4.5.5. Связанный заряд у поверхности проводника граничащего с диэлектриком

Пусть на поверхности проводника имеются сторонние заряды с поверхностной плотностью σ, тогда в результате поляризации, на прилегающей к проводнику поверхности однородного диэлектрика выступят связанные заряды противоположного знака с поверхностной плотностью σ′ (внутри однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов равна нулю ρ′ = 0). Применим теперь теорему Гаусса для вектора Е, аналогично тому, как это было сделано в лекции 3 при определении связи на границе раздела проводник–вакуум вектора поля Е с поверхностной плотностью заряда σ на проводнике (3.2). Учитывая, что на границе раздела проводник–диэлектрик имеются как сторонние, так и связанные заряды (σ и σ′), получим: E_n = (σ + σ′)/ε_ο. В то же время, согласно (4.23), D_n = σ и, следовательно, E_n = (σ + σ′)/ε_οε. Из этих двух выражений для E_n получим:

σ′ = – σ. (4.24)

Из выражения (4.24) видно, что поверхностная плотность σ′ связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью σ стороннего заряда на проводнике, при этом знаки зарядов противоположны. Заметим, что полученная связь σ′ с σ, аналогична, связи ρ′ с ρ (4.7), если внутри диэлектрика плотность сторонних зарядов ρ ≠ 0.

Выражение (4.24) можно переписать так:

(σ + σ′) = σ/ε . (4.25)

Оно показывает, что суммарная поверхностная плотность заряда (σ + σ′) на границе проводника и диэлектрика оказывается в ε раз меньше поверхностной плотности стороннего заряда.

4.5.6. Поле в однородном изотропном диэлектрике

Ранее, в пункте 4.1. г), мы уже отметили, что результирующее поле E в диэлектрике можно представить виде суммы полей E = E₀ + E^′ , создаваемых сторонними и связанными зарядами. Расчет E представляет собой весьма сложную задачу, поскольку: с одной стороны, определение макрополя E^′ связанных зарядов, в каждом конкретном случае, сама по себе сложная задача, не имеющая универсального решения; с другой стороны, само распределение связанных зарядов нам неизвестно, поскольку оно зависит от итогового поля E, которого мы еще не знаем. Нам только известно, что распределение связанных зарядов зависит от природы и формы вещества, а также от конфигурации внешнего поля E₀. Однако, в некоторых случаях – при определенных формах вещества и конфигурациях внешнего поля, результирующее поле E находится достаточно просто. Одним из них – случай, когда все пространство между проводниками заполнено однородным изотропным диэлектриком. Проанализируем его.

Пусть заряженные проводники (каждый со своими сторонним зарядом и формой поверхности) с начало находятся в вакууме. В состоянии равновесия в пространстве между проводниками установится какое–то электрическое поле E₀ определенной конфигурации. При этом распределение поверхностного заряда σ на каждом проводнике (единственно возможное) будет таким, что внутри него поле E = 0.

Теперь заполним все пространство между проводниками однородным и изотропным диэлектриком. Тогда, в результате поляризации последнего, появятся только поверхностные связанные заряды σ′ – на границе с проводниками, причем на каждом проводнике в любой точке его поверхности величина σ′ однозначно связана со значением σ – поверхностной плотностью стороннего заряда на проводнике согласно (4.24)или (4.25). Таким образом, т.к. поле E внутри проводника по прежнему равно нулю (E = 0), то распределение поверхностных зарядов (сторонних σ + связанных σ′) на границе раздела проводника будет подобно прежнему распределению сторонних зарядов σ и, следовательно, конфигурация результирующего поля E в диэлектрике останется той же, что была без диэлектрика. При этом, поскольку суммарный поверхностный заряд σ+ σ′, согласно (4.25) уменьшится в ε раз, то и значение поля E, в каждой точке пространства будет в ε раз меньше, поля E₀ , в отсутствии диэлектрика, т.е. равно:

E = E₀/ε . (4.26)

Кроме того аналогично изменится и потенциал φ поля E по сравнению с φ₀ поля E₀ и, в каждой точке пространства, включая проводники, будет выполняться соотношение:

φ = φ₀/ε . (4.27)

Такое же соотношение можно записать и для разности потенциалов U и U₀ между любыми двумя отдельными проводниками после и до внесения диэлектрика:

U = U₀/ε . (4.28)

Умножив правую и левую части выражения (4.26) на ε_οε, получим:

D = D₀ , (4.29)

т.е. поле вектора D в данном случае не меняется.

Если в выражение для результирующего поля C = E₀ + E^′ заменить поле E₀ на величину E₀ = εE, согласно формуле (4.26), а поле E выразить через Р, используя их связь Р= ε_οεE получим:

E^′ = – Р/ε_ο . (4.30)

Соотношение (4.30) показывает связь поля E^′ сторонних зарядов с поляризованностью Р диэлектрика в рассматриваемом случае.

В частном случае, когда мы имеем только два проводника, например обычный конденсатор, то согласно выражению (4.28), емкость С конденсатора (C = q/U) с диэлектриком будет в ε раз больше емкости C₀ того же конденсатора без диэлектрика.