Конспект лекций.

Часть I. Механика

Раздел 1. Введение

Математический аппарат физики. Векторы и операции с ними

Вектор характеризуется модулем (длиной) и направлением. Любой вектор равен своей длине, умноженной на единичный вектор своего направления:

Вектор суммы векторов и, есть вектор ,при этом он является диагональю параллелограмма, построенного на векторах икак на сторонах.

Вектор разности двух векторов и- есть вектор ,соединяющий концы вычитаемых векторов, приведенных к одному началу и направленный в сторону уменьшаемого.

Изменение вектора как по величине так и по направлению:

Изменение за время :(t)=(t₂) -(t₁ )Умножение векторов:

1. Скалярное произведение: -угол между векторами.

2. Векторное произведение:

Длина вектора :.

Направление вектора :,,

если смотреть с конца вектора , то направление кратчайшего поворота от первого вектора ко второму против часовой стрелки.

Разложение вектора на составляющие:

Проекция вектора на ось есть число, равное

Если взять оси декартовой системы координат, то:

- составляющие вектора.

–

, -проекции вектора на оси.

Дифференцирование вектора:

–коллинеарен исходному, характеризует изменение

вектора только по величине (касательная).

–перпендикулярен исходному, характеризует изменение

вектора только по направлению (нормаль).

Момент вектора относительно точки и оси:

1. Момент вектора относительно точки О – это вектор Вектор -соединяет точку О с началом вектора

2. Момент вектора относительно оси, проходящей через точку O – это проекция вектора на эту ось.

Раздел 2. Кинематика

Материальная точка. Система отсчета. Траектория. Перемещение и путь. Скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорения. Классификация движения по ускорению. Кинематика прямолинейного и вращательного движений точки. Кинематика колебательного и волнового движений. Примеры, практические задачи.

Движение твердого тела. Степени свободы. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Теорема Эйлера о произвольном движении твёрдого тела.

Механическое движение – это изменение положения (перемещение) тела в пространстве, относительно других тел.

Предварительно введем следующие упрощения:

1. От реальных тел мы перейдём к материальной точке (тело, размерами которого можно пренебречь в условиях нашей задачи)

2. Пусть есть точка O – тело отсчета, материальная точка M – тело, которое движется относительно O (тело отсчета неподвижно).

Вектор –радиус-вектор . Если вектор меняется, то точка движется.

Системы отсчета:

1. Векторная система отсчета. Переменные величины- радиус вектор, время.

1. Зависимость радиус-вектора точки от времени – уравнение движения: (t)

2. Скоростью движения материальной точки мы называем первую производную от радиуса-вектора по времени:

3. Ускорением материальной точки мы называем первую производную от вектора скорости по времени (вторую производную от радиуса-вектора по времени):

2. Декартова система отсчета. Тело отсчёта- начало прямоугольной системы координат xyz и время. Положение точки определяется тремя числами-координатами.

Радиус-вектор в декартовой системе:

. Здесь ,,-орт-векторы соответствующих осей.

=

3. Цилиндрическая, полярная система отсчета

Тело отсчета – полюс. Чтобы задать положение относительно

полюса нужны 3 числа:

В цилиндрической системе отсчета удобно описывать движение тела

(материальной точки) по окружности. В этом случае

если точка отсчёта взята в центре окружности, расположенной в плоскости к осиZ . Тогда положение точки относительно полюса зависит только от 𝜑 – определяет уравнение движение точки по окружности.

Координаты в различных системах отсчета связываются между собой следующими соотношениями:

Здесь-–угловая координата, угловая скорость, угловое ускорение соответственно.

Для движения по окружности:

Движения в механике можно свести к 4 типам:

1. Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, проводимая в теле остается параллельна самой себе.

2. Вращательное движение. Простейшим примером является вращение тела относительно неподвижной оси: движение, при котором радиусы всех точек тела поворачиваются на равные углы.

3. Колебательное движение – это движение, при котором положение тела в пространстве повторяется через равные промежутки времени.

4. Волновое движение – это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

Классификация механического движения по ускорению

По определению:

–тангенциальное ускорение, характеризует изменение вектора только по величине.

–нормальное ускорение, характеризует изменение вектора только по направлению.

1. , вектор скорости не изменяется ни по величине, ни по направлению (, это –равномерное, прямолинейное движение. Найдём параметры и закон движения.

Закон движения: . –в векторной системе отсчёта.

В декартовой системе координат:

2. Это означает, что модуль вектора скорости не меняется, в то время как за любые равные промежутки времени его направление меняется на равные углы

Это- равномерное движение по окружности. Найдём параметры и закон движения.

=

.

Закон движения:

3. равнопеременное, прямолинейное движение ( );

(равноускоренное или равнозамедленное)

Так как вектор скорости не меняется по направлению (), то пусть движение происходит по направлению осиOX. Найдём параметры и закон движения.

Закон

движения

В общем случае: =+t +;

4. –равнопеременное (движение по окружности

Угловое ускорениев силуНайдём параметры и закон движения в угловых переменных.

Угловая скорость и закон

движения

5. Колебательное, - движение, при котором координаты точки повторяются через равные промежутки времени (периоды). Простейшими периодическими функциями являются гармонические функции времени- синус или косинус. При этом как первая, так и вторая их производные будут также гармоническими функциями. Поэтому легко «угадать» вид ускорения при гармонических колебаниях материальной точки:

случая легко найти закон изменения координаты:

+ Const.

Постоянные интегрирования, начальная фаза , находятся из начальных условий при решении динамических дифференциальных уравнений колебаний. Циклическая частота (число полных колебаний за 2секунд) зависит от колебательных свойств системы.

Итак, закон гармонического колебания: .Учитывая, что =

получим: x(t). Ускорение точки пропорционально смещению от положения равновесия и направлено в сторону точки равновесия.