Раздел 5. Гравитационное поле

Закон всемирного тяготения. Гравитационное поле. Гравитационная энергия. Гравитационный радиус. “Черные дыры”. Движение в поле тяготения Земли. Космические скорости.

Считается, что законы Кеплера послужили экспериментальной основой ля вывода закона тяготения.

Законы Кеплера:

1. все планеты движутся по эллиптическим траекториям, в одном из фокусов которого Солнце.

2. за любые равные промежутки времени радиус-вектор планеты описывает одинаковую площадь,

то есть

3. отношение квадратов периода вращения планет к кубу длин больших полуосей одинаков для всех планет: .

Покажем, что законы Кеплера могут быть использованы для вывода закона всемирного тяготения.

Предположим, что все орбиты круговые и так как вектор направленто касательной к траектории, то ., где, так как движение равномерное.

, где

согласно третьему закону Кеплера.

Таким образом

. По третьему закону Ньютона: . Следовательно . Таким образом, =>

Ньютон предположил, что , где- гравитационная постоянная.

Таким образом, – закон тяготения между планетами солнца. Ньютон также предположил, что все тела во вселенной испытывают притяжения друг к другу. Для точечных телзакон всемирного тяготения имеет вид:

Эта сила прямо пропорциональна произведению их масс точечных тел и обратно пропорциональна квадрату расстояний между ними.

Особенности: 1) Силы тяготения всегда силы притяжения;

2) не зависят от физической (химической) природы тела;

3) в силу малости гравитационной постоянной гравитационные силы имеют значимое значение для больших масс. =g. гдеускорение силы тяжести. Таким образом, для небольших высот, тогда, ускорение силы тяжести Земли одинаково для всех тел. (Закон справедлив и для тел сферической формы).

4) Сравним закон тяготения со вторым законом Ньютона: ,

Одинакова ли масса гравитационная и инерционная? Было показано с точностью

Принцип эквивалентности:

Если есть система, движущаяся с ускорением  и находящаяся в гравитационном поле, то исследователь, находящийся в этой системе, не может определить, какая часть сил обусловлена гравитационными силами , а какая – ускоренным движением системы.

Ньютон не стал давать объяснения физической природы гравитационных сил, назвав их силами дальнодествия. Соврененая теория- это теория полевого взаимодествия материальных тел.

Полевая теория

Любое тело создает вокруг себя поле – гравитационное поле.

Свойства гравитационного поля:

1. Оно непрерывно распределено в пространстве, проникает в другие поля и вещества.

2. Это поле действует с некоторой силой на все тела, помещенные в это поле.

–сила тяготения зависит не только от выбора точки поля (x,y,z) и массы тела, создающего поле (,) , но и от массы «пробного» тела (m), что крайне не удобно для характеристики поля. Поэтому введем другую величину.

Напряженность гравитационного поля - -численно равна силе, дейсвующей на единичную массу, помещённую в данную точку поля. Тогда закон примет вид:

1. Полеимеет точно такую же структуру, что и точечное тело такой же массs M, помещенной в центре сферы. (для )

2. Это поле цетральное (поле центробежных сил.)

То есть поле потенциально, то:

1) работа сил поля A зависит только от начальной и конечной точки, а не от траектории.

Тогда

2) Так как работа равна изменению энергии,то имеет смысл разность потенциальных энергий

тела в двух точках поля:

Найдём эту энергию через работу

. Тогда -разность потенциалов двух точек гравитационного поля: численно равна работе сил поля по перемещению единичной массы из первой точки во вторую.

1. Если Тело удаляется, работа совершается против сил поля (притяжения).Работа отрицательна, потенциальная энергия растет.

2. Если . Тела сближаются силами поля, работа положительна, потенциальная энергия уменьшается.

3. Если принять: Здесь -радиус Земли.

Так как .

4. =

Тогда потенциал произвольной точки поля :

–относительно бесконечности: численно равен работе, которую нужно совершить, чтобы единичную массу перенести из данной точки в бесконечность.

Определим энергии гравитационного поля .

Пусть имеем шар массы и радиусом-R. Энергию гравитационного поля шара можно определить как работу по переносу всей массы тела в бесконечность. Так как потенциал поверхности будет меняться с изменением размеров шара (и его массы), то следует переносить массу б.малыми порциями dm. Тогда -текущее значение потенциала поверхности шара. Выразимm(r): dr и можно записать в явном виде:.

Подставляя в выражение для работы: =>Таким образом,

Примеры

1. Считая, что полная энергия электрона равна его гравитационной, получим:

см – совпадает с другими методами вычислений. 2..Применим последнюю формулу к произвольному гравитационному объекту:

= Это гравитационный радиус объекта.

величина оказалась чрезвычайно информативной и важной.

1. Можно оценить гравитационную энергию объекта. (Посчитав плотность энергии, излучаемой Солнцем , учёные пришли к выводу о наличии еще каких- то источников энергии , в частности, энергию термоядерной реакции.

2. Если сравнить истинный радиус планеты и её гравитационный радиус, то при , с планеты нельзя излучать никакие виды энергии ( в том числе и свет). То есть, мы эту планету не увидим. Следовательно, возникаетЧЁРНАЯ ДЫРА.

Движение в гравитационном поле

Поставим задачу о движении двух тел:

Имеем два тела: массами и. Одно движется в

гравитационном поле другого от точки отсчета проведены радиус-векторы.

, где - единичный вектор.

Начальные условия: , , еще наложить условия

Вычтем: – приведённая масса, тогда

- уравнение движения одного тела, относительно другого.

Решение зтого уравнения достаточно сложное. Для качественных оценок можно использовать

законы сохранения:

Здесь два последних слагаемых есть , так как L = const по закону сохранения момента импульса- функция отr часть

Замечания: Качественный анализ.

1. кинетическая энергия может быть только положительной

2. но полное не может быть меньше

1. - для частицы с массой m.

2. Единственное решение движение строго по окружности с .

3. , то существует два решения в некотором интервале

движение по эллипсу.

4. движение по параболе (разомкнута относительно ).

5. движение по гиперболе (разомкнута вообще). W

Космические скорости

r

1. Сообщаемая телу кинетическая энергия должна быть равна

минимальной потенциальной:

Либо можно посчитать из равенства силы тяжести- центробежной силе инерции: То есть первая космическая скорость:

2. Сообщаемая телу кинетическая энергия должна быть не менее потенциальной энергии взаимодействия с планетой:– у второй космической параболическая траектория. Тело выходит за пределы действия сил тяготения планеты.

3. Если W > 0 под углом (межпланетные путешествия). Тело выходит за пределы сил тяготения Солнца и других планет солнечной системы.