Раздел 4. Законы сохранения

Закон сохранения импульса и его особенности. Закон сохранения момента импульса. Примеры: распад нейтрона, движение планет солнечной системы, гироскоп.

Работа сил. Потенциальная и кинетическая энергия. Работа и энергия вращения. Закон сохранения механической энергии. Примеры, практические задачи.

Закон сохранения импульса

Следовательно, импульс меняется только под действием внешних сил. Отсюда:

1. 

2. Если внешняя сила равна нулю, то система замкнута в механическом смысле.

Таким образом, для замкнутой системы импульс не изменяется.

Свойства закона сохранения импульса:

1. Этот закон носит векторный характер.

2. Этот закон справедлив для внутренних сил любой природы: консервативных или нет.

3. Для незамкнутых систем выполняется

   1. Закон сохранения и изменения импульса справедлив и в проекциях на оси координат:

   2. Если в незамкнутой системе существует направление, на которое проекции внешних сил равны 0, то система считается замкнутой по этому направлению.

Пример (баллистический маятник).

Система маятник –пуля не замкнута. = (++)dt. В проекциях:

Таким образом, для получения точных данных надо пытаться добиться того, чтобы:

1. 

2. Необходимо брать нить большой длины, чтобы отклонение было меньше. Поскольку, как только маятник отклонится, система становится незамкнутой и по ОX. При большой нити горизонтальная составляющая силы натяжения нити при отклонении будет небольшой, поэтому импульс останется неизменным.

Закон сохранения момента импульса

-изменение момента

импулься равно произведению момента

силы на время его действия..

-может меняться радиус-вектор или вектор импульса точки. 1) Прямилинейное равномерное движение-импульс точки постоянеи по величине и инаправлению, но радиус-вектор меняется и по величине и по направлению

, То есть в независимости от изменения радиусамомент импульса остается постоянным.

2. Равномерное движение по окружности - меняется направление импульса и направление радиуса-вектора.

Направление =const относительно центра окружности. Заметим, что материальная. точка может двигаться по окружности, если на неё дейсвует внешняя сила (например натяжения нити) т. е система не замкнута. В такой системе импульс меняется (по направлению),а вектор момента импульса постоянен.

Таким образом, силы не меняют момент импульса относительно оси, если суммарный момент этих сил, относительно той же оси равен нулю: , если = 0. (моменты сил и моменты импульса берутся относительно одной точки (оси)).

1. Момент импульса считается постоянным в замкнутой систем.

2. Если система не замкнута, но существует ось, относительно которой векторная сумма моментов сил равна нулю, то момент импульса системы, относительно этой же оси, остаётся постоянным.

Все особенности для закона сохранения импульса остаются в силе и для закона сохранения момента импульса.

Примеры:

1. Планеты солнечной системы. Учтём только силы

взаимодействия планеты с Солнцем, тогда

Скорость в перигелии больше скорости в афелии. Для всех планет солнечной системы можно пренебречь действием внешних сил (моментов). Тогда вектор суммы моментов импульсов планет постоянен, то есть все планеты вращаются в одной плоскости.

2. Микромир. Момент импульса элементарных частиц в квантовой физике полагается некоторым собственным параметром, измеряемым в единицах , гдеh постоянная Планка. Так для электрона . Такие же моменты импульса имеют нейтрон и протон. При превращениях элементарных частиц должны выполняться законы сохранения заряда, массы, энергии и момента импульса. При открытии естественного распада нейтрона:(протон и электрон) не выполнялся ни закон сохранения энергии:, ни закон сохранения момента импульса:(момент импульса нейтрона)(моменты импульса протона и электрона). В правой части равенств недоставало частицы с релятивистской массой равной 2,53и с собственным моментом импульса (спином) равным.

Такая частиц вскоре была открыта. Эта частица антинейтрино, спин которой равен .

Тогда -. Следовательно, закон выполняется.

3. Гироскоп

-массивное тело, вращающееся относительно оси симметрии. Если в поле сил тяжести точку опоры поместить в центре масс, то моменты внешних сил будут скомпенсированы и момент импульса гироскопа и направлен по оси вращения,так как вектор угловой скорости находится из соотношения:. Свойство сохранять момент импульса неизменным, широко используется в технике: системы автопилот, системы устойчивости монорельсовых поездов, артприцелы, системы ориентации космических аппаратов, средства навигации (кампасы).

При кратковременном внешнем воздействии гироскоп возврашает ось вращения в исходное положение. При длительном - присходит поворот оси (прецессия), но не в направлени дейсвия силы, а в направлении её момента, относительно оси вращения . Здесь - угловая скорость прецессии. То есть у гироскопов сохраняется величина момент импульса даже в незамкнутой системе.

Законы сохранения энергии. Работа силы. Работа и энергии.

Работа ,

Работа может быть положительной, отрицательной и равной нулю.

Работа измеряется в Джоулях.

Энергия – это способность системы совершать работу.

Следовательно, работа равна изменению кинетической энергии.

Следовательно, кинетическая энергия связана с импульсом.

Найдем работу центральных сил.

Здесь -проекция векторана направление вектора

То есть, работа центральных сил зависит только от начальной и конечной точек.

Поля таких сил – потенциальные. Поле сил тяготения, электрические поля точечных зарядов, поля сил упругость и т.д.

Любым двум точками потенциального поля можно взаимно однозначно поставить работу.

Назовем разностью потенциальных энергий точек 1 и 2 потенциального поля сил работу по перемещению тела массы m из 1 в 2. .Работа по замкнутому пути в потенциальном поле .

Силы, действующие в потенциальном поле – называются консервативными.

Примеры:

1. , то есть

2. 

–закон сохранения энергии.

Закон сохранения энергии:

В замкнутой системе механическая энергия остается постоянной, если внутренние силы консервативны. .

В незамкнутой системе изменение энергии равно работе внутренних и внешних сил.

Попробуем найти энергию и работу во вращательном движении:

.

Найдем - направлена по радиусу, который зависит от времени..

.

Потенциальную энергию можно изменить изменением момента инерции системы.

2. Сила направлена по скорости: )=FdS = FRd=Md A=M

Но на тело действует сила инерции – внешняя сила, то есть система не замкнута, следовательно, закон сохранения энергии не выполняется. Если фиксировать момент инерции системы,(центробежная сила инерции компенсирована силой натяжения связи), а составляющая силы по скорости равна нулю, то изменение полной энергии вращающейся системы равно нулю.

Полная энергия такой системы постоянна.