MV_Mat_Modeli_2014
.pdf11 |
|
Y = B0 + B1 X |
(2.1) |
Найбільш часто перетворення змінних x і y застосовують при отриманні наступних нелінійних залежностей:
гіперболічної |
y(x) = b0 |
+ b1/x, |
логарифмічної |
y(x) = b0 |
+ b1 ln x, |
експоненціальної |
y(x) = b0 exp(b1x), |
|
степеневої |
y(x) = b |
xb1, |
|
0 |
|
X= 1/x;
X= ln x; Y = ln y;
X = ln x, Y = ln y.
Потім обчислюють коефіцієнти B0 і B1 використовуючи для цього формули (1.13) і (1.12) і одержують рівняння (2.1). Шляхом зворотних перетворень переходять до вихідного нелінійного рівняння з тепер уже відомими коефіцієнтами. При одержанні експоненціальної чи степеневої залежності, у яких проводилося перетворення змінної y у ln(y), одержують не значення коефіцієнта b0, а його логарифм B0 = ln(b0). Тому b0 = exp(B0) [1, 2].
Статистична оцінка рівняння. Найкраще просто оцінити отримане рівняння за відносними похибками між дослідними і розрахованим за рівнянням значенням y = ϕ(x), які можна визначити за формулою (1.14) – (див. лабораторну роботу № 1).
П и т а н н я д о с а м о к о н т р о л ю
1.З якою метою проводять лінеаризацію рівнянь при виборі емпіричних формул?
2.Визначити порядок вибору емпіричної формули.
3.Графіки емпіричних формул і прийоми їхнього вирівнювання.
4.Як проводять статистичну оцінку математичних моделей?
Крім наведених питань, потрібно використовувати до самоконтролю питання з лабораторної роботи № 1.
П о р я д о к в и к о н а н н я л а б о р а т о р н о ї р о б о т и
1.Відповісти викладачу на питання передлабораторного контролю.
2.Вибрати вигляд емпіричного рівняння.
3.Обчислити невідомі коефіцієнти, що входять до рівняння.
4.Провести статистичну оцінку одержаного рівняння.
5.Побудувати графік нелінійної залежності.
6.За результатами розрахунків і побудови графіка зробити висновок про точність опису експериментальних даних нелінійним рівнянням.
П р а к т и ч н а ч а с т и н а
Варіанти індивідуальних завдань наведені в табл. 2.1.
Для апроксимації експериментальних даних нелінійним рівнянням у всіх варіантах приймати кількість дослідів такого, що дорівнює 5. Значення x у першому досліді приймати за передостанньою цифрою шифру, а в кожному наступному — на одиницю більше. Наприклад, якщо передостання цифра шифру 0, то x у п'ятьох дослідах буде дорівнює 0, 1, 2, 3 і 4; якщо передостання цифра шифру 9, то відповідно 9, 10, 11, 12 і 13.
Вигляд залежності і значення ньою цифрою шифру з табл. 2.1.
12
Y в п'ятьох дослідах приймати за остан-
U
Таблиця 2.1 – Варіанти індивідуальних завдань
Остання цифра |
Вигляд залежності |
|
Номери дослідів |
|
||
шифру |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
Гіперболічна |
12,1 |
9,2 |
8,3 |
7,5 |
7,1 |
1 |
Гіперболічна |
14,2 |
11,3 |
10,2 |
9,4 |
9,1 |
2 |
Логарифмічна |
5,2 |
8,1 |
10,2 |
11,4 |
12,1 |
3 |
Логарифмічна |
8,3 |
11,2 |
13,4 |
14,1 |
15,3 |
4 |
Експоненціальна |
6,2 |
8,1 |
11,4 |
15,0 |
20,8 |
5 |
Експоненціальна |
8,3 |
10,2 |
13,3 |
17,2 |
22,9 |
6 |
Експоненціальна |
10,1 |
12,3 |
15,4 |
19,1 |
24,8 |
7 |
Степенева |
5,3 |
8,2 |
10,1 |
11,4 |
13,3 |
8 |
Степенева |
7,2 |
10,3 |
12,2 |
13,3 |
15,4 |
9 |
Степенева |
9,1 |
12,1 |
14,0 |
15,4 |
17,3 |
Приклад виконання індивідуального завдання
Вихідні дані
Після проведення дослідів отримані наступні середні результати:
xи |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
|
|
5,2 |
7,1 |
10,4 |
14,0 |
19,8 |
|
YU |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Потрібно апроксимувати експериментальні дані експоненціальною залежністю вигляду y(x) = b0 exp(b1x).
Р і ш е н н я
Зробимо заміну змінної Y = ln( YU )
xи |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
||
ln( |
|
U ) |
1,649 |
|
1,960 |
|
2,342 |
2,639 |
2,986 |
|
Y |
|
|
||||||||
Використовуючи формули (1.8), знайдемо відповідні суми: |
|
|||||||||
|
|
S1 = 1 + 2 |
+ 3 |
+ 4 + 5 = 15,0; |
|
|
|
|
||
|
|
S2 = 1 + 4 |
+ 9 |
+ 16 + 25 = 55,0; |
|
|
|
|||
S3 = 1·1,649 + 2·1,960 + 3·2,342 + 4·2,639 + 5·2,986 = 38,081;
S4 = 1,649 + 1,960 + 2,342 + 2,639 + 2,986 = 11,576.
Підставивши отримані значення S1, S2, S3 і S4 у формули (1.13) і (1.12), визначимо коефіцієнти b0 і b1:
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
15,0 11,575 − 5 |
38,079 |
|||||
B1 |
= |
|
|
|
|
= 0,3353; |
|
|
|
|
|
||||
|
15,0 |
2 − 5 55,0 |
|||||
|
= LN(B0 ) = |
11,575 |
− 0,3353 15,0 |
||||
B0 |
|
|
|
= 1,3093; |
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
B0 = E1,3093 = 3,7036.
Таким чином, шукане емпіричне експоненціальне рівняння буде мати ви-
гляд
) = 3,7036 exp(0,3353x).
Y
U
В іншому подальші розрахунки аналогічні розрахункам лабораторної роботи № 1, тобто за отриманим експоненціальним рівнянням в кожному з п'яти
дослідів розраховують значення YU |
і відносні похибки δ. Вихідні дані й отри- |
|||||||
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
мані результати вносять у табл. 2.2. |
|
|
|
|
|
|
||
Таблиця 2.2 – Вихідні дані і результати розрахунків |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Номер досліду |
x |
|
YU |
YU |
δ |
|
||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
5,2 |
5,18 |
0,38 |
|
||
2 |
2 |
|
7,1 |
7,24 |
1,97 |
|
||
3 |
3 |
|
10,4 |
10,13 |
2,60 |
|
||
4 |
4 |
|
14,0 |
14,16 |
1,14 |
|
||
5 |
5 |
|
19,8 |
19,80 |
0,00 |
|
||
Побудуємо графік отриманої емпіричної залежності, відобразивши на
ньому точками дослідні дані YU |
і результати розрахунків YU . |
||
|
|
|
) |
20
15
10
5
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рисунок 2.1 – Графік емпіричної залежності yи = 3,7031exp(0,3353x)
14
В и с ново к . Як видно з отриманих даних, найбільша відносна похибка 2,64 % спостерігається в досліді № 3. Однак вона не перевищує 5 % і тому можна вважати, що отримане рівняння yи = 3,7031exp(0,3353x) з достатньою точністю описує експериментальні дані.
Примітка: На кафедрі ТЗЗ розроблений спеціальний пакет програм для математичного моделювання. Для апроксимації експериментальних даних нелінійними рівняннями з пакета використовують файл, що виконується,
Арrохім.Excel.
2.2 ПЛАНУВАННЯ БАГАТОФАКТОРНИХ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
Л а б о р а т о р н а р о б о т а № 3
РІВНЯННЯ РЕГРЕСІЇ БАГАТОФАКТОРНОГО ЕКСПЕРИМЕНТУ І ЙОГО СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ
М е т а р о б о т и
Вивчити застосування методу планування багатофакторних експеримен-
тів.
Одержати рівняння регресії з двома змінними.
Провести статистичний аналіз рівняння регресії багатофакторного експерименту.
Перевірити адекватність рівняння регресії за критерієм Фішера. Побудувати графік залежності функції від впливу факторів.
З а в д а н н я н а п і д г о т о в к у д о л а б о р а т о р н о ї р о б о т и
1.Вивчити навчальний матеріал [1, стор. 51-68; 2, стор. 8-12; 42-47] і теоретичний матеріал лекцій. Звернути увагу на:
основи методу планування експериментів, проведення кодування і розкодування факторів; обчислення за експериментальними даними коефіцієнтів, що входять у регресійне рівняння з двома змінними;
статистичний аналіз рівняння регресії багатофакторного експерименту.
2.Відобразити в теоретичній частині протоколу:
мету роботи; основні формули для складання рівняння регресії багатофакторного екс-
перименту і перевірки його адекватності.
3.Знати правила для складання та аналізу рівнянь регресії, записаних у кодованому вигляді.
4.Підготувати таблицю для розрахунків.
5.Робити статистичну оцінку отриманого рівняння.
5.Пояснити побудову графіка кривих рівного виходу на площині.
6.Застосовувати спеціалізовані програми для багатофакторного планування експериментів, які розроблені на кафедрі ТЗЗ.
15
Т е о р е т и ч н а ч а с т и н а
У лабораторних роботах № 1 і № 2 розглянуті питання апроксимації експериментальних даних лінійними і нелінійними рівняннями. Однак на практиці можуть зустрітися випадки, коли жодне з вивчених рівнянь не може досить добре точністю описати експериментальні дані.
У практиці бувають випадки, коли необхідно знайти залежність функції у відразу від декількох факторів х. Звичайно, можна досліджувати функцію у, змінюючи фактори по черзі, однак, у цьому випадку кількість необхідних експериментів дуже велика. Багатофакторні плани є найбільш ефективними для скорочення числа експериментів, тому що дозволяють варіювати одночасно декількома факторами. Планування експерименту дозволяє визначити мінімальну кількість дослідів і умови їхнього проведення, що забезпечують порівняно просту обробку даних.
Повний факторний експеримент (ПФЕ) – це експеримент, у якому реалізовані всі можливі сполучення (комбінації) вибраних факторів на двох рівнях — нижньому та верхньому.
Загальна формула для визначення кількості дослідів у плані експерименту
|
N = 2k, |
(3.1) |
|
де k — кількість факторів; |
|
|
|
N — кількість дослідів. |
|
|
|
Наприклад, якщо k = 1, то N = 21 = 2; |
|
||
k = 2, то |
N = 22 |
= 4; |
|
k = 3, то |
N = 23 |
= 8; |
|
k = 4, то |
N = 24 |
= 16 і т.д. |
|
З теорії рядів випливає, що будь-яку функцію у = f(х) можна розкласти у |
|||
ряд вигляду |
|
|
|
y(x) = b0 + b1x + b2x2 + b3x3 + ... + bmxm, |
(3.2) |
||
де m — ступінь полінома. |
|
|
|
Необхідно відзначити, що при m = 1 поліном (3.2) перетворюється в лінійне рівняння. Зі збільшенням ступеня полінома m збільшується точність опису ним довільного нелінійного процесу, однак, на практиці в більшості випадків досить квадратичної залежності (m = 2).
Поліноміальна регресія забезпечує перебування коефіцієнтів полінома (3.2) з рішення системи рівнянь
C |
B |
+ C B + C B |
+ ... + C |
B |
= D |
0 |
|
|
||||
|
0 0 |
1 1 |
2 |
2 |
M |
M |
|
|
|
|
||
C B |
+ C B + C |
B |
+ ... + C |
B |
|
= D |
1 |
|||||
1 0 |
2 1 |
3 |
2 |
M+1 |
M |
|
|
|||||
C B |
+ C B + C B |
+ ... + C |
|
B |
|
= D |
|
|||||
|
2 0 |
3 1 |
4 2 |
M+2 |
M |
|
|
|
2 |
|||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
B |
+ C |
B + C |
B + ... + C |
|
B = D |
||||||
|
M 0 |
M+1 1 |
M+2 2 |
|
|
2M M |
|
|||||
(3.3)
,
M
16
|
|
|
N |
|
|
де |
C |
J |
= ∑ X J |
, j = 0, 1, 2, ... , 2m; |
(3.4) |
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
U=1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
dK |
= ∑ xUK yU , k = 0, 1, 2, ... , m. |
(3.5) |
||
U=1
Зурахуванням виражень (3.4) і (3.5) система рівнянь (3.3) при m = 2 приймає вигляд
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
N |
|
N |
N |
|
|
nb0 + b1 ∑ xU |
+ b2 ∑xU |
=∑ yU |
|
||||
|
|
U=1 |
|
U=1 |
U=1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
N |
N |
N |
N |
|
||
b0 ∑ xU |
+ b1 ∑xU |
+ b2 ∑ xU |
=∑xU yU |
(3.6) |
|||
|
U=1 |
U=1 |
U=1 |
U=1 |
|
||
|
N |
N |
N |
|
N |
|
|
b0 ∑ xU2 |
+ b1 ∑ xU3 |
+ b2 ∑ xU4 |
=∑xU2 yU |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
U=1 |
U=1 |
U=1 |
U=1 |
|
|||
а при m = 1 — вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
nb0 + b1 ∑ xU |
=∑ yU |
|
|
|
|||
|
|
U=1 |
U=1 |
|
|
(3.7) |
|
|
N |
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
b0 ∑ xU |
+ b1 ∑ xU2 |
= ∑ xU yU |
|
|
|||
|
U=1 |
U=1 |
U=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким чином, зі збільшенням кількості членів полінома (3.2) кількість рівнянь у системі (3.3) також збільшується.
Розглянуті системи рівнянь складні в рішенні. Тому досліди повинні бути виконані за симетричним планом, що дозволяє спростити рівняння, яке використовують при обробці експериментальних даних.
N |
|
∑ XU = 0 . |
(3.8) |
U=1 |
|
Умова (3.8) називається умовою симетричності.
Вибір кількості дослідів і умов їхнього проведення, що дозволяють значно спростити їхню математичну обробку, називається плануванням експерименту.
Фактором називають незалежну змінну величину х, що впливає на результати експерименту. Кожен фактор в експерименті має N фіксованих значень відносно початку координат (нульової точки). Ці фіксовані значення називають рівнями фактора.
Центр експерименту — це таке значення фактора х, для якого справедливий вираз
X0 |
= |
XMIN + XMAX |
, |
(3.9) |
|
||||
|
2 |
|
|
|
де хmin і хmax – мінімальний і максимальний рівні фактора х у експерименті.
Інтервал варіювання фактора — це різниця між двома сусідніми його рівнями. Якщо інтервал варіювання λ = const, то план експерименту буде симетричним.
17
Для виконання умови (3.8) необхідно перейти в іншу систему координат і вибрати центр експерименту так, щоб виконувалася ця рівність. Для цього використовують метод кодування фактора. Даний метод дозволяє перейти від фактора в натуральній розмірності х до безрозмірного (кодованому) вигляді х
xI |
= |
НI H0I |
, |
(3.10) |
|
||||
|
|
λI |
|
|
де Hi — поточне значення фактора в натуральній розмірності.
Hо i – значення фактора в натуральному вираженні в центрі експерименту; λi – інтервал варіювання i -го фактора.
У цьому випадку початок координат знаходиться точно в центрі експерименту і рівність (3.8) буде виконуватися.
Тепер порівняно легко знайти коефіцієнти полінома (3.2). Існує узагальнена формула, яка дозволяє за допомогою методу найменших квадратів (МНК) знайти кожний з цих коефіцієнтів
N
∑aIU yU
bI = |
U=1 |
(3.11) |
|
|
|
||
, |
|||
|
lI |
|
|
де і — індекс коефіцієнта регресії; u — індекс досліду;
N — кількість дослідів;
yu — результат u-го досліду;
aiu і li — коефіцієнти, значення яких вибирають з довідкових таблиць у залежності від кількості дослідів N і ступеня полінома m.
Оскільки будь-яку функцію можна описати рівнянням
|
K |
k |
k |
|
у = b0 |
+ ∑BI XI + ∑B j X2j |
+ ∑Bij Xi X j , |
(3.12) |
|
то рівняння регресії для двохфакторного експерименту має вигляд |
|
|||
у = b0 |
+ B1X1 |
+ B2 X2 |
|
(3.13) |
у = b0 |
+ B1X1 |
+ B2 X2 + B12 X1X2 |
(3.14) |
|
Для скорочення розрахунків робимо кодування змінних.
Тоді значення коефіцієнтів у рівнянні регресії визначають за формулами:
|
|
|
|
N |
|
|
||||||||
|
|
|
∑ |
|
U |
|
|
|||||||
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
b0 |
|
|
U=1 |
|
(3.15) |
|||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
N |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
N |
|
|
|||||||||
|
|
∑хIU |
|
U |
|
|
||||||||
|
y |
|
|
|||||||||||
bI |
|
U=1 |
|
(3.16) |
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
||||||||
|
|
|
|
∑х1U х2U |
|
U |
|
|
||||||
|
|
|
y |
|
|
|||||||||
b12 = |
|
U=1 |
, |
(3.17) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
N |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
де N – кількість дослідів.
18
На рис. 3.1 показана область зміни функції у від двох факторів, які представлені у кодованому вигляді х1 і х2.
х2 |
|
|
|
|
|
Це двофакторний простір |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для вихідних даних досліду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чотири точки є умовами |
0 |
|
|
|
|
|
|
проведення експериментів |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 х1 |
|||
Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація плану ПФЕ22 у нормованій області визначення факторів х1, х2
Для проведення аналізу рівнянь регресії, записаних у кодованому вигляді, треба ЗНАТИ наступні правила.
ПРАВИЛО 1.
У лінійних рівняннях регресії чисельні значення коефіцієнтів bi — показують силу впливу даних факторів на процес.
ПРАВИЛО 2.
Знак при коефіцієнтах bi показує напрямок впливу i-того фактора на процес.
ПРАВИЛО 3.
Коефіцієнти парної взаємодії bij показують силу впливу на процес відразу двох факторів, а знак “–” на характер цього впливу. Якщо знак “+”, то для збільшення у фактори повинні бути одночасно на максимальному чи мінімальному рівні, і, навпаки, якщо знак “–”, то для збільшення у один фактор повинен бути на максимальному рівні, а інший — на мінімальному, тобто на різних (протилежних) рівнях.
Склавши рівняння регресії, необхідно провести перевірку коефіцієнтів на значущість. Для цього визначають довірчу похибку коефіцієнтів εBI .
Для перебування довірчої похибки коефіцієнтів визначають дисперсію одиничного результату і дисперсію середнього результату для кожного експерименту.
Для визначення дисперсії коефіцієнтів необхідно скласти допоміжну таблицю (табл. 3.1).
Таблиця 3.1 – Додаткові дані для розрахунку дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії (m = 2; N = 4)
Номер досліду |
|yui – уu| = у |
(yui – уu)2 = у2 |
1 |
|
|
... |
|
|
4 |
|
|
|
∑ у = ........ |
∑ у2 = ....... |
19
Дисперсію одиничного результату SYUI2 розраховують за формулою
M
∑ ( уUI − уU )2
2 |
I =1 |
|
, |
(3.18) |
S YUI = |
|
|
||
|
|
|||
|
|
m − 1 |
|
|
де m – кількість повторностей дослідів.
Дисперсію середнього результату S2 u-го досліду розраховують за фор-
YU
мулою
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
( YUI − YU ) |
|
|
|
|
|
|||
2 |
S YUI |
I=1 |
|
|
|
|
, |
|
|
(3.19) |
|||
S |
|
U = |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Y |
|
M(M −1) |
|||||||||||
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
||||
Середньозважену дисперсію середнього результату S |
2 |
|
для всієї серії до- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
||
слідів розраховують за наступною формулою (попередньо перевіривши однорі-
дність дисперсій S2 )
YU
|
|
|
|
|
|
|
|
N M |
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ ∑ |
( Y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
UI |
− |
Y |
U |
|
||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
S |
2 |
|
|
Y |
U |
U=1 I=1 |
|
|
|
|
|
|
, |
(3.20) |
||
|
Y |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
NNM (M −1)
І, нарешті, дисперсію коефіцієнтів регрессії взначають за формулою
|
|
S |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
y |
. |
|
(3.21) |
||||
Sbi |
= |
|
|
|
|
|||
N |
||||||||
Довірчу похибку коефіцієнтів визначають за формулою |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
εbi |
= Tкр |
|
Sbi2 , |
(3.22) |
||||
де tкр – критичне значення критерію Стьюдента (таблична величина), яке залежить від рівня значущості q та числа степеня вільності f = N(m – 1), тобто tкр = f (q, f); рівень значущості у технічних розрахунках приймають таким, що дорівнює 5 % (тобто q = 0,05);
На підставі значень q, f з Дод. Б знаходять значення tкр.
ПРАВИЛО 4
Якщо коефіцієнт bi> εbi, то він значуще впливає на процес, якщо ні, то його прирівнюють до нуля і виключають з рівняння регресії (разом зі своїм фактором).
Дисперсія неадекватності характеризує “розкид” розрахункових значень
у) навколо середніх експериментальних значень у .
U U
Адекватність рівняння регресії перевіряють за критерієм ФІШЕРА, що
представляє собою відношення більшої дисперсії до меншої (Дод. В) |
|
||||||||||||
|
SMAX2 |
, тобто F = |
Sнеад2 |
|
S |
2 |
|
|
|
||||
F = |
, чи F = |
у |
, |
(3.22) |
|||||||||
S |
2 |
S |
2 |
S |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
MIN |
|
у |
|
неад |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
де Smax – більша дисперсія з порядкових; Smin – менша дисперсія з порядкових;
F – критерій Фішера (чисельно завжди >1);
20
Sнеад2 – дисперсія неадекватності;
Sу2 – середньозважена дисперсія середнього результату (формула 3.20).
Дисперсію неадекватності Sнеад2 розраховують за формулою
N
∑ ( уu − у)u ) 2
Sнеад2 = |
|
, |
(3.24) |
|
|||
|
N − n |
|
|
де n – кількість значущих коефіцієнтів у рівнянні регресії. Число ступенів волі дисперсії неадекватності f = N – n.
Коли число значущих коефіцієнтів n дорівнює числу дослідів N, перевірку адекватності не здійснюють, оскільки у цьому випадку число ступенів волі дисперсії неадекватності f = N – n = 0 і саме значення Sнеад2 визначити в цьому випадку неможливо. Але якщо у рівнянні є незначущі коефіцієнти, то його адекватність перевіряти обов’язково.
Отримане за одним з вище наведених виразів розрахункове значення критерію Фішера порівнюють з табличним (критичним) значенням Fкр. у залежності від рівня значущості q = 0,05 (5 %) і кількості дослідів (наприклад, N = 4 – у прикладі, наведеному нижче).
Якщо розрахункове значення F ≤ Fкр, то рівняння (3.14) з 95-відсотковою надійністю адекватно описує експериментальні дані. У протилежному випадку модель вважається неадекватною.
П и т а н н я д о с а м о к о н т р о л ю
1.Наведіть приклади використання математичних моделей у харчовій технології.
2.Основні положення системного підходу до дослідження технологічних процесів.
3.Складання математичного опису об'єктів за експериментальними да-
ними.
4.Методи математичної обробки експериментальних даних.
5.Підбір емпіричних формул для однофакторних залежностей.
6.Основи багатофакторного планування експериментів.
7.Що являє собою повний факторний експеримент (ПФЕ)?
8.Що називають факторами експерименту?
9.Вимоги, які ставляться до об'єкта дослідження.
10.Вимоги, які ставляться до факторів, що впливають на об'єкт.
11.Перелічити етапи планування експерименту.
12.Що називається центром експерименту?
13.Як визначити інтервал варіювання (факторів)?
14.Як визначити кількість дослідів у плані експерименту?
15.Формула для кодування експериментальних даних.
16. Записати формули для визначення коефіцієнтів у рівнянні регресії.