Кузнецов Задачник

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский институт атомной энергетики НИЯУ МИФИ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

n 5 n − 3 27n6 + n2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.06.2015

Размер:

318.28 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

I. ПРЕДЕЛЫ

Теоретические вопросы

1.Понятие числовой последовательности и ее предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

2.Понятие предела функции в точке. Понятие функции, ограниченной в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел.

3.Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

4.Теорема о пределе промежуточной функции.

5.Понятие непрерывности функции. Доказать непрерывность функции cos x .

6. Первый замечательный предел lim sin x = 1.

x→0 x

7.Понятие бесконечно малой функции. Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой.

8.Теорема о сумме бесконечно малых функций.

9.Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию.

10.Теорема об отношении бесконечно малой функции к функции, имеющей предел,

отличный от нуля.

11.Теорема о пределе суммы.

12.Теорема о пределе произведения.

13.Теорема о пределе частного.

14.Теорема о переходе к пределу под знаком непрерывной функции. 15.Непрерывность суммы, произведения и частного.

16.Непрерывность сложной функции.

17.Понятие бесконечно большой функции. Теоремы о связи бесконечно больших функций с бесконечно малыми.

18.Сравнение бесконечно малых функций.

19.Эквивалентные бесконечно малые функции. Теорема о замене бесконечно малых функций эквивалентными.

20.Условие эквивалентности бесконечно малых функций.

		Теоретические упражнения
		Доказать, что если lim an = a , то			=
1.		Доказать, что если lim an = a , то	lim	an	=	a	. Вытекает ли из существования
		n → ∞	n → ∞

lim	an	существование lim an ?
n → ∞		n → ∞

У к а з а н и е. Доказать и использовать неравенство

−

≤

b − a

Доказать, что последовательность {n2 } расходиться.

Сформулировать на языке « ε − δ » утверждение: «Число A не является пределом

в точке x0 функции

f ( x ), определенной в окрестности точки x0 ».

Доказать, что если f ( x ) непрерывная функция, F ( x ) =

f ( x )

есь также

непрерывная функция. Верно ли обратное утверждение?

Сформулировать на языке « ε − δ » утверждение: «Функция

f ( x ), определенная в

окрестности точки x0 , не является непрерывной в этой точке».

Пусть lim

f ( x ) ≠ 0 , а lim ϕ ( x ) не существует. Доказать, что lim

f ( x )ϕ ( x )

x → x0

не существует.

У к а з а н и е. Допустить противное и использовать теорему о пределе частного.

7.	Пусть функция f ( x ) имеет предел в точке x0 , а функция ϕ ( x ) не имеет предела.
Будут ли существовать пределы:
1)	lim f ( x )	+ ϕ ( x ) ;			2) lim f ( x )ϕ ( x )?
	x → x				x → x
	0				0
Рассмотреть пример:		lim x sin	1	.
Рассмотреть пример:		lim x sin		.
		x → 0	x
		x → 0
8.	Пусть lim	f ( x ) ≠ 0 , а			функция ϕ ( x ) бесконечно большая при x → x0 .
	x → x0

Доказать, что произведение f ( x )ϕ ( x ) является бесконечно большой функцией при

x → x0 .

	9. Является ли бесконечно большой при x → 0 функция					1	cos		1	?
	9. Является ли бесконечно большой при x → 0 функция						cos			?
						x			x
	10.Пусть α ′( x ) α ( x )		и	β ′( x ) β ( x ) при x → x0 .				Доказать, что если
lim	α ′( x )	не существует, то	lim	α ( x )	тоже не существует.

	β ′( x )			β ( x )
x → x0	β ′( x )		x → x0	β ( x )

Расчетные задания

Задача 1. Доказать, что lim an

= a (указать N (ε ) ).

n→∞

1.1. a

3n − 2

a =

1.2. a

4n − 1

a = 2.

2n − 1

2n + 1

1.3. a

7n + 4

a =

1.4. a

2n − 5

a =

2n + 1

3n + 1

1.5. a

7n − 1

a = 7.

1.6. an

4n2 +1

a =

n + 1

3n2 +2

1.7. an

9 − n3

a = −

1.8. a

4n − 3

a = 2.

1+ 2n3

2n + 1

1.9. a =		1− 2n2								,
1.9. a =										,
n		2 + 4n2
		2 + 4n2
1.11. a	=				n + 1		,
1.11. a	=						,
n				1 − 2n
				1 − 2n
1.13. a =			1− 2n2			,
1.13. a =						,
n				n2 + 3
				n2 + 3
1.15. an	=				n	,

					3n − 1
					3n − 1
1.17. a	=				4 + 2n				,
1.17. a	=								,
n					1 − 3n
					1 − 3n
1.19. an	=				3 − n2			,
1.19. an	=		1+ 2n2					,
			1+ 2n2
1.21. a	=				3n − 1	,
1.21. a	=					,
n					5n + 1
					5n + 1

a = − 1 . 2

a = −2.

a= 1 . 3

a = − 2 . 3

a = − 1 . 2

a= 3 . 5

1.10. a

= −

a = −5.

n + 1

1.12. a

2n + 1

a =

3n − 5

1.14. an

3n2

a = −3.

2 − n2

1.16. a =

3n3

a = 3.

n3 −1

1.18. a

5n + 15

, a = −5.

6 − n

1.20. a

2n − 1

a = −

2 − 3n

1.22. a

4n − 3

a = 2.

2n + 1


1.23.	a =			1− 2n2						,	a = −				1		.

	n			2	+ 4n2						2

1.25. a		=	2 − 2n					,			a = −		1			.

	n			3	+ 4n						2

1.27. a		=	1 + 3n			,					a = −3.

	n			6	− n

1.29.	a =			3n2 + 2					,		a =	3		.

	n			4n2 −1							4

		=		2n3							a = 2.
1.31. an							,

				n3 − 2

1.24. a

5n + 1

a =

10n − 3

1.26. a

23 − 4n

a = 4.

2 − n

1.28. a

2n + 3

a = 2.

n + 5

1.30. a =

2 − 3n2

a = −

4 + 5n2

Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей.

(3 − n )2 + (3 + n )2

2.1.

lim

n → ∞ (3 − n )2 − (3 + n )2

(3 − n )4 − (2 − n )4

2.3.

lim

n → ∞ (1 − n )3 − (1 + n )3

(6 − n )2 − (6 + n )2

2.5.

lim

n → ∞ (6 + n )2 − (1 − n )2

(1 + 2n )3 − 8n3

2.7.

lim

n → ∞ (1 + 2n )2

+ 4n2

2.9.

lim

(3 − n )3

n → ∞ (n + 1)2 − (n + 1)3

(n + 1)3 − (n − 2)3

2.11. lim

+ 2n − 3

n → ∞

2.13. lim

(n + 3)3 + (n + 4)3

n → ∞ (n + 3)4

− (n + 4)4

2.15. lim

8n3

− 2n

n → ∞ (n + 1)4

− (n − 1)4

2.17. lim

(2n − 3)3 − (n + 5)3

n → ∞ (3n − 1)3 + (2n + 3)3

2.19. lim

(2n + 1)3 + (3n + 2)3

n → ∞ (2n + 3)3 − (n − 7 )3

2.21. lim

(2n + 1)3 − (2n + 3)3

n → ∞ (2n + 1)2 + (2n + 3)2

(n + 2)4 − (n − 2)4

2.23. lim

n → ∞ (n + 5)2

+ (n − 5)2

2.25. lim

(n + 1)3 − (n − 1)3

n → ∞ (n + 1)2

− (n − 1)2

(n + 2)3 + (n − 2)3

2.27.

lim

− 1

n → ∞

(3 − n )4 − (2 − n )4

2.2.

lim

n → ∞ (1 − n )4 − (1 + n )4

(1 − n )4 − (1 + n )4

2.4.

lim

n → ∞ (1 + n )3 − (1 − n )3

2.6.

lim

(n + 1)3 − (n + 1)2

n → ∞ (n − 1)3 − (n + 1)3

2.8.

lim

(3 − 4n )2

n → ∞ (n − 3)3 − (n + 3)3

2.10. lim

(n + 1)2 + (n − 1)2 − (n + 2)3

(4 − n )

n → ∞

2.12. lim

(n + 1)3 + (n + 2)3

n → ∞ (n + 4)3

+ (n + 5)3

2.14. lim

(n + 1)4 − (n − 1)4

n → ∞ (n + 1)3

+ (n − 1)3

2.16. lim

(n + 6)3 − (n + 1)3

n → ∞ (2n + 3)2 + (n + 4)2

2.18. lim

(n + 10)2 + (3n + 1)2

n → ∞ (n + 6)3 − (n + 1)3

2.20. lim

(n + 7 )3 − (n + 2)3

n → ∞ (3n + 2)2 + (4n + 1)2

n3 −

(n − 1)3

2.22. lim

n → ∞ (n + 1)4

− n4

2.24. lim

(n + 1)4 − (n − 1)4

n → ∞ (n + 1)3

+ (n − 1)3

2.26. lim

(n + 1)3 − (n − 1)3

n → ∞ (n + 1)2

+ (n − 1)2

2.28. lim

(n + 1)3 + (n − 1)3

− 3n

n → ∞

2.29. lim	(n + 1)3 + (n − 1)3				.	2.30. lim	(n + 2)2 − (n − 2)2		.
								2
	n		3	+ 1			(n + 3)
n → ∞			3			n → ∞


2.31. lim	(2n + 1)2 − (n + 1)2					.

	n	2	+ n + 1
n → ∞		2

Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	n 3	5n2			+ 4 9n8 + 1
3.1. lim							.


n → ∞ (n +			n	)		7 − n + n2

3.3. lim n3 + 1 − n − 1 . n → ∞ 3n3 + 1 − n − 1

	3n − 1 − 3		125n3 + n
3.5. lim				.
	5

n → ∞		n	− n

3.7. lim n + 2 − n2 + 2 .

n→ ∞ 4 4n4 + 1 − 3 n4 − 1

3.9.lim 6n3 − n5 + 1 .

n→ ∞ 4n6 + 3 − n

	n	4 3n + 1 + 81n4 − n2 + 1
3.11. lim						.
		(n + 3		)

n → ∞			n		5 − n + n2

3.13. lim n5 + 3 − n − 3 . n → ∞ 5n5 + 3 + n − 3

3.15. lim 4n + 1 − 327n3 + 4 .

n → ∞ 4n − 3n5 + n

3	n3 − 7 + 3 n2 + 4
3.17. lim		.


n → ∞	4 n5 + 5 + n

4n2 − 4 n3

3.19. lim .

n → ∞ 3 n6 + n3 + 1 − 5n

	n − 1 −	n2 + 1
3.2. lim			.

n → ∞ 3 3n3 + 3 + 4 n5 + 1

3n2 − 1 + 7n3

3.4.lim .

n → ∞ 4 n12 + n + 1 − n

3.8. lim n4 + 2 + n − 2 . n → ∞ 4n4 + 2 + n − 2

5n + 2 − 3 8n3 + 5

3.10. lim

n → ∞

n + 7

− n

n2 − 3

n + 3 −

3.12. lim

n → ∞ 3 n5 − 4 − 4 n4 + 1

3n − 9n2

3.14.lim .

n→ ∞ 3n − 4 9n8 + 1

3.16.lim n 37n − 481n8 − 1 .

n→ ∞ (n + 4n )n2 − 5

3.18. lim n6 + 4 + n − 4 . n → ∞ 5n6 + 6 − n − 6

n → ∞ 4n + 4 − 5 n5 + 5

	n 4	11n +			25n4 − 81
3.21. lim							.


n → ∞ (n − 7			n	)		n2 − n + 1

3.23. lim n7 + 5 − n − 5 . n → ∞ 7n7 + 5 + n − 5

3.25. lim n + 2 − 3n3 + 2 .

n→ ∞ 7n + 2 − 5 n5 + 2

3.27.lim n + 6 − n2 − 5 .

n→ ∞ 3n3 + 3 + 4n3 + 1

	n2 − n3 + 1
3.29. lim		.


n → ∞ 3 n6 + 2 − n

3.31. lim	n 6 n + 3 n10 + 1		.

n → ∞ (n + 4n ) 3n3 − 1

−

n2 + 5

3.22. lim

5 n7

n → ∞

−

n + 1

n2 + 2 − 5n2

3.24. lim

n → ∞ n − n4 − n + 1

3 64n6 + 9

71n −

3.26. lim

(n − 3

)

n → ∞

11 + n2

3.28. lim n8 + 6 − n − 6 . n → ∞ 8n8 + 6 + n − 6

3.30. lim n + 1 − 3n3 + 1 .

n → ∞ 4n + 1 − 5n5 + 1

Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

lim n (

n2 − 3

4.1.

n2 + 1 +

n2 − 1

4.2.

n (n − 2) −

n → ∞

lim (n − 3

n3 − 5

lim

(n2 + 1)(n2 − 4) − n4 − 9

4.3.

4.4.

n → ∞

n5 − 8 − n n (n2 + 5)

(

n2 − 3n + 2 − n ).

4.5.

lim

4.6.

lim

n → ∞

(n + 3

4.7.

lim

4 − n3

4.8.

lim

n (n + 2) −

n2 − 2n + 3

n → ∞

4.9.

lim

+ 2)(n + 1) −

− 1)(n + 3)

n → ∞

4.10. lim n2 (

n (n4 − 1) −

n5 − 8

n → ∞

4.11. lim n (3

− 2n ).

4.12. lim n2 (3

− 3

5 + 8n3

5 + n3

3 + n3

n → ∞

(n + 1)3 − n (n − 1)(n − 3)

3 (n + 2)2 − 3 (n − 3)2

4.13. lim

4.14. lim

n → ∞

(

−

n2 + 3n − 2 −

n2 − 3

4.15. lim

4.16. lim

n + 2

n − 3

n → ∞

n (n5 + 9) − (n4 − 1)(n2 + 5)

4.17. lim

n → ∞

(

− n ).

(

−

4.18. lim

n (n + 5)

4.19. lim

n3 + 8

n3 + 2

n3 − 1

n → ∞

(n3 + 1)(n2 + 3) − n (n4 + 2)

4.20. lim

n → ∞

4.21. lim

(n2 + 1)(n2 + 2) −

(n2 − 1)(n2 − 2)

n → ∞

(n5 + 1)(n2 − 1) − n n (n4 + 1)

4.22. lim

n → ∞

(n4 + 1)(n2 − 1) − n6 − 1

4.24. lim n −

n (n − 1) .

4.23. lim

n → ∞

n2 (n6 + 4)

(n8 − 1)

4.25. lim n3

− 3

4.26. lim

−

n (n + 1)(n + 2)

n → ∞

(

−

4.27. lim 3

− 3

n (n − 1)

4.28. lim

+ 2

n + 3

n − 4

n → ∞

4.29. lim n (

−

n4 + 3

n4 − 2

n → ∞

(

−

4.30. lim

n3 − 3

n3 − 2

n (n + 1)(n + 2)

n → ∞

(n2 + 5)(n4 + 2) − n6 − 3n3 + 5

4.31. lim

n → ∞

Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

+ ...

n − 1

(2n + 1)!+ (2n + 2)!

5.1.

lim

5.2.

lim

n → ∞

(2n + 3)!

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1)

−

2n + 1

5.3.

lim

n + 1

n → ∞

5.4.

lim

2n+1 + 3n+1

5.5.

lim

1 + 2

+ 3 + ...

+ n

2n + 3n

n → ∞

9n4 + 1

5.6.

lim

1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1)

n → ∞

1 + 2 + 3 + .. + n

	1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1)
5.7. lim						− n .
				n + 3
n → ∞
5.9. lim	(n + 4)!− (n + 2)!				.

n → ∞			(n + 3)!

5.11. lim		2n	− 5n+1	.

			+ 5n+2
n → ∞ 2n+1

5.8. lim

1 + 4 +

7 + ... + (3n − 2)

n → ∞

5n4 + n + 1

5.10. lim

(3n − 1)!+ (3n + 1)!

n → ∞

(3n )!(n − 1)

1 +

+ ... +

5.12. lim

n → ∞ 1 +

+ ... +

5.13. lim

− 3 + 5 − 7 +

9 − 11 + ... + (4n − 3) − (4n − 1)

n → ∞

n2 + 1 + n2 + n + 1

− 2 + 3 − 4 + ... + (2n − 1)

− 2n

5.14. lim

9n4 + 1

n → ∞

5.15. lim

3 n3 + 5 − 3n4 + 2

5.16. lim

3n − 2n

+ 3 + 5 + ... + (

2n − 1)

n → ∞ 1

n → ∞ 3n−1 + 2n

n + 2

−

+ ... +

3n + 2n

5.17. lim

5.18. lim

n → ∞

1 + 2 + 3 + ...n

n → ∞

5.19. lim

2 − 5 + 4 − 7 + ... + 2n − (2n + 3)

5.20. lim

(2n + 1)!+ (2n + 2)!

n → ∞

n + 3

n → ∞ (2n + 3)!− (2n + 2)!

5.21. lim	1 + 2 + ... + n			.

n → ∞	n − n	2	+ 3

	3	+		5	+	9	+ ... +	1 + 2	n
5.23. lim										.
	4		16			64		n
n → ∞							4
1 + 5 + 9 + 13 + ... + (4n − 3)
5.25. lim
						n + 1
n → ∞

5.26. lim 1 − 2 + 3 − 4 + ... − 2n .

n → ∞ 3n3 + 2n + 2

n!+ (n + 2)!

5.28. lim .

n → ∞ (n − 1)!+ (n + 2)!

	7	+	29	+ ... +	2n + 5n
5.30. lim							.
	10		100		10	n
n → ∞

5.22. lim	n2	+	n − 1	.


n → ∞ 2 + 7 + 12 + .. + (5n − 3)

2 + 4 + 6 + ... + 2n

5.24. lim . n → ∞ 1 + 3 + 5 + .. + (2n − 1)

−	4n + 1
			.
	2		.
	2
		5.27. lim		2n + 7n				.


			n → ∞ 2n − 7n−1
		5.29. lim		3 + 6 + 9 + ... + 3n						.
		5.29. lim								.
			n → ∞		n	2	+ 4
					n		+ 4

					2 + 4 + ... + 2n
		5.31. lim							− n .
		5.31. lim							− n .
			n → ∞		n + 3

Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей.

	n + 1				n
6.1.	lim				.
6.1.	lim				.
	n → ∞ n		− 1
		n	2	− 1		n4
6.3.	lim	n		− 1		.
6.3.	lim			2		.
	n → ∞		n
				2					n2
		2n + 2
6.5.	lim	2n + 2						.
6.5.	lim	2n2 + 1						.
	n → ∞	2n2 + 1
		n	2	−	3n + 6					n / 2
6.7.	lim	n		−	3n + 6					.
6.7.	lim									.
	n → ∞ n2 + 5n + 1
		6n − 7 3n+2
6.9.	lim						.
6.9.	lim						.
	n → ∞ 6n +				4

n2 + n + 1 − n2

6.11. lim .

n → ∞ n2 + n − 1

		2n + 3		n+1
6.2.	lim			.
6.2.	lim			.
	n → ∞	2n + 1
	n − 1 n+2
6.4.	lim		.
6.4.	lim		.
	n → ∞ n + 3
		2				− n+1
		2
		3n −		6n + 7
6.6.	lim	3n −		6n + 7	.
6.6.	lim	3n2 + 20n − 1			.
	n → ∞	3n2 + 20n − 1
	n − 10			3n+1
6.8.	lim			.
6.8.	lim			.
	n → ∞	n + 1

3n2 + 4n − 1 2 n+5

6.10. lim . n → ∞ 3n2 + 2n + 7

2n2 + 5n + 7 n

6.12. lim . n → ∞ 2n2 + 5n + 3

n − 1 n2

5n2 + 3n − 1

6.13. lim

6.14. lim

5n2 +

n → ∞ n + 1

n → ∞

3n + 3

3n + 1 2 n+3

2n2 + 7n − 1

− n2

6.15. lim

6.16. lim

2n2 +

n → ∞

3n − 1

n → ∞

3n − 1

n + 3 n+4

n3 + 1

2 n−n3

6.17. lim

6.18. lim

n → ∞ n +

n → ∞ n3 − 1

2n2 + 21n − 7

2 n+1

10n − 3 5n

6.19. lim

6.20. lim

2n2 + 18n + 9

n → ∞

10n −

3n2 − 5n

n+1

n + 3 − n2

6.21. lim

6.22. lim

3n2 − 5n + 7

n → ∞

n + 1

n2 − 6n + 5

3n+2

n + 4 n

6.23. lim

6.24. lim

n → ∞ n2 − 5n +

n → ∞

n + 2

7n2 + 18n − 15

n+2

2n − 1 n+1

6.25. lim

6.26. lim

7n2 + 11n + 15

n → ∞

2n + 1

n3 + n + 1

2 n2

13n + 3 n−3

6.27. lim

6.28. lim

n3 + 2

n → ∞

13n − 10

2n2 + 2n + 3

3n2 −7

n + 5 n / 6+1

6.29. lim

6.30. lim

2n2 + 2n + 1

n → ∞

n − 7

1−2 n

+ 4n

− 1

6.31. lim

4n2 + 2n + 3

n → ∞

Задача 7. Доказать (найти δ (ε )), что:

7.1.

lim

2x2 + 5x − 3

= −7.

7.2. lim

5x2 − 4x − 1

= 6.

x + 3

x − 1

x → -3

x → 1

7.3.

lim

3x2 + 5x − 2

= −7.

7.4. lim

4x2 − 14x + 6

= 10.

x + 2

x − 3

x → -2

x → 3

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.07.201952.74 Кб5КР2_4.doc
#
18.07.201952.22 Кб6КР2_5.doc
#
10.09.2019113.66 Кб3Критерии оценки знаний и умений.doc
#
24.08.201947.27 Кб2кровезаменители.docx
#
09.11.20194.71 Mб19Кузин - хирургические болезни.doc
#
11.06.2015318.28 Кб15Кузнецов Задачник.pdf
#
02.09.201935 Кб1кул 8.docx
#
11.06.2015231.94 Кб16Культорология - копия.doc
#
04.09.201944.66 Кб9Культура Древней Руси.docx
#
02.09.2019127.49 Кб3Культура и здоровье .doc
#
29.03.201610.83 Mб72Курс лекций Анатомия и физиология.doc