МОМ-общая методика(1)
.pdf
|
П |
|
|
Т |
|
1) 54 км/ч = |
|
|
|
|
|
||
|
36 км/ч |
|
54 1000:3600м/с = |
|
|
Поезда движутся очень быстро, |
|||||||
|
54 км/ч |
|
|
|
|||||||||
|
? (с) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
=15 м/с |
|
|
|
|
|
поэтому цистерна пронесётся за |
|
|
|
20 м |
|
|
|
2) 36 км/ч = |
|
|
|
|
считанные секунды. Переведём |
||
|
|
|
|
|
36 1000:3600м/с= |
|
|
|
км/ч в м/с |
||||
5-7 кл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= 10 м/с |
|
|
|
|
|
|||
математи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(15+10) t=20 |
|
|
|
|
||||
ка |
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя таблицу, составим |
||||
|
|
|
|
|
|
25 t=20 |
|
|
|
||||
|
УД |
v |
|
t |
s |
|
|
|
|
уравнение. Обозначим: t – время |
|||
|
|
|
|
t=20:25 |
|
|
|
||||||
|
П 54 км/ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
движения цистерны мимо окна |
|||
|
? |
? |
20 м |
|
|
t=0,8 |
|
|
|
||||
|
Т 36 км/ч |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения – 0,8 – ответ |
||
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0,8 с. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на требование задачи |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий. Воспользовавшись привычной информационной моделью, учащиеся построили |
|||||||||||||
табличную модель, которая дала возможность построить математическую модель – уравнение с |
|||||||||||||
одним неизвестным. Эта модель адекватна задаче, поэтому решение уравнения привело к |
|||||||||||||
верному результату: цистерна пронесётся мимо окна за 0,8 с. |
|
||||||||||||
|
Дано: |
|
|
|
|
s=v t |
|
|
|
(1) |
Задача на равномерное |
||
|
vП = 54км/ ч |
|
|
|
|
|
|
прямолинейное движение |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
vТ = 36км/ч |
|
|
|
1) 54 км 54 |
1000 м 15 м |
|
||||||
|
sТ= 20 м |
|
|
|
Переведём единицы измерения в |
||||||||
|
tТ – ? |
|
|
|
|
|
ч |
|
3600 с |
|
|
с |
международную систему |
7 класс |
|
|
|
|
|
2) 36 |
км |
36 |
1000 м |
10 |
м |
измерений. |
|
|
|
|
Т |
|
ч |
3600 с |
с |
|
|||||
физика |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
10 м/с |
|
sТ =(v П +v Т ) t |
|
(2) |
Чтобы лучше понять характер |
|||||||
|
15 м/с |
|
|
|
|||||||||
|
? (с) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения изобразим схему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 м |
|
|
|
20=(15+10) t |
|
|
|
(модель) движения, которая и |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
определит уравнение зависимости |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t=0,8 м/ с |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пройденного пути от скорости |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения |
Комментарий. Краткая запись задачи не позволяет найти путь решения. Требуется |
|||||||||||||
дополнительное информационное моделирование. «На помощь» приходит с НШ известная схема |
|||||||||||||
задачи на движение. Физический смысл движения размывается: процесс перехода от формулы (1) |
|||||||||||||
к формуле (2) остаётся неясным. Однако здравый смысл и 5-летняя математическая практика |
|||||||||||||
позволили получить нужный результат |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сравнительный анализ процесса решения задачи на движение
Этап |
Информационная |
Знаковая |
|
|
математическая |
Теоретическое обоснование |
|||
обучения |
модель |
|||
модель |
|
|||
|
|
|
||
|
|
|
Задача на равномерное прямолинейное |
|
|
|
|
движение. |
|
|
Дано: |
|
Поскольку движение относительно, то |
|
|
vП= |
|
скорость движения цистерны будем |
|
9 класс |
54км/ч=15м/с |
s=v t |
рассчитывать исходя из следующих |
|
физика |
vТ= |
соображений. |
||
36км/ч=10м/с |
|
1) Пусть у окна находится пассажир (другими |
||
|
sц= 20 м |
|
словами, за точку отсчёта взяли окно |
|
|
tТ – ? |
|
пассажирского поезда). Именно с точки |
|
|
|
|
зрения стоящего пассажира мы и опишем |
|
|
|
|
ситуацию задачи. |
|
|
|
161 |
||
|
v ТП |
|
|
2) Рассмотрим ситуацию: пассажир стоит в |
|
vП |
|
|
|
движущемся вагоне; товарный поезд стоит. |
|
|
|
|
Пусть скорость пассажирского поезда |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
определяется вектором vП , тогда скорость |
|
|
|
|
|
стоящего товарного поезда, который |
|
|
|
|
|
наблюдает пассажир у окна, по абсолютной |
|
|
vТП = – vП |
величине совпадает со скоростью |
|||
|
|
|
|
пассажирского поезда, то есть определяется |
|
|
|
|
|
вектором (обозначим его vТП ) такой же |
|
|
|
|
|
длины, но противоположно направленным к |
|
|
|
|
|
vП . Другими словами, относительно точки |
|
|
|
|
|
отсчёта товарный поезд двигается со |
|
|
|
|
|
скоростью, характеризуемой вектором vТП |
|
|
|
|
|
3) По условию задачи, товарный поезд не |
|
v Т |
|
|
|
стоит, а двигается в противоположном к |
|
|
vП v |
|
пассажирскому поезду направлению, другими |
||
vП |
Т |
словами, относительно точки отсчёта |
|||
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
товарный поезд двигается со скоростью, |
|
|
|
|
|
характеризуемой вектором vТ |
|
v Т |
v ТП |
|
|
|
|
|
|
|
4) Относительно пассажира (точки отсчёта) |
||
|
vТ v |
ТП |
|||
vП |
|
скорость товарного поезда, а, следовательно, |
|||
vТ + vТП = vЦ |
|||||
|
и скорость цистерны есть сумма векторов |
||||
|
|
|
|
||
vЦ |
|
|
|
|
|
|
vЦ= vТ+ vТП |
5) В силу сонаправленности векторов: |
|||
|
|
|
|
vЦ=15м/с +10м/с =25м/с. |
|
|
sЦ =vЦ t, |
|
|
6) Разрешающая модель задачи |
|
|
20=25 t |
(* ) |
|||
|
|
||||
Итак, 20 м проносятся со скоростью 25 м/с, то есть пассажир наблюдает движущуюся цистерну 20/25 секунды, то есть 0,8 секунды
Комментарий. Поскольку задача решается на уроке физики, учащиеся ожидают именно «физико-математического» решения, базирующегося на выяснении сути движения, выборе системы отсчёта, применении законов векторной алгебры, выборе и применении формул, описывающих соответствующий вид движения.
Заметим, что моделирование задачи шло исключительно с применением математического аппарата векторной алгебры: построенные модели – не наглядно-образные схемы, а графические математические модели.
Построенные модели адекватно описывают один, неизвестный из текста задачи, параметр движения – скорость. Другие параметры заданы. Составленная алгебраическая модель (* ) привела к верному результату: цистерна пронесётся мимо окна за 0,8 с.
|
|
|
|
|
|
|
|
(54+36) t=0,02 |
Пусть t (ч) – время, |
9 класс |
УД |
v |
|
|
t |
s |
90 t=0,02 |
||
|
|
за которое цистерна |
|||||||
математик |
П |
54 км/ч |
|
|
|
|
|
t=0,02:90 |
|
? |
|
|
? |
20 м |
проносится мимо |
||||
а |
Т |
36 км/ч |
|
|
t=1/4500 |
||||
|
|
|
|
|
окна. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t=1/4500 ч=60/4500м=1/75м=60/75с=0,8с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Комментарий. Поскольку для учащихся 9 класса данная задача – стандартная задача на движение, то наблюдается предельно формализованное решение. Информационная модель – таблица – носит вспомогательный характер, и большинством учащихся даже не воспроизводится
162
Этап |
Информационная |
Знаковая математическая модель |
Теоретическое |
||||||||
обучения |
|
модель |
обоснование |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(54+36) х=0,02 |
|
|
|||||
ЕГЭ |
|
|
|
|
|
90 х=0,02 |
|
Пусть х (ч) – время, за |
|||
|
|
|
|
|
|
х=1/4500 |
|
которое цистерна |
|||
математика |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
х=1/4500ч=60/4500м=1/75м=60/75с=0,8с проносится мимо окна. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Ответ: 0,8 с. |
|
|
|||||
Комментарий. Транслируется решение, типичное для учащихся старшей школы, |
|||||||||||
сталкивающихся с несложной стандартной задачей на движение при изучении математики |
|||||||||||
Дано: |
|
|
1) 54 км 54 1000 м |
15 м |
|
||||||
v |
П = 54км/ ч |
|
|||||||||
|
|
ч |
|
3600 с |
с |
Переведём единицы |
|||||
v |
Т = 36км/ч |
|
|
|
|||||||
2) 36 км 36 1000 м |
10 м |
измерения в СИ |
|||||||||
sЦ= 20 м |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
tЦ – ? |
|
|
|
|
ч |
|
3600 с |
с |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П |
|
Т |
|
|
|
|
|
|
Построим схему |
||
|
|
|
|
|
|
|
движения поездов, |
||||
|
10 м/с |
|
|
|
|
|
|
||||
15 м/с |
|
|
|
|
|
|
|
||||
? (с) |
|
|
|
|
|
|
|
отразив существенные |
|||
|
|
|
|
|
|
|
s=v |
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
характеристики |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
20 м |
|
|
|
|
|
|
|
движения: скорость и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
путь |
|
|
|
|
v Т |
|
|
|
|
|
|
Путь известен. Осталось |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определить скорость. |
||
ЕГЭ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
физика |
|
vП |
|
|
|
|
|
|
Поезда движутся в |
||
|
|
|
|
3) |
vТ + vП |
= vЦ |
|
разных направлениях, |
|||
|
|
|
|
|
|
поэтому векторы их |
|||||
|
|
|
|
vТ |
v |
|
|
|
|||
|
|
v |
|
П |
|
|
скоростей – |
||||
|
|
Ц |
|
|
|
|
|
||||
|
|
vЦ= vП |
– vТ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
противоположно |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлены, изобразим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их отдельно и найдём |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сумму векторов |
|
|
|
|
|
4) sЦ =vЦ t, |
|
Подставим числовые |
|||||
|
|
|
|
|
20=(15 -10) t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
данные в формулу пути, |
|||||
|
|
|
|
|
|
t =4с. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
получим ответ на |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ответ: 4с. |
|
требование задачи: 4с. |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Комментарий. Краткая запись задачи не позволяет найти путь решения. Требуется |
|||||||||||
дополнительное информационное моделирование. «На помощь» приходит с НШ известная |
|||||||||||
схема задачи на движение. Взяв её за основу, учащиеся переходят к математическим моделям |
|||||||||||
скоростей – векторам, от них – к соответствующим скалярным величинам; используют |
|||||||||||
формулу пути при прямолинейном равномерном движении, и … получают неверный |
|||||||||||
результат! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Парадоксальная ситуация: задача, которую любой ученик средней школы |
|||||||||||
назвал бы лёгкой, и которая на разных этапах освоения программного |
|||||||||||
материала решалась учениками правильно, в процессе подготовки к ЕГЭ обрела |
|||||||||||
статус контрпримера, поскольку спровоцировала учащихся на ошибку! |
|||||||||||
Итак, уровень интеграции физики, математики, информатики в полной |
|||||||||||
мере проявляется при подготовке выпускников (учащихся 11 класса) к единому |
|||||||||||
государственному экзамену (ЕГЭ). |
|
|
|
||||||||
163
12.Достоинства и недостатки концепции выделения курса Наглядной геометрии в отдельную дисциплину:
13.Разработать текст исследовательской работы по решению комбинаторной задачи.
14.Выпишите 5 основных положений статьи Лебедева С.В., Мухангалиева Г.Н. Активизация самостоятельной работы учащихся посредством включения в содержание обучения историко-математического материала / Учитель – ученик: проблемы, поиски, находки: Сборник научных трудов: Выпуск 4. – Саратов: Научная книга, 2005. – с.29-33.
15.Что такое теорема, утверждение? Чем отличается утверждение от теоремы?
16.Каким образом и в таких разделах школьного курса алгебры проявляется теория множеств?
17.Охарактеризуйте основные проблемы изучения комбинаторики и теории вероятностей в ШКМ.
18.В чём отличие информационного подхода к решению сюжетных задач от подхода традиционного. Перечислите 10 отличий.
166
