7. Модель экономически выгодных размеров заказываемых партий

Работа реального склада сопровождается множеством отклонений от идеального режима: различаются объемы заказанных и поставленных партий; различаются запланированные и реальные сроки поставок; реальное время разгрузки не совпадает с временной нормой разгрузки и т.д. Учесть все эти отклонения практически невозможно, поэтому при моделировании работы склада делаются предположения (допущения):

1) Скорость расходования запасов со склада М (единиц товара в единицу времени) является постоянной величиной; в соответствии с этим график изменения величины запасов в части расходования является отрезком прямой (рис.1);

2) Объем партии пополнения Q есть постоянная величина (система с фиксированным размером заказа);

3) Время разгрузки партии пополнения мало; им пренебрегаем (считаем равным нулю);

4) Время от принятия решения о пополнении до прихода заказанной партии есть постоянная величина Δt; заказ формируется в момент времени на Δt ранее до момента его прихода;

5) На складе нет систематического накопления или перерасхода запасов. Работа склада происходит одинаковыми циклами длительностью T и за время цикла (T – интервал между двумя поставками) величина запаса снижается от максимального уровня S до минимального уровня s.

Выполняется равенство: Q=М · Т.

6) Отсутствие запасов на складе недопустимо, т.е. выполняется неравенство s≥0. С точки зрения снижения издержек на хранение этому требованию соответствует s=0 и S=Q.

В результате график "идеальной" работы склада в форме зависимости величины запасов у от времени t имеет вид, как на рис.1.

Рис.1

Эффективность работы склада оценивается по его затратам (издержкам) на организацию (пополнение) и хранение запасов.

Издержки на организацию запасов не зависят от объема партии поставок и называются накладными. Сюда входят почтово-телеграфные расходы, командиро­вочные, организационные, некоторая часть транспортных расходов и др. Накладные расходы обозначим через К.

Издержки хранения запасов пропорциональны их величине и времени хранения. Для расчетов будем использовать величину удельных издержек хранения h – издержки на хранение одной единицы запасов в течение одной единицы времени. При изменяющейся величине хранящихся запасов (от значения Q до 0) издержки хранения за время Т получаются путем умножения величины h на Т и на среднее значение величины запасов в течение времени Т (Q_ср=1/2·Q): h·T·Q/2.

То есть, затраты склада за время цикла Т при размере партии пополнения Q в случае идеального режима работы склада (рис.1) равны сумме накладных затрат и затрат на хранение:

Поделив эту функцию на величину Т и учитывая равенство Q=М·Т, получим затраты на пополнение и хранение запасов, приходящихся на единицу времени:

Эта функция является целевой. Ее минимизация позволит определить оптимальный режим работы склада. То есть надо найти оптимальный объем заказываемой партии Q_опт, при котором функция средних затрат склада за единицу времени Z₁(Q) будет минимальной.

Будем считать, что функция Z₁(Q) является выпуклой, непрерывной, дважды дифференцируемой, ограничений на принимаемые значения Q нет, тогда задачу на минимум можно решить методами дифференциального исчисления, используя необходимое и достаточное условия экстремума функции

откуда находится точка минимума Q_опт (формула Уилсона):

Оптимальный размер партии Q_опт обладает характеристическим свойством: размер партии Q оптимален тогда и только тогда, когда издержки хранения за время цикла T равны накладным расходам К:

Действительно, если то издержки хранения за цикл равны накладным расходам:

И обратно, если издержки хранения за цикл равны накладным расходам, т.е.

то .

Графическая интерпретация характеристического свойства Q_опт (рис.2):

Рис.2

Из графиков на рис.2 видно, что минимальное значение функции Z₁(Q) достигается при том значении Q, при котором равны значения двух других функций, ее составляющих.

Используя формулу Уилсона, с учетом сделанных ранее предположений об идеальной работе склада можно получить ряд расчетных характеристик работы склада в оптимальном режиме:

оптимальный средний уровень запаса

оптимальная периодичность пополнения запасов

оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени