КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
.pdf
Задание 1.
Для электрической схемы, изображенной на рисунке 1, где E1 = 16 В,
E2 = 8 В, E3 = 9 В, R1 = 2,5 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 6 Ом, R4 = 5 Ом, R5 = 10 Ом,
R6 = 5 Ом, выполнить следующее:
1)составить и решить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа;
2)найти токи в ветвях, пользуясь методом контурных токов;
3)проверить правильность решения, применив метод узловых потенциалов;
4)определить ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора;
5)определить показание вольтметра и составить баланс мощностей;
6)построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего
контура.
Рисунок 1 – схема электрической цепи постоянного тока
1. Расчет линейной электрической цепи постоянного тока
Выберем направления токов в ветвях электрической цепи,
представленной на рисунке 4, а также обозначим все узлы цепи буквенными
обозначениями.
Рисунок 4 – Расчетная схема электрической цепи
1) Составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа,
= 0 (1)
Выбираем произвольные направления обхода контуров. Составляем 3
уравнения для независимых контуров по второму закону Кирхгофа: |
|
|
|
|
(2) |
|
= |
|
Объедением и совместно |
решаем систему уравнений (1) и |
(2) для |
определения токов в ветвях схемы. Если для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то из этого следует, что его действительное направление противоположно выбранному.
Имеем систему уравнений: |
|
|
||
|
− |
− = 0 |
|
|
− |
+ = 0 |
|
|
|
|
− |
− = 0 |
= 0 |
(3) |
|
− |
− |
||
+ |
+ |
= − |
|
|
− |
− |
= − |
|
|
Решение дает: I1=0,846 А, I2=0,520 А, I3=0,326 А, I4=0,033 А, I5=0,293 А, |
||||
I6=0,533 А.
2) Составим 3 уравнения по второму закону Кирхгофа (2) для
обозначенных на рисунке 4 контурных токов. |
|
|||
Получим систему уравнений: |
|
|||
( |
+ |
+ |
) − − = − |
(4) |
( |
+ |
+ |
) − − = 0 |
|
( |
+ |
+ |
) − − = − |
|
Решая ее, получаем: I1= 0,846 А , I2= 0,293 А, I3= 0,326 А.
Токи в ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, проходящих через данную ветвь, вычисляя, получим:
I1=0,846 А, I2=0,520 А, I3=0,326 А, I4=0,033 А, I5=0,293 А, I6=0,533 А.
3) Заменим все сопротивления на проводимости: |
(5) |
|||
|
|
= 1 |
|
|
G1=0,4 Cм, G2=0,167 Cм, G3=0,167 Cм, G 4=0,2 Cм, G 5=0,1 Cм, G 6=0,2 Cм. |
||||
Выберем узел 3 в качестве базового, т.е. его потенциал равен нулю: |
|
|||
|
|
|
# + $# |
(6) |
" # |
# − # |
"# # = # # |
||
Для каждого узла |
(1,2,4) |
составляем |
уравнение по формуле |
(6): |
потенциал умножаем на сумму проводимостей ветвей, прилегающих к узлу,
и вычитаем произведения потенциалов соседних узлов на проводимость ветвей, соединяющих его с данным узлом; все это приравниваем к сумме источников тока и источников напряжения помноженных на проводимости соответствующих ветвей. Получим систему уравнений:
" ( |
+ |
+ |
) − " − " = |
|
(7) |
|
" ( |
+ |
+ |
) − " − " |
= − − − |
||
" ( |
+ |
+ |
) − " − " |
= |
|
|
Решая систему, получаем следующие значения потенциалов:
φ1=2,765 В, φ2=-11,120 В, φ3=0 В, φ4=-0,165 В.
Определим потенциалы для остальных точек. Для этого отнимаем от
потенциалов соседних точек, к которым направлено ЭДС, значение этого ЭДС: φ5= φ4 - Е3, φ6= φ1 – Е1, φ7= φ3 - Е2. Получаем следующие значения:
φ5 = -9,165 В, φ6 = -13,235 В, φ7 = -8 В.
Токи в ветвях находим как произведения проводимости ветви на сумму
падения напряжения на ветви и ЭДС, тогда
I1=0,846 А, I2=0,520 А, I3=0,326 А, I4=0,033 А, I5=0,293 А, I6=0,533 А.
4) Определим ток в резисторе R6 методом эквивалентного источника
напряжения. Для этого вычленим из цепи, изображенной на рисунке 4,
резистор R6 и приложим напряжение холостого хода Uхх (рисунок 5), тогда
искомый ток определится как: |
= |
'хх |
|
|
|
|
|
||
|
+ э |
, |
(8) |
|
где Rэ – эквивалентное сопротивление цепи относительно резистора R6 при
отсутствии в цепи генераторов, представленной на рисунке 6.
Рисунок 5 – Расчетная схема для метода эквивалентного генератора
Составим уравнения по формуле (2) для контурных токов I1 и I2. |
|
|||||||
( |
+ |
|
+ |
+ ) |
+ ( |
+ ) = |
− |
(9) |
, ( |
+ |
|
+ |
) + ( |
+ |
) = − |
|
|
Решая, получим I1 = 0,449 А и I2 = -0,232 А. |
|
|
||||||
Тогда токи I5 = I1 = 0,449 А, I4 = I1 + I2 = 0,217 A. |
|
|
||||||
Падение напряжения на участке 1-4-3, равное Uхх определится как: |
(10) |
|||||||
|
|
|
|
'.. = |
+ |
|
|
|
Вычисление дает Uхх = 5,575 В.
Рисунок 6 – Схема для расчета эквивалентного сопротивления
Преобразуем соединение «звезда» резисторов R1, R3, R2 в соединение
резисторов «треугольник» по формулам (11):
= += += +
+++
+ |
|
(11) |
||
+ |
|
|||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем схему, изображенную на рисунке 7 и значения новых
сопротивлений R12 = 11 Ом, R13 = 11 Ом, R23 = 26,4 Ом.
Рисунок 7 – Схема для расчета эквивалентного сопротивления после
преобразования «звезда – треугольник»
Очевидно, что пары резисторов R13 и R5, R23 и R4 соединены параллельно, а между собой пары соединены последовательно, образуя с R12
параллельное соединение:
|
/ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
э = |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
(12) |
||||||||
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||||||
Итого получаем Rэ = 5,081 Ом.
Подставляя значения, полученные при вычислении (10) и (12), в (8),
получаем: I6 = 0,553A.
5) Показания вольтметра определим как разность потенциалов между
точками 3 и 5:
UV = φ3 - φ5 = 9,165 В.
Рассчитаем выделенную источниками энергию в единицу времени по
формуле: |
|
|
|
|
(13) |
||
|
1 = ± # # + $#'# |
||
|
# |
# |
|
Если направление тока I, протекающего через источник ЭДС Е совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь в единицу времени энергию, равную произведению Е·I и входит с положительным знаком в уравнение энергетического баланса. Если направление тока I не совпадает с направлением ЭДС, то перед
произведением E·I ставим знак «–».
Вычисления дают: P1 = 6,442 Вт.
Рассчитаем выделившуюся на сопротивлениях мощность по формуле: |
||
|
# |
(14) |
1 = # |
||
# |
|
|
Вычисления дают P2 = 6,442 Вт.
P1 = P2 – уравнение энергетического баланса выполняется: мощность,
выделяемая источниками напряжения численно равна тепловой мощности,
выделяемой на сопротивлениях.
6) Строим потенциальную диаграмму, отмечая по оси ординат потенциалы точек в порядке 1-4-5-2-6-1, а по оси абсцисс суммарное сопротивление пройденного участка. Диаграмма показана на рисунке 8.
Рисунок 8 – Потенциальная диаграмма для внешнего контура
Расчет задания в программной оболочке MATHCAD приведен ниже.
Дано Определяем все токи используя законы Кирхгофа
Определяем все токи методом контурных токов
Определяем все токи методом узловых потенциалов
Определяем ток в резисторе R6 методом эквивалентного генератора
Определяем потенцеалы остальных точек
Определяем показания вольтметра
Составляем баланс мощностей
Строим потенцеальную диаграмму