3;0 2 1; 5;2 ;

3)c1 5a 2b 5 1; 2;0 2 2;3; 2 5; 10;0 4;6; 4 9; 4; 4 ;

4)c2 3a 2b 3 1; 2;0 2 2;3; 2 3; 6;0 4;6; 4 1; 12;4 .

Спочатку треба знайти координати векторів c1 та c2 . Скористаємося результатами попередньої задачі і маємо, що

c1 5a 2b 9; 4; 4 , c2 3a 2b 1; 12;4 .

Два вектори колінеарні, якщо їх проекції на осі координат пропорційні, отже, перевіримо пропорційність проекцій векторів на осі координат.

Завдання 3. Дано точки: A 1;2; 3 , B 1;0;2 , C 1;1;0 .

Знайти: 1) AB 4BC ;

2) орт вектора AB .

Рішення

1) Спочатку знайдемо координати векторів AB та BC :

AB 1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,

Встановити, який з них довший й у скільки разів, як вони спрямовані – в одну чи в протилежні сторони.

3. Визначити, при яких значеннях , , вектори a і b колінеарні:

4. Перевірити, що чотири точки А (3; –1; 2), В(1; 2; –1), C(–1;1; –3), D (3; —5; 3) є вершинами трапеції.

5. Дано точки А (–1; 5; –10), В(5; –7; 8), C (2; 2; –7) і D (5; – 4; 2).

Перевірити, що вектори AB й CD є колінеарними; установити, який з них довший й у скільки разів, як вони спрямовані — в одну чи в протилежні сторони.

Знайти розклад кожного з векторів за базисом інших трьох.

§2. Скалярний добуток двох векторів. Властивості скалярного добутку

2.1Основні теоретичні відомості

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів a і b

називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

a b a b cos .

Нехай a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 .

Скалярний добуток через координати векторів: a b x1x2 y1y2 z1z2 .

Властивості скалярного добутку:

1)a b b a ;

2)a b a b ;

3)a b c a b a c ;

4)скалярний квадрат: a a a2 a 2 .

Деякі застосування скалярного добутку

1) Косинус кута між векторами a і b :

c 2 3a 2b .

Рішення

1) Скалярний добуток векторів, які задано координатами, обчислюємо за формулою: a b x1x2 y1y2 z1z2 .

Знайдемо скалярний добуток векторів a і b :

a b 1; 2;0 2;3; 2 1 2 2 3 0 2 2 6 0 4 .

2) Два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Спочатку треба знайти координати векторів c1 та c2 .

c1 5a 2b 5 1; 2;0 2 2;3; 2 5; 10;0 4;6; 4 9; 4; 4 ,

c2 3a 2b 3 1; 2;0 2 2;3; 2 3; 6;0 4;6; 4 1; 12;4 Тоді c1 c2 9; 4; 4 1; 12;4 9 48 16 23 0 .

Таким чином, вектори є не перпендикулярними.

Завдання 2. Знайти , щоб вектори a 1; 2 ;1 і b 2 ;3; 2 були

перпендикулярними?

Рішення

Для визначення , при якому вектори перпендикулярні, необхідно використати умову перпендикулярності двох векторів (цю умову було

розглянуто в завданні 1) ми зможемо знайти з умови a b 0 :

a b 1; 2 ;1 2 ;3; 2 2 6 2 0.

Розв’яжемо отримане рівняння:

4 2 0,4 2 ,

12 .

Завдання 3. Дано точки: A 1;2; 3 , B 1;0;2 , C 1;1;0 .

Знайти: 1) прAB AB 4BC ;

2) cos AB, AC .

Рішення

Спочатку знайдемо координати векторів AB та BC :

AB 1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,

AC 1 1;1 2;0 3 2; 1;3

BC 1 1;1 0;0 2 2;1; 2 .

1) З означення скалярного добутку випливає, що проекцію вектора на

вектор можна обчислити за формулою прAB BC AB BC . Для нашого

AB

випадку дана формула матиме наступний вигляд: