Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесская национальная академия пищевых технологий

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод - Векторна алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

2.3Вправи для самостійної роботи

1.Вектори a й b утворюють кут 23 . Відомо, що a 3 , b 4 .

Обчислити:

1)a b ;

2)a2 ;

3)b2 ;

4)a b 2 ;

5)3a 2b a 2b ;

6)a b 2 ;

7)3a 2b 2 .

2. Дано точки А(–1; 3; –7), В(2; – 1; 5) і С (0; 1; –5).

Обчислити:

1)(2 AB — CB ) (2 BC + BA );

2)AB2 ;

3)AC2 ;

4)знайти координати векторів ( AB AC ) BC і AB ( AC BC );

3.Обчислити, яку роботу робить сила f = {3; – 2; –5}, коли її точка прикладення, що рухається прямолінійно, переміщається з положення

А(2; –3; 5) у положення В (3; –2; –1).

4.Дано вершини чотирикутника А (1; – 2; 2), В(1; 4; 0), С(–4; 1; 1) і D(–5; –5; 3). Довести, що його діагоналі АС і ВD є взаємно перпендикулярними.

5.Обчислити косинус кута, утвореного векторами

1)a 2; 4;4 і b 3;2;6 ;

2)a 4;3; 2 і b 3; 5;6 .

Дано три вектори: a 2i j 3k ,

b i 3 j 2k

та c 3i 2 j 4k .

Знайти вектор x ,

що задовольняє наступним умовам:

xa 5 ,

xb 11,

xc 20 .

5;2;5

Обчислити

проекцію вектора

на вісь

вектора

b 2; 1;2 .

8. Перевірити, чи будуть перпендикулярними вектори a 4i 3 j k та b 5i 2 j 14k .

9. При якому значенні m вектори a і b будуть перпендикулярними:

a mi 3 j 4k ,

b 4i m j 7k ,

a 3i 3 j k ,

b mi 2 j 3k .

10. Знайти кути

ABC , якщо А(2;5;4), В(4;0;6), С(0;8;-7).

§ 3. Векторний добуток векторів

3.1Основні теоретичні відомості Означення. Векторним добутком двох векторів

вектор c , який задовольняє умовам:

1)c a , c b ;

2)c a b sin , де a,b ;

3)a , b , c - права трійка.

Нехай a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 .

i j

Векторний добуток в координатах: a b x1 y1 x2 y2

Властивості векторного добутку

1)a b b a ;

2)a b a b a b ;

3)a b a b 0 ;

4)a b c a c b c

a і b називається

z1 z2

Деяке застосування векторного добутку

Колінеарність векторів:

b a b 0 , тобто

a b

b .

x2 y2 z2

Знаходження площі паралелограма, трикутника:

Sпар

a b

				3.2 Розв’язання задач
																																																				1; 2;0 і
				Завдання											1.			Знайти				векторний										добуток									векторів										a	1; 2;0 і
								2;3; 2 .
					b			2;3; 2 .
				Рішення

				Для векторів													a x1i y1 j z1k ,												b x2i y2 j z2 k векторний добуток

																											i				j			k

можна знайти за формулою																					a b					x1				y1				z1		. Тоді
																											x2			y2			z2

							i					j			k		2 0						1 0								1		2					4				2				7
							i					j			k

a b						1				2					0					i								j									k			i				j				k
						2			3					2			3		2				2		2						2	3
						2			3					2

				Завдання 2: Дано точки: A 1;2; 3 ,																												B 1;0;2 ,								C 1;1;0 .
				Знайти площу трикутника ABC .
				Рішення

				Спочатку знайдемо координати векторів AB та AC :
			1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,
	AB		1 1;0 2;2 3 0; 2;5 ,
			1 1;1 2;0 3 2; 1;3 .
	AC		1 1;1 2;0 3 2; 1;3 .
																																															1
З геометричного змісту векторного добутку маємо, що S																																				AB AC					.						1
З геометричного змісту векторного добутку маємо, що S																																				AB AC					.
Тоді																																								2
																																								2


												i				j	k		2		5				0			5					0				2								10					4				,
												i				j	k

	AB AC										0				2		5						i							j									k				i						j				k
											2				1		3		1	3					2			3					2				1
											2				1		3


																														117					.
		AB AC											1 100 16							117 ,				а S						117
		AB AC											1 100 16							117 ,				а S
																														2
																														2

3.3 Вправи для самостійної роботи

1. Дано вектори a 3; 1; 2 і b 1;2; 1 .


Знайти координати векторних добутків:
		2) 2				;	3) 2				2						.
1) a b ;		2) 2	a	b	b	;	3) 2	a		b	2			a		b	.
	2. Дано точки А(2; –1; 2), B(1;2; –1) і C(3; 2; 1). Знайти координати
									2)				2						.
векторних добутків 1) AB BC ;									2)			BC	2		CA			CB	.

3.Обчислити площу трикутника ABC, якщо

1)А(1; 2; 0), В(3; 0; –3) і С(5; 2; 6);

2)А(1; 1; 1), В(2; 3; 4) і С(4; 3; 2).

4.Дано вершини трикутника А(1;–1; 2), В(5; –6; 2) і С(1; 3; –1). Обчислити довжину висоти трикутника, яка опущена з вершини В на сторону

АС.

2; 2;1

Обчислити

синус

кута, утвореного векторами

2;3;6 .

Дано точки А(1; 1; 1), B(2; 2; 2) і C(4; 3; 5). Обчислити площу

паралелограма, побудованого на векторах AB та AC .

Обчислити

площу

паралелограма,

побудованого

на

векторах

2 ,

6 .

a p 2q і b 3 p 2q , якщо

3 ,

4 .

Вектори

і b є

взаємно перпендикулярними,

Обчислити:

Перевірити, що чотирикутник з вершинами: А(-3; 5; 6), В(1; –5; 7),

С(8; -3; –1), D(4; 7; -2) є квадратом.

10. Знайти вектор, який перпендикулярний до векторів

1;2; 3

2; 1;3 .

11. Знайти

вектор c ,

якщо

він є перпендикулярним до

векторів

2; 3;1 і

1; 2;3 та задовольняє умову:

c d 10 , де d 1;2; 7

§4 Мішаний добуток векторів

4.1 Основні теоретичні відомості

Розглянемо

добуток векторів

a, b і c ,

який складено

таким чином:

a b c. Тут перші два вектори перемножуються векторно, а їхній результат

- скалярно на третій вектор. Такий добуток називається векторно-

скалярним, або мішаним, добутком трьох векторів. Мішаний добуток є деяким числом.

За означенням мішаного добутку: abc a b c .

Нехай a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 , c x3, y3, z3 .

x1 y1 z1

Мішаний добуток векторів через координати: abc x2 y2 z2 x3 y3 z3

Властивості мішаного добутку

abc bca cab

abc acb , abc bac , abc cba. abc 0 a, b, c - компланарні.

Деякі застосування мішаного добутку

1) Визначення взаємної орієнтації векторів a, b і c :

якщо abc 0, то a, b, c - права трійка; якщо abc 0, то a, b, c - ліва трійка.

2) Компланарність векторів: abc 0

вектори a, b, c - компланарні, тобто лежать

на

одній або паралельних

площинах.

3)Знаходження об’єма паралелепіпеда, який побудовано на векторах a, b і c :

V abc .

Об’єм трикутної піраміди, побудованої на векторах a, b і c :

V 16 abc .

4.2 Розв’язання задач

Завдання 1. Дано a 1; 2;0 , b 2;3; 2 , c 1; 2;4

Знайти мішаний добуток даних векторів та визначити їх орієнтацію.

Рішення

Для векторів

a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2 k,

c x3i y3 j z3k

мішаний добуток обчислюється за формулою abc

У нашому випадку

abc

12 0 4 0 4 16 20 0 .

Отже,

дані вектори

утворюють праву трійку.

1; 2;0 ,

2;3; 2 ,

1; 5;2 . Перевірити,

Завдання 2. Дано

чи компланарні дані вектори.

Рішення

Вектори

a, b

і c компланарні тоді і тільки тоді,

коли їхній мішаний

добуток дорівнює нулеві. Тому знайдемо мішаний добуток даних векторів:

1	2	0
1	2	0
2	3 2		6 0 4 0 10 8 0 .
1	5	2

Отже, дані вектори є компланарними.

Завдання 3. Вершинами піраміди є точки A 1;2; 3 , B 1;0;2 , C 1;1;0 , D 1;2;4 . Знайти об'єм піраміди.

Рішення

Знаходимо вектори a, b і c :

0; 2;5 ,

2; 1;3 ,

2;0;7 .

Обчислимо abc :

		2	5
	0	2	5
	2	1		0 0 12 10 0 28 26.
abc =	2	1	3	0 0 12 10 0 28 26.
	2	0	7

Отже, V 16 26 133 .

4.3 Вправи для самостійної роботи

1. Довести, що точки A 1;2; 1 , B 0;1;5 , C 1;2;1 , D 2;1;3 лежать в одній площині.

2.Обчислити об’єм тетраедра з вершинами у точках A(2; 3;5) , B(0;2;1) , C( 2; 2;3), D(3;2;4) .

3.Вектори a, b і c , які утворюють праву трійку, є взаємно

								4 ,		2 ,		3 .
перпендикулярними. Обчислити abc , якщо							a	4 ,	b	2 ,	c	3 .
												Якщо		30 ,

		4. Вектор c				є перпендикулярним до векторів a				і b	.		ab

	a	6 ,	b	3,	c	3 , обчислити abc .

5.Дано вектори a 1; 1;3 , b 2;2;1 , c 3; 2;5 . Знайти abc .

6.Встановити, чи є компланарними вектори a , b , c .

1)a 2;3; 1 , b 1; 1;3 , c 1;9; 11 ;

2)a 3; 2;1 , b 2;1;2 , c 3; 1; 2 ;

3)a 2; 1;2 , b 1;2; 3 , c 3; 4;7 .

Вершинами

піраміди

точки

A 2;3;1 ,

B 4;1; 2 , C 6;3;7 , D 5; 4;8 . Знайти довжину його висоти, яку опущено з

вершини D .

8. Об’єм піраміди V 5 . Три її вершини знаходяться у точках A 2;1; 1 , B 3;0;1 , C 2; 1;3 . Знайти координати четвертої вершини D ,

якщо вона належить осі Oy .

9. Знайти значення , якщо вектори

0;1;0 ,

a i j k,

3;0;1 компланарні.

10. Обчислити:

;

Контрольна робота

1.
1.	a 3i 2 j k	b i 2 j k	c i 3 j k

2.
2.	a i j k	b 2i j k	c i j 3k

3.
3.	a i 3 j 2k	b 2i j k	c i j 2k

4.
4.	a i 2 j 3k	b 2i j 2k	c i 3 j k

5.
5.	a 2i j k	b i 2 j k	c i j 2k

6.
6.	a i 2 j k	b i j 3k	c i j 3k

7.
7.	a i j k	b 2i j k	c 3i j k

8.
8.	a i 2 j k	b i j 3k	c 3i j k

9.
9.	a i j k	b i j k	c i j k

10.
10.	a i j 2k	b i 2 j k	c 2i j k

11.
11.	a 2i j k	b 3i j k	c i j 2k

Знайти:

1.3a 5b 2c ;

2.2a 3b a 2b ;

3.a ;

4.c ;

5.cos a;c ;

6.npa b c ;

7.a b ;

8.a b ;

9.S , який побудовано на векторах a і b ;

10.Vnap .

Розрахунково – графічне завдання

Завдання 1. Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах a і b .


1.	a p 2q ,													b 3 p q ,																	16.	a 2 p 3q ,																			b 3 p q ,
			1,						2 ,																									4 ,								1,									;
	p		1,	q					2 ,							p		;				q										p		4 ,				q				1,					p				;					q
													6																																6


2.	a 3 p q ,											b p 2q ,																			17.	a 5 p q ,															b p 3q ,
			4 ,						1,																									1,						2 ,											;
	p		4 ,		q				1,							p		;				q										p		1,	q					2 ,							p				;					q
													4																																3


3.	a p 3q ,											b p 2q ,																			18.	a 7 p 2q ,																					b p 3q ,
			1								1,																							1										2 ,																					;
	p		1					,	q		1,										p				;			q				p		1							q			2 ,													p								;					q
		5											2																				2												2


4.	a 3 p 2q ,															b p 5q ,															19.	a 6 p q ,															b p q ,
			4 ,						12 ,																					6				3 ,								4 ,																	;									4
	p		4 ,			q			12 ,													p				;			q	6		p		3 ,	q							4 ,							p										;	q								4


5.	a p 2q ,											b 2 p q ,																			20.	a 10 p q ,																		b 3 p 2q ,
			2 ,						3,																		3							4 ,								1,													;

	p				q												p			;					q							p						q									p									q
													4																																6


6.	a p 3q ,											b p 2q ,																			21.	a 6 p q ,															b p 2q ,
			2 ,						3,																		3							8 ,								12 ,																						;								3
	p		2 ,		q				3,								p			;				q			3					p		8 ,		q						12 ,													p									;					q			3


7.	a 2 p q ,											b p 2q ,																			22.	a 3 p 4q ,																			b p q ,
			3 ,						2 ,																									2,5 ,									2 ,																							;
	p		3 ,		q				2 ,								p		;				q									p		2,5 ,								q	2 ,																p							;					q
													2																																2


8.	a 4 p q ,													b p q ,																	23.	a 7 p q ,																b p 3q ,
			7 ,						2 ,																														1,											;													3
																																	3 ,
	p				q												p				;				q							p	3 ,		q											p									q
													4																																4


9.	a p 4q ,											b 3 p q ,																			24.	a p 3q ,															b 3 p q ,
			1,				2 ,																																5 ,													;															2
	p		1,	q			2 ,								p			;				q										p	3 ,				q		5 ,									p				;						q									2
													6																																3


10. a p 4q ,																	b 2 p q ,														25.	a 3 p q ,															b p 3q ,
		7 ,							2 ,																														2 ,																						;
																	p				;				q								7 ,																p													q
	p				q												p				;				q							p	7 ,				q												p													q
													3																																4


11. a 3 p 2q ,																		b p q ,													26.	a 5 p q ,															b p q ,
		10 ,								1,																													3 ,														;														5
																																	5 ,
	p						q										p					;			q							p	5 ,				q											p											q
													2																																6


12. a 4 p q ,																b p 2q ,															27.	a 3 p 4q ,																			b p 3q ,
																																							3 ,															;
	p	5 ,			q		4 ,									p			;				q									p	2 ,				q		3 ,									p						;							q
													4																																4

13. a 2 p 3q ,

b p 2q ,

28.

a 6 p q ,

b 5 p q ,

7 ,

4 ,

;

14. a 3 p q ,

b p 2q ,

29.

a 2 p 3q ,

b p 2q ,

;

3 ,

4 ,

;

2 ,

15. a 2 p 3q ,

b p 2q ,

30.

a 3 p 2q ,

b 2 p q ,

2 ,

4 ,

3 ,

;

Завдання 2. Чи колінеарні вектори

c1 c2 , які побудовано з векторів a і b ?

a {1, 2,3},

b {3,0, 1},

16.

a {7,9, 2},

b {5, 4,3},

c1 2a 4b ,

c2 3b a

c1 4a b ,

c2 4b a

a {1,0,1}, b { 2,3,5},

17.

a {5,0, 2},

b {6, 4,3},

c1 a 2b ,

c2 3a b

c1 5a 3b ,

c2 6b 10a

a { 2, 4,1},

b {1, 2,7},

18.

a {8,3, 1},

b {4,1,3},

c1 5a 3b ,

c2 2a b

c1 2a b ,

c2 2b 4a

a {1, 2, 3},

b {2, 1, 1},

19.

a {3, 1,6} ,

b {5,7,10},

c1 4a 3b ,

c2 8a b

c1 4a 2b ,

c2 b 2a

a {3,5,4} ,

b {5,9,7},

20.

a {1, 2,4},

b {7,3,5},

c1 2a b ,

c2 3a 2b

c1 6a 3b ,

c2 b 2a

a {1, 4, 2},

b {1,1, 1},

21.

a {3,7,0},

b {4,6, 1},

c1 a b , c2 4a 2b

c1 3a 2b ,

c2 5a 4b

a {1, 2,5},

b {3, 1,0},

22.

a {2, 1, 4} ,

b {3, 7, 6},

c1 4a 2b ,

c2 b 2a

c1 2a 3b ,

c2 3a 2b

a {3, 4, 1}, b {2, 1,1},

23.

a {5, 1, 2}, b {6,0,7},

c1 6a 3b ,

c2 b 2a

c1 3a 2b ,

c2 4b 6a

a { 2, 3, 2}, b {1,0,5},

24.

a { 9,5,3},

b {7,1, 2},

c1 3a 9b ,

c2 a 3b

c1 2a b ,

c2 3a 5b

10.

a { 1, 4, 2}, b {3, 2,6},

25.

a {4, 2,9} ,

b {0, 1,3},

c1 2a b ,

c2 3b 6a

c1 4b 3a ,

c2 4a 3b

11.

a {5,0, 1}, b {7,2,3},

26.

a {2, 1,6},

b { 1,3,8},

c1 2a b ,

c2 3b 6a

c1 5a 2b ,

c2 2a 5b

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.02.2016304.71 Кб13менеджмент.docx
#
09.02.2016664.58 Кб20Меню Суши-Бара.doc
#
09.02.2016105.47 Кб19Меню.doc
#
09.02.2016677.53 Кб22Метод - I семестр.pdf
#
09.02.20161.21 Mб26Метод - Аналітична геометрія.pdf
#
09.02.20161.16 Mб62Метод - Векторна алгебра.pdf
#
09.02.201612.22 Mб19Метод гидромех 2014_3 .pdf
#
25.11.201954.55 Кб3Метод до практик, сам роботи та к.р.docx
#
09.02.20162.56 Mб57МЕТОД САМ РАБОТА 27.03.2013 Хімія. - копия.doc
#
13.11.2019658.43 Кб3Метод ук. измерения_исправ..doc
#
09.02.2016649.73 Кб46Метод указ СРС11.doc