MV_Mat_Modeli_2014

51

γ= b0 +b1 ω,

810 = B0 +10B1

730 = B0 +15B1

Розв′язавши отримані системи рівнянь, знаходять значення коефіцієнтів b0, b1. Потім, по черзі підставляючи в рівняння з розрахованими коефіцієнтами значення початкової і кінцевої вологості зерна (ω1, ω2) і визначають відповідні їм значення кута природного укосу α1, α2 іоб'ємну масу – γ1, γ2.

2.Знайти за (7.8) середньоарифметичнезначення, γ, т/м3, α, град.

3.З (7.10) знайти G2, т/год.

4.Середньоарифметичне значення G , т/год. – за (7.8).

5.Знайти об'єм Vm, що займає зерно у шахтах сушарки (7.7). Для цього

визначають усі складові величини– Vш (7.3); vк (7.4); vп (7.5); n(7.6).

6.З (7.2.) визначитимасу зерна Мв зерносушарці.

7.Знайтизагальнутривалістьпроцесусушіннязернавсушарціτзаг за(7.1). Оскільки швидкість руху зерна в шахті постійна, то час перебування зер-

на в кожній зоні зерносушарки пропорційний кількості рядів коробів у цій зоні.

8.За (7.17) знаходять час проходження зерномодногоряду коробів.

9.За (7.18) визначають тривалість перебування зерна в кожній зоні сушінню і зоні охолодження.

10.Перевірка правильності опису шахтної прямотечійой зерносушарки на

ЕОМ.

4 МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦІЇ

4.1 КЛАСИЧНІ МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ

Л а б о р а т о р н а р о б о т а № 8

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ В МЕТОДІ НЕВИЗНАЧЕНИХ МНОЖНИКІВ ЛАГРАНЖА (ОПТИМІЗАЦІЯ РОЗМІРІВ ЄМКОСТІ)

М е т а р о б о т и

Вивчити принцип і основи застосування методу невизначених множників Лагранжа. Виконати на практиці оптимізацію розмірів технологічної ємкості з застосуванням цього методу.

52

З а в д а н н я н а п і д г о т о в к у д о л а б о р а т о р н о ї р о б о т и

1.Вивчити навчальний матеріал [1, стор.162–167; 2, стор.160–163] і теоретичний матеріал лекцій.

2.Визначити в теоретичній частині протоколу:

мету роботи; основні формули для розв'язання системи рівнянь, що дозволяє знайти

рішення задачі оптимізації.

3.Знати основи і загальний алгоритм застосування методу невизначених множників Лагранжа для рішення задачоптимізації.

4.Складати функцію оптимальності, ґрунтуючись на словесному формулюванні задачі.

5.Застосувати спеціалізовані програми на ЕОМ для оптимізації розмірів

ємкості із застосуванням методу невизначених множників Лагранжа.

Т е о р е т и ч н а ч а с т и н а

Будь-яке оптимальне рішення передбачає кількісну оцінку критерію оптимальності R, який являє собою показник (масу, споживану енергію, продуктивність, якість продукції та ін.) залежний від параметрів Xi, що впливають на рішення задачі. Залежність критерію оптимальності від визначальних параметрів у явному вигляді називають функцією оптимальності (цільовою функцією, функцією вигоди, ефективності та ін.).

Одним з методів рішення задач оптимізації є класичний метод, заснований нанаступнихположеннях:

Якщо функція оптимальності визначена у вигляді безупинної і диференційованоїфункції

то необхідна умова існування екстремуму визначається вимогою рівності нулю частинних похідних

Розв’язання n рівнянь (8.2) дає стаціонарне значення критерію оптимальності R і значення оптимальних параметрів Xn. Часто на параметри X1, X2, ..., Xn накладаютьсядодаткові обмеження, що ускладнює задачу.

У цьому випадку застосовують спеціальні методи пошуку оптимального значення функції, одним із яких є метод невизначених множників Лагранжа.

Суть методу. Відома функція оптимальності R(X1,X2, ...,Xn) з додатковими обмеженнями F(X1,X2, ...,Xn).

Для визначення оптимальних параметрів досліджується на екстремум нова функція

53

Число рівнянь дорівнює сумі числа параметрів Xn і множника λ. Корені системи (8.4)дають значення оптимальнихпараметрів.

Пита н н я до само ко нтро лю

1.Загальний алгоритм складання математичної моделі для рішення задач оптимізації .

2.Класичні методиоптимізації.

3.Умоваіснування екстремуму.

4.Спеціальні методи пошуку оптимального значення функції – метод невизначених множників Лагранжа.

5.Що таке “критерійоптимальності”?

6.Як визначити мінімальні витрати матеріалу для відкритої ємкості прямокутного перерізу (а·b·h)?

7.Як визначити мінімальні витрати матеріалу для відкритої ємкості циліндричного перерізу?

8.Як визначити оптимальний розподіл сировини в трьох паралельно працюючих апаратах?

9.Наведіть приклади використання математичних моделей у харчовій технології.

П о р я д о к в и к о н а н н я л а б о р а т о р н о ї р о б о т и

1.Відповісти викладачу на питання передлабораторногоконтролю.

2.Скласти функцію оптимальності, ґрунтуючись на словесному формулюванні задачі.

3.Визначити мінімальні витрати матеріалу для відкритої ємкості за допомогою невизначеного множника Лагранжа.

4.Провестиперевірку визначенихрозмірів ємкості.

5.Зробити висновок про розрахунки мінімальних розмірів відкритої єм-

кості.

П р а к т и ч н а ч а с т и н а

Варіанти індивідуальних завдань наведені в Дод. З. В залежності від двох останніхцифр шифру вибрати значення необхідногообсягу ємкості V.

Звернути увагу на варіант задачі — А чи Б.

П р и к л а д и в и к о н а н н я і н д и в і д у а л ь н о г о з а в д а н н я

З а д а ч а А

Визначити мінімальні витрати матеріалу для відкритої ємкості прямокут-

Спроба визначення оптимальних розмірів а, b, hкласичним дослідженням (8.5)на екстремум приводять до тривіального результату:

F→ min при а= b=h= 0.

55

4.2 ЛІНІЙНЕ ПРОГРАМУВАННЯ (СИМПЛЕКС-МЕТОД)

Л а б о р а т о р н а р о б о т а № 9

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ РЕЦЕПТІВ КОМБІКОРМІВ І ПОМЕЛЬНИХ ПАРТІЙ

М е т а р о б о т и

Вивчити принцип лінійного програмування за критерієм оптимізації. Виконати на практиці оптимізацію розрахунку рецептури комбікормів і помельних партій симплекс-методом.

З а в д а н н я н а п і д г о т о в к у д о л а б о р а т о р н о ї р о б о т и

1.Вивчити навчальний матеріал [1, стор.167–174; 2, стор.137–141; 3, стор. 191–201; 4, стор. 33-35; 5, стор. 52–66 ] і теоретичний матеріал лекцій. Звернути увагу на визначенняекстремуму лінійного критерію оптимізації.

2.Визначити в теоретичній частині протоколу:

мету роботи; основні формули для складання системи рівнянь, що дозволяє знайти

розв’язання задачі оптимізації.

3.Знати основи і загальний алгоритм застосування методу, основні формули, що дозволяють знайтирозв’язання задачіоптимізації.

4.Складати функцію оптимальності, ґрунтуючись на словесному формулюванні задачі.

5.Застосувати спеціалізовані програми на ЕОМ для оптимізація рецепту комбікорму абопомельної партії.

Т е о р е т и ч н а ч а с т и н а

З усіх технологічних процесів змішування найбільше значення на зернопереробних підприємствах мають процеси формування партій зерна для зберігання і переробки, формування партій борошна за сортами і виробництво комбікормів визначеноїрецептури.

Задачі оптимізації рецептів відносяться до задач лінійного програмування і полягає у знаходженні максимуму або мінімуму критерію оптимальності, який називають цільовою функцією, при обмеженнях, які накладені на показники якості та складові рецепту у вигляді системи рівнянь та нерівностей (плану). Найчастіше таким критерієм оптимальності може бути вартість рецепту.

Розв’язання рецептурних задач класичними методами з дослідженням функцій на екстремум приводить до великого числа варіантів. Завдання полягає у тому, щоб побудувати такі схеми пошуку, щоб не перебирати усіх варіантів. Один з розповсюджених методів лінійного програмування – це метод послідовного поліпшення плану, що містить три таких суттєвих моменти: вказують спосіб обчислення опорного плану, встановлюють ознаки перевірки на оптимальність обраного опорного плану і наводять спосіб побудови іншого опорного плану, більш близькогодо оптимального.

Лінійне програмування полягає у визначенні критерію оптимальності; визначенні параметрів, що впливають на досягнення найкращого значення обраного критерію, побудові математичної моделі, що виражає залежність критерію

56

оптимальності від обраних параметрів; розрахунок математичної моделі, тобто визначенні тих значень параметрів, при яких досягається найкраще значення критерію оптимальності.

Комбікорм — складна однорідна суміш очищених і здрібнених до необхідної крупнисті різних кормових засобів і мікродобавок, що виробляються за науково обґрунтованими рецептами і яка забезпечує повноцінну годівлю тварин.

Якість комбікорму, який виробляється, і БВД для кожного виду і вікової групи тварин і птахів повинна відповідати вимогам діючих стандартів, ТУ та іншої нормативно-технічноїдокументації.

Рецепти вибирають відповідно до планових завдань по виробництву комбікормів і наявності сировини. Застосування ЕОМ для розрахунків рецептури комбікормів створює умови для залучення у виробництво нових видів сировини, врахування фактичної поживності компонентів при визначенні складу рецепта, з'являється також можливість ощадливо витрачати дорогі види сировини (кормовідріжджі, рибне борошно і т.п.).

Ефективність застосування комбікормів у тваринництві залежить від їхньої якості. Бажані результати можуть бути досягнуті тільки в тому випадку, якщо сполучення, співвідношення і дозування окремих компонентів цілком відповідають вимогам організму тварин даного виду, віку, рівня, напрямку продуктивності і фізіологічного стану, також останнім часом комбікормові підприємства зустрічаються з труднощами при виробленні продукції за встановленими рецептами. Через відсутність необхідних компонентів підприємства змушені переходити на випуск комбікормів за тимчасовими рецептами.

Заміна кормової сировини в рецептах можлива як у межах кормів однаковогопоходження, так і між різними групами кормів.

При складанні рецептів комбікормів і розрахунку їх із застосуванням ЕОМ керуються діючими мінімальними і максимальними нормами введення компонентів в комбікормиі БВД).

Пита н н я до само ко нтро лю

1.Навести математичну модель задачі для складання рецептури комбіко-

рму.

2.За якими показниками якості компонентів проводять розрахунок рецепта комбікорму?

3.Які необхідно ввести обмеженняпри складанні рецепта комбікорму?

4.Наведіть приклад розрахунку масового співвідношення компонентів комбікорму, при якому забезпечується мінімальна вартість комбікорму з урахуванням обмеженьпо процесах введення кожного компоненту і якостірецепта.

5.Порядокрозрахунку рецепта комбікорму.

6.Особливості формування помельної партії, критерії оптимальності якості зернаі борошна.

Порядок виконання лабораторної роботи

Відповісти викладачу на питанняпередлабораторного контролю.

57

Скласти функцію оптимальності, ґрунтуючись на словесному формулюванні задачі.

Для розв’язання задачі з розрахунку рецепта комбікорму, при якому забезпечують мінімальну вартість комбікорму з урахуванням обмежень по межах уведення кожного компонента і якості рецепта (поживності), необхідно підготувати наступні вихіднідані:

Етап 1. Склад заданого рецепта і показники якості даного виду комбікорму (Додаток К).

Етап 2. Показники якості компонентів даного виду комбікорму (Додаток

Л).

Етап 3.У залежності від рецепта визначити поживну цінність кожного компонента.

Етап 4. Установити обмеження мінімальної і максимальної норм введення кожного компонента (Додаток М).

Етап 5. Скласти математичну модель задачі з рецептурі комбікорму (номери компонентів іпоказників якості брати відповідно доїх порядку.

Етап 6. Математичну модель задачі лінійного програмування вирішують симплексом-методом, стандартніпрограми якого є набагатьох типах ЕОМ.

Етап 7. Скласти програму введення-виведення вихідних даних, формування системи лінійних рівнянь у необхідній для роботи програми формі, виклику стандартної підпрограми симплекса-методу, а також формування таблиці з рішенням згідно з дотриманням інструкцій табличного процесора Wicrosoft Exel.

Етап 8. В результаті роботи програми отримано оптимальний склад рецепта комбікорму, тобто при дотриманні всіх обмежень даний склад комбікорму має мінімальну вартість.

Записати результати, проаналізувати і зробити висновок.

Етап 9. Встановити відсутність компонентів і зробити заміну компонентів у рецепті.

Етап 10. Визначити загальну поживну цінність для рецепта комбікорму з новим складом компонентів (табл. 5), зробити висновок.

П р а к т и ч н а ч а с т и н а

Умовазадачі:

Розрахувати масове співвідношення компонентів комбікорму для великої рогатої худоби, що складається з кукурудзи, ячменю, шроту соняшникового, кормових дріжджів, крейди і преміксів, при якому забезпечується мінімальна вартість комбікорму з урахуванням обмежень по межах введення кожного компоненту і якості рецепту (поживності).

Завдання видає викладачіндивідуальнокожному студенту.

Додаткові дані з рецепту комбікорму і його компонентів наведені в додатках К, Л, М.

59

N

I =1

де сi – вартість (ціна) i-гокомпонента;

xi – незалежна змінна (процентний вмісткомпонента в рецептурі); aij – вмістj-го показника поживності в i–тому компоненті;

Ajmin, Ajmax – мінімальний і максимальний припустимі рівні j-го показника поживності комбікорму;

Bimin, Bimax – мінімальна і максимальна припустимі норми вмісту і-го компонента в комбікормі.

Для розглянутого прикладу математичну модель запишемо в наступному вигляді (номери компонентів і показників якості узяті відповідно до їхнього порядку в табл. 9.1 і9.2):

Етап 5. Математичну модель задачі лінійного програмування розв’язують симплекс-методом за стандартною програмою з пакета табличного процесора

WicrosoftExel.

Етап 6. Виконують програму введення-виведення вихідних даних і формування системи лінійнихрівнянь.

Етап 7. У результаті роботи програми отриманий оптимальний склад рецепта комбікорму, тобто, при дотриманні всіх обмежень даний склад комбікорму має мінімальну вартість.

Записати результати в табл. 9.3

60

Таблиця 9.3 – Склад (%) і якість рецепта комбікорму

Етап 9. Провести заміну компонентів у рецепті (табл. 9.4).

Етап 10. Визначити загальну поживну цінність для рецепта комбікорму з новим складом компонентів (табл. 9.5), проаналізувати і зробити висновок.

Таблиця 9.4 – Складання рецепта комбікорму зі зміною заданих компонентів

Таблиця 9.5 – Рецептура і поживна цінність нового комбікорму

Розрахунок складу помельних партій

Технологічні властивості пшениці, що надходить на борошномельні заводи, обумовлені типом, сортом, грунтово-кліматичними умовами району вирощування. Різноякісність партій зерна ускладнює і знижує ефективність процесу