01
.pdf186.Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок потребует внимания рабочего равна 0,3; второй – 0,6; третий – 0,4 и четвертый – 0,25. Найти вероятности того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.
187.Железнодорожный состав состоит из N вагонов, каждый из которых с вероятностью P имеет дефект. Все вагоны осматривают независимо друг от друга два осмотрщика. Первый из них обнаруживает дефект (если он имеется) с вероятностью Р1 , второй – с вероятностью Р2. Если ни в одном из вагонов не обнаружено дефекта, то состав отправляется в рейс. Найти вероятность того, что в рейс будет отправлен состав, в котором имеется хотя бы один вагон, имеющий дефект.
188.Имеются две урны. В первой урне находится а белых и b черных шаров, во второй – с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар, затем из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
189.Пассажир может обратиться за получением билета в любую из трех касс с вероятностью Р1, Р2, Р3 соответственно, причем билеты уже могут быть распроданы с вероятностями Р1*, Р2*, Р3* соответственно для первой, второй, третьей кассы. Пассажир приобрел билет в одной из трех касс. Найти вероятность того, что это была первая касса.
190.Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Наудачу взяты две детали. Найти вероятность того, что: а) одна из них обработана на третьем станке; б) обе обработаны на одном станке.
ЗАДАЧА 2
Функции распределения и плотности распределения случайной величины.
191 – 196. Задана функция плотности распределения вероятностей f(x)
непрерывной случайной величины Х.
191.f (x) =
192.f (x) =
193.f (x) =
194.f (x) =
195.f (x) =
196.f (x) =
0, x < 0,
Ax2 , 0 ≤ x ≤ 2,
0, x > 2.
0, x <1,
A
x, 1≤ x ≤ 4,
0, x > 4.
0, x <1,
Ax3, 1≤ x ≤ 2,
0, x > 2.
0, x < 2,
A(x +1), 2 ≤ x ≤ 4,
0, x > 4.
0, x <1,
Ax, 1≤ x ≤ 5,
0, x > 5.
0, x < −1,
Ax4 , −1≤ x ≤ 1,
0, x >1.
Уровень I
α= 1, β = 1,7.
α= 2, β = 3.
α= 1,1, β = 1,5.
α= 3, β = 3,5.
α= 2, β = 3.
α= 0,5, β = 1.
Требуется:
1)Найти коэффициент А;
2)Найти функцию распределения F(x);
3)Схематично построить графики F(x), f(x).
Уровень II
Требуется:
1)Найти коэффициент А;
2)Найти функцию распределения F(x);
3)Схематично построить графики F(x), f(x);
4)Найти математическое ожидание и дисперсию Х;
5)Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β).
197 – 200. Задана функция распределения вероятностей F(x) непрерывной
случайной величины Х.
0, x < 0,
2
197. f (x) = Ax , 0 ≤ x ≤ 2,1, x > 2.
0, x < 0,
3
198. f (x) = Ax , 0 ≤ x ≤ 4,1, x > 4.
0, x < 0,
4
199. f (x) = Ax , 0 ≤ x ≤ 3,
1, x > 3.
0, x < 0,
200. f (x) = Ax, 0 ≤ x ≤ 5,1, x > 5.
α= 1, β = 2.
α= 2, β = 3.
α= 1, β = 2.
α= 2, β = 4.
Уровень I
Требуется:
1)Найти функцию плотности распределения вероятностей f(x);
2)Найти коэффициент А;
3)Схематично построить графики F(x), f(x).
Уровень II
Требуется:
1)Найти функцию плотности распределения вероятностей f(x);
2)Найти коэффициент А;
3)Схематично построить графики F(x), f(x);
4)Найти математическое ожидание и дисперсию Х;
5)Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β).
191 – 200. Уровень III
Задана функция плотности распределения вероятностей f(x) непрерывной
случайной величины Х.
Требуется:
1)Найти коэффициент А;
2)Найти функцию распределения F(x);
3)Схематично построить графики F(x), f(x);
4)Найти математическое ожидание и дисперсию Х;
5)Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β).
191.f (x) = Ae−4 x
|
|
0, |
|
|
x |
≥ 2, |
|
|||||||||||||||||
192. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A |
|
|
|
|
, |
|
x |
|
< 2. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
4 − x |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
|
x |
|
|
|
|
|
|
< 2, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
f (x) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
193. |
A |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≥ 2. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0, |
|
|
x |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x < 0, |
|
|||||||||||||||||||
|
f (x) = |
0, |
|
|
|
|||||||||||||||||||
194. |
|
|
|
|
−x |
, |
|
|
x ≥ 0. |
|
||||||||||||||
|
|
Axe |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
195. |
f (x) = |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
196. |
f (x) = 0, |
|
|
x < 0, |
|
|||||||||||||||||||
|
|
Ae−2x , |
|
x ≥ 0. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
0, |
|
|
x ≤ 0, |
|
||||||||||||||||||
197. |
f (x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
, x > 0. |
|
|||||||||||||||
|
|
Axe |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
α= 0, β = 0,25.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
|
0, |
x < 0, |
|
|
|
Ax2 , 0 ≤ x <1, |
|||
198. |
f (x) = |
|
|
|
|
A(x − 2)2 , 1≤ x < 2, |
|||
|
|
x ≥ 2. |
|
|
|
0, |
|
||
|
0, |
x < 0, |
|
|
|
Ax3, 0 ≤ x <1, |
|||
199. |
f (x) = |
|
|
|
|
A(x − 2)2 , 1≤ x < 2, |
|||
|
|
x ≥ 2. |
|
|
|
0, |
|
||
|
0, |
x < 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax, 0 ≤ x <1, |
|||
200. |
f (x) = |
|
2 |
, 1≤ x < 2, |
|
A(x − 2) |
|
||
|
|
x ≥ 2. |
|
|
|
0, |
|
||
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
α= 0, β = 1.
ЗАДАЧА 3
Нормальное распределение.
201 – 210. Заданы математическое ожидание a и среднее квадратическое
отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х.
201. |
a = 1, σ = 5, α = 0,5, β = 3. |
202. |
a = 9, σ = 5, α = 2, β = 8. |
203. |
a = 2, σ = 4, α = 1, β = 5. |
204. |
a = 8, σ = 3, α = 1, β = 6. |
205. |
a = 3, σ = 2, α = 2, β = 8. |
206. |
a = 6, σ = 4, α = 0, β = 5. |
207. |
a = 4, σ = 4, α = 3, β = 6. |
208. |
a = 4, σ = 6, α = 5, β = 9. |
209. |
a = 5, σ = 6, α = 4, β = 9. |
210. |
a = 2, σ = 3, α = 4, β = 8. |
Уровень I
Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β).
Уровень II
Требуется:
1)Написать функцию плотности распределения вероятностей f(x) и
схематично построить ее график;
2) Найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (α, β).
Уровень III
201. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a = 10, σ = 2. Найти ее функцию распределения вероятностей
F(x).
202.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a, σ. Вычислить вероятность Рк того, что отклонение величины
Хот ее математического ожидания не превзойдет величины кσ (ответ получить для трех значений к = 1,2,3).
203.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a = 10, σ = 2. Найти симметричный относительно а интервал, в котором с заданной вероятностью Р попадает измеряемое значение Х. Рассмотреть следующие числовые значения: 1) Р1 = 0,9974; 2) Р2 = 0,9544; Р3
=0,50.
204.Отклонение длины изготовляемой автоматом детали от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Какую точность длины детали можно гарантировать с вероятностью 0,8, если стандартная длина детали равна 50 см, а среднее квадратическое отклонение равно 0,1 см?
205.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами a, σ. Найти вероятность попадания Х в интервал (a + σ, a + 3σ).
206.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 20. Вероятность попадания Х в интервал (15, 20) равна 0,4. Найти вероятность попадания Х в интервал (20, 25).
207.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 25. Вероятность попадания Х в интервал (10, 15) равна 0,3. Найти вероятность попадания Х в интервал (35, 40).
208.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 10. Вероятность попадания Х в интервал (8,
12) равна 0,4. Найти значение среднего квадратичного отклонения σ
величины Х.
209.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 1,6 и средним квадратическим отклонением
σ= 1. Найти вероятность того, что при четырех испытаниях Х попадет хотя бы один раз в интервал (1, 2).
210.Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a = 2 и средним квадратическим отклонением σ
= 0,5. Найти вероятность того, что при первом испытании Х окажется на отрезке [3, 4], а при втором – на отрезке [1, 2].
ЗАДАЧА 4
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
211 – 220. Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью p. Опыт повторяют в неизменных условиях n раз.
Уровень I
211.n = 700, р = 0,2. Определить вероятность того, что в 700 опытах событие произойдет ровно 340 раз.
212.n = 850, р = 0,5. Определить вероятность того, что в 850 опытах событие произойдет от 300 до 500 раз.
213.n = 600, р = 0,4. Определить вероятность того, что в 600 опытах событие произойдет в меньшинстве опытов.
214.n = 300, р = 0,7. Определить вероятность того, что в 300 опытах событие произойдет в большинстве опытов.
215.n = 420, р = 0,9. Определить вероятность того, что в 420 опытах событие произойдет в половине опытов.
216.n = 900, р = 0,6. Определить вероятность того, что в 900 опытах событие произойдет от 600 до 800 раз.
217.n = 400, р = 0,3. Определить вероятность того, что в 400 опытах событие произойдет ровно 300 раз.
218.n = 500, р = 0,8. Определить вероятность того, что в 500 опытах событие произойдет в половине опытов.
219.n = 860, р = 0,5. Определить вероятность того, что в 660 опытах событие произойдет в меньшинстве опытов.
220.n = 750, р = 0,9. Определить вероятность того, что в 750 опытах событие произойдет в большинстве опытов.
Уровень II
211.n = 900; p = 0,3 . Определить вероятность того, что в 900 опытах событие А произойдет от 250 до 320 раз.
212.n = 800; p = 0,4 . Определить вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от p = 0,4 не более, чем на 0,05.
213.n = 1000; p = 0,6 . Определить вероятность того, что в 1000 опытах событие А произойдет не менее чем 580 раз.
214.n = 700; p = 0,45 . Определить вероятность того, что в 700 опытах событие А произойдет в меньшинстве опытов.
215.n = 900; p = 0,5 . Определить вероятность того, что в 900 опытах событие А произойдет в большинстве опытов.
216.n = 800; p = 0,6 . Определить вероятность того, что в 800 опытах относительная частота появления события А отклонится от вероятности p = 0,6 не более, чем на 0,05.
217.n = 1000; p = 0,4 . Найти, какое отклонение относительной частоты появления события А от p = 0,4 можно ожидать с вероятностью 0,9.
218.p = 0,6 . Определить сколько раз (n) надо провести опыт, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события А от p = 0,6 не более, чем 0,05.
219.n = 900; p = 0,8 . Найти вероятность того, что относительная частота появления события А отклонится от p = 0,8 не более, чем на 0,1.
220.n = 800; p = 0,4 . Определить вероятность того, что в 800 опытах событие А произойдет от 300 до 400 раз.
Уровень III
211.Вероятность наступления некоторого случайного события в каждом из 1000 испытаний равна 0,3. Оценить вероятность того, что отклонение числа наступлений этого события от его математического ожидания будет более 30.
212.Средний расход технической воды на предприятии составляет 1000 литров в сутки, а среднее квадратическое отклонение этой случайной величины не превышает 200 литров. Оценить вероятность того, что расход воды в любой выбранный день не превысит 2000 литров.
213.Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 100 востребуют свои акции.
214.Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день, каждый из которых с вероятностью 0,5 может снять деньги со своего счета. Оценить вероятность того, что число клиентов, желающих это сделать, будет заключено в пределах от 40 до 60.
215.В отделении банка работают 10 компьютеров. Вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших компьютеров и средним числом отказов в течение дня окажется: а) меньше двух; б) не менее двух.
216.Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль заедет на заправку, равна 0,3. Оценить границы, в которых с вероятностью не меньше 0,79 находится доля заправившихся в течение суток легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.
217.Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения любой случайной величины Х от своего математического ожидания не превосходит трех средних квадратических отклонений.
218.Оценить вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на два средних квадратических отклонения.
219.Вероятность отклонения значений случайной величины Х от своего математического ожидания на величину ξ не менее 0,9. Дисперсия величины Х равна 0,009. Найти значение ξ.
220.Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентами института равна 0,7. Оценить вероятность того, что из 2000 студентов доля студентов, сдавших в срок все экзамены, заключена в границах от 0,66 до 0,74.
ЗАДАЧА 5
Доверительный интервал.
221 – 230. Уровень I
Найти доверительный интервал с надежностью 0,95 для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины Х, если известны ее среднее квадратичное отклонение σ, выборочная средняя xв и объем выборки n.
221.σ = 5,5, xв = 15,3, n = 25;
222.σ = 3,4, xв = 21,2, n = 32;
223.σ = 7,2, xв = 41,2, n = 20;
224.σ = 2,2, xв = 12,2, n = 23;
225.σ = 3,2, xв = 18,5, n = 30;
226.σ = 5,8, xв = 16,5, n = 40;
227.σ = 1,8, xв = 10,5, n = 28;
228.σ = 4,6, xв = 20,5, n = 34;
229.σ = 6,4, xв = 28,5, n = 42;
230.σ = 8,3, xв = 33,3, n = 45.