2. Дифференцирование функции одной переменной

Понятие производной

Определение. Производной функции в точкеназывается предел приотношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Производная в точке обозначаетсяили.

Итак, по определению производной имеем:

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной: для данной функции ее производнаядля каждого значенияравна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Физический смысл производной: для данной функции , меняющейся со временемх, ее производная есть скорость изменения функцииy в данный момент времени х.

Вычисление производной

Правила дифференцирования:

1. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ , то их сумма дифференцируема в этой точке и

Примеры: 1) ;

2) .

(производная суммы рана сумме производных).

2. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ , то их произведение дифференцируемо в этой точке и

Примеры:

1. ;

2. .

3. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в этой точке и ;

Примеры:

1. ;

2. .

4) В большинстве практических случаев процесс дифференцирования сводится к отысканию производной сложной функции

Если в цепи функциональных зависимостей аргументх является последним, то мы будем называть его независимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других переменных величин). Правило дифференцирования сложной функции вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если и– дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функцииу по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной x, т. е..

Примеры:

1.

2.

Понятие дифференциала

Если функция дифференцируема в точкех, т. е. имеет в этой точке конечную производную то ее приращениеможно записать в виде

где .

Главная, линейная относительно частьприращения функции называетсядифференциалом функции и обозначается

или .

Производные высших порядков

Производная называетсяпроизводной первой порядка. Производная от называетсяпроизводной второго порядка (или второй производной) от функции и обозначаетсяили. Производная отназываетсяпроизводной третьего порядка (или третьей производной) от функции и обозначаетсяилии т. д.

Производные n-го порядка есть производная от производной (n - 1)- го порядка, т. е.

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка.

Решение типовых задач.

Задание 1. Используя определение производной, найти производную функции в точке.

Решение. Придавая аргументу х в точке х₀ приращение, найдем соответствующее приращение функции:

Составим соотношение

.

Найдем предел этого отношения при :

Следовательно, производная функции в точкеравна числу, что в принятых обозначениях можно записать так:

Задание 2. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

1. 

2. 

3. 

4. 

Решение.

Задание 3. Найти дифференциал функции в точке x=2.

Решение:

Следовательно,

Задание 4. Найти производные второго порядка от следующих функций:

Решение: