Расчет средних величин

ТЕРМИНЫ:

1. Осредняемый (усредняемый) признак- признак, среднее значение которого определяется;

2. Определяющее соотношение – соотношение (формула) на основе которого вычисляется осредняемый признак. Данное соотношение вытекает из сущности осредняемого признака: , где

x_i – i –ое значение осредняемого признака;

w_{i –} общее значение i –го осредняемого признака;

f_{i -} частота появления i –го значения осредняемого признака;

i – номер значения осредняемого признака;

3. Частота появления i –го значения осредняемого признака – число, характеризующее: сколько раз встречается в рассматриваемой совокупности i –е значение осредняемого признака;

4. Общее значение i –го осредняемого признака – число, равное сумме всех значений i –го осредняемого признака. Данное значение можно определить как произведение i –го значения осредняемого признака и частоты его появления: ;

5. Виды средних величин: 5.1. Средняя арифметическая простая - 5.2. Средняя арифметическая взвешенная - 5.3. Средняя гармоническая взвешенная - 5.4. Средняя гармоническая простая - 5.5. Агрегатная средняя -

   6. Средняя геометрическая простая -

   7. Средняя геометрическая взвешенная -

6. Нижняя граница интервал – минимальное значение границы интервала;

7. Верхняя граница интервала – максимальное значение границы интервала;

8. Открытый интервал – интервал, в котором не указана одна из границ;

9. Закрытый интервал – интервал, в котором указана как верхняя, так и нижняя границы интервала

10. Величина закрытого интервала равна разности верхней и нижней границ интервала;

11. Величина открытого интервала принимается равной величине соседнего с ним интервала;

Алгоритм определения средней величины:

1. Устанавливается осредняемый признак;

2. Записывается определяющее соотношение;

3. Если возможно, правильность записи определяющего соотношения проверяем на основе единиц измерения. Единицы измерения в левой и правой частях соотношения должны быть одинаковы;

4. Вводим обозначения: значения осредняемого признака - x_i; значения числителя - w_i; значения знаменателя - f_i;

5. Устанавливается: какие значения показателей в определяющем соотношении по каждой выделенной группе известны, а какие – нет;

6. Если значения осредняемого признака выражены в виде интервалов, определяются середины интервалов;

7. Определяются по каждой группе на основе определяющего соотношения или косвенным путем значения недостающих показателей;

8. Рассчитываются по совокупности в целом (по всем выделенным группам) суммарные значения числителя и знаменателя определяющего соотношения;

9. Вычисляется среднее значение показателя по формуле ;

10. Путем логического контроля проверяется правильность расчета среднего значения показателя на основе неравенства ;

11. Указываются единицы измерения средней величины;

12. По результату расчета делают вывод, обращая внимание на то, в каких группах значение осредняемого признака выше (ниже) средней; в каких из групп значение осредняемого признака отличается от средней величины более значительно.

Пример 1

По данным табл. 3.1 вычислить среднюю себестоимость единицы продукции.

Табл. 3.1

Некоторые данные о деятельности предприятий

(продукция однородна)

№ предприятия	Себестоимость единицы продукции, руб./шт.	Объем реализации, тыс. шт.
1 2 3	50 60 58	500 200 300
Итого:		1000

Алгоритм решения

1. На основе условия задачи устанавливаем показатель, который является осредняемым признаком. По условию задачи необходимо вычислить среднюю себестоимость, следовательно, осредняемым признаком является себестоимость единицы продукции.

2. Записываем определяющее соотношение. Себестоимость единицы реализованной продукции – это затраты на единицу реализованной продукции, следовательно, определяющее соотношение будет следующее: Себестоимость Затраты на реализованную продукцию единицы реализованной = Количество реализованной продукции продукции

3. Проверяем правильность записи соотношения на основе единиц измерения: руб./шт. = [тыс. руб.] / [тыс. шт.]

4. Вводим обозначения: Себестоимость единицы реализованной продукции - x_i; Затраты на реализованную продукцию - w_i; Количество реализованной продукции - f_i; i - № предприятия

5. Устанавливается: какие значения показателей в определяющем соотношении по каждой выделенной группе (каждому предприятию) известны, а какие – нет. В табл. 3.1. по каждому предприятию приводятся значения себестоимости единицы реализованной продукции (x_i) и объем реализованной продукции(f_i). Затраты на реализованную продукцию (w_i) по условию задачи не известны и их надо найти.

6. Затраты на реализованную продукцию (w_i) находим из определяющего соотношения: ;

7. На основе данных по отдельным предприятиям определяем по трем предприятиям в целом: Затраты на реализованную продукцию Количество реализованной продукции

8. Вычисляется среднее значение показателя по формуле: ;

9. Проверяется правильность расчета среднего значения показателя на основе неравенства: ; Следовательно, в расчетах не было допущено грубой ошибки;

10. Делаем вывод. Средняя себестоимость единицы реализованной продукции для трех предприятий в целом составила 54,4 руб./шт., причем на первом предприятии себестоимость ниже средней, а на втором и третьем – выше средней. Следовательно, увеличение доли в реализации продукции первого предприятия приведет к снижению средней себестоимости, а второго и третьего – к ее росту. Более значительно среднюю себестоимость превосходит себестоимость на втором предприятии, поэтому при равном увеличении доли объема реализации более существенное влияние на рост средней себестоимости окажет второе предприятие. На данном предприятии себестоимость превосходит среднюю на 60-54,4=5,4 руб./шт. или на

Пример 2.

По данным табл. 3.2 определить среднюю выработку работника.

Табл. 3.2

Некоторые данные о деятельности предприятий

(продукция однородна)

№ предприятия	Выработка работника на предприятии, шт./чел.	Объем производства, тыс. шт.
1 2 3	10 12 13	220 240 390
Итого:		850

Алгоритм решения

1. На основе условия задачи устанавливаем показатель, который является осредняемым признаком. По условию задачи необходимо вычислить среднюю выработку работника, следовательно, осредняемым признаком является выработка работника.

2. Записываем определяющее соотношение. Выработка работника – это количество продукции, произведенное одним работником, следовательно, определяющее соотношение будет следующим: Выработка = Объем производства работника Количество работников

3. Проверяем правильность записи соотношения на основе единиц измерения: шт./чел. = [тыс. шт.] / [тыс. чел.]

4. Вводим обозначения: Выработка работника - x_i; Объем производства - w_i; Количество работников - f_i; i - № предприятия

5. Устанавливается: какие значения показателей в определяющем соотношении по каждой выделенной группе (каждому предприятию) известны, а какие – нет. В табл. 3.1. по каждому предприятию приводятся значения выработки работника (x_i) и объем производства продукции(w_i). Количество работников (f_i) по условию задачи не известно и данный показатель надо найти.

6. Количество работников (f_i) находим из определяющего соотношения: ;

7. На основе данных по отдельным предприятиям определяем по трем предприятиям в целом: Объем производства продукции Численность работников

8. Вычисляется среднее значение показателя по формуле: ;

9. Проверяется правильность расчета среднего значения показателя на основе неравенства: ; Следовательно, в расчетах не было допущено грубой ошибки;

10. Делаем вывод. Средняя выработка работника на трех предприятий в целом составила 11,81 шт./чел., причем на первом предприятии выработка ниже средней, а на втором и третьем – выше средней. Следовательно, снижение доли работников на первом предприятия приведет к увеличению средней выработки, а на втором и третьем – к ее снижению. Более значительно среднюю выработку превосходит выработка на третьем предприятии.

На втором предприятии выработка превосходит среднюю на 12-11,81=0,19 шт./чел. или на а на третьем – на

13-11,81=1,19 шт./чел. или на Более значительно среднюю выработку превосходит выработка на третьем предприятии, поэтому при равном снижении доли работников на втором и третьем предприятиях на снижение средней выработки окажет третье предприятие.

Расчет средней в вариационных рядах

Алгоритм решения для дискретных вариационных рядов

1. Убедиться, что данный ряд является вариационным: приведены варианты, частоты и (или) частости

2. Находят произведение вариант на соответствующие частоты (частости):

x_i*f_i – если известны частоты.

x_i*df_i – если известны частоcти

3. Находится сумма полученных произведений:

Σx_i*f_i – если расчеты выполняются на основе частот

Σx_i*df_i – если расчеты выполняются на основе частоcтей

4. Вычисляется искомая средняя величина по формуле:

Пример 3.

Определить по данным таблицы 3.3. среднее количество детей

Табл. 3.3.

Распределение семей по количеству детей

Группы семей по количеству детей (xi)	Количество семей (fi)	Общее количество детей (xi*fi)
А	1	2
0	20	0*20=0
1	60	1*60=60
2	90	2*90=180
3	30	3*30=90
4	15	4*15=60
5	5	5*5=25
Итого:	220	415

1. Данный ряд является вариационным, так как вариантами является количество детей в семье, а частотой – количество семей.

2. Находим произведение вариант на соответствующие частоты (x_i*f_i) – см. гр. 2 табл. 3.4

3. Подводим итог по графе 2

4. Находим среднее количество детей в семье:

5. Полученное значение средней проверяется логически:

Алгоритм решения для интервальных вариационных рядов

1. Убедиться, что данный ряд является вариационным: приведены варианты, частоты и (или) частости

2. Если имеются открытые интервалы, определяются границы этих интервалов: для первого интервала нижняя граница будет равна: ,

где i - номер группы;

- верхняя граница первого интервала;

- нижняя граница первого интервала;

- величина второго интервала

для последнего интервала верхняя граница будет равна:

,

где - верхняя граница последнего интервала;

- нижняя граница последнего интервала;

- величина предпоследнего интервала

3. вычисляются середины каждого интервала ()

4. Находят произведение середин интервалов на соответствующие частоты (частости):

x_i*f_i – если известны частоты.

x_i*df_i – если известны частоcти

4. Находится сумма полученных произведений:

Σx_i*f_i – если расчеты выполняются на основе частот

Σx_i*df_i – если расчеты выполняются на основе частоcтей

5. Вычисляется искомая средняя величина по формуле:

6. Полученное значение средней проверяется логически:

Пример 4

По данным таблицы 3.4. определить среднее значение товарооборота

Табл. 3.4.

Распределение продовольственных магазинов по товарообороту

Группы магазинов по товарообороту, млн. руб.	Количество магазинов (fi)	Величина интервала, млн. руб.	Середины интервалов, млн. руб. (xi)	Общий товарооборот, млн. руб. (xi*fi)
А	1	2	3	4
До 100	10	Равна величине следующего интервала (150-100) = 50	(50+100)/2=75	75*10=750
100-150	20	150-100=50	(100+150)/2=125	125*20=2500
150-200	80	200-150=50	(150+200)/2=175	175*80=14000
200-250	130	250-200=50	(200+250)/2=225	225*130=29250
250-300	90	300-250=50	(250+300)=275	275*90=24750
300 и более	40	Равна величине предшествующего интервала (300-250) = 50	(300+350)/2=325	325*40=13000
Итого:	370	300	х	84250

1. Варианты – товарооборот магазина, следовательно, частотой является количество магазинов. Данные граф «А» и 1 – вариационный ряд.

2. Определяем границы первого и последнего интервалов: нижняя граница первого интервала – 100-50=50; верхняя граница второго интервала – 300+50=350

3. В третьей графе вычисляем середины интервалов, как полусумму верхней и нижней границ каждого интервала

4. В четвертой графе находим произведение середины интервала на частоту (x_i*f_i)

5. Находим сумма полученных произведений:

Σx_i*f_i =84250

6. Вычисляем средний товарооборот:

7. Логически проверяем результат расчета:

Алгоритм расчет средней в интервальных рядах с равными интервалами способом моментов

1. Убедиться, что данный ряд является вариационным: приведены варианты, частоты и (или) частости

2. Если имеются открытые интервалы, определяются границы этих интервалов: для первого интервала нижняя граница будет равна: ,

где i - номер группы;

- верхняя граница первого интервала;

- нижняя граница первого интервала;

- величина второго интервала

для последнего интервала верхняя граница будет равна:

,

где - верхняя граница последнего интервала;

- нижняя граница последнего интервала;

- величина предпоследнего интервала

3. вычисляются середины каждого интервала ()

4. Выбирают точку отсчета (С): одно из значений середин интервала, расположенного, как правило, в центре ряда и (или) обладающего максимальной частотой (частостью)

5. Записывают значения преобразованных середин интервалов (x_i^’): точка отсчета – 0, каждое последующее значение отличается от предыдущего на 1

6. Находят произведение преобразованных значений середин интервалов на соответствующие частоты (частости):

x_i^’*f_i – если известны частоты.

x_i^’*df_i – если известны частоcти

7. Находится сумма полученных произведений:

Σx_i^’*f_i – если расчеты выполняются на основе частот

Σx_i^’*df_i – если расчеты выполняются на основе частоcтей

8. Вычисляется момент первого порядка – средняя из преобразованных значений середин интервалов по формуле:

9. На основе момента первого порядка вычисляют искомую среднюю величину

10. Полученное значение средней проверяется логически:

Пример 5.

По данным таблицы 3.5. определить среднее значение товарооборота способом моментов.

Табл. 3.5.

Распределение продовольственных магазинов по товарообороту

Группы магазинов по товарообороту, млн. руб.	Количество магазинов (fi)	Величина интервала, млн. руб.	Середины интервалов, млн. руб. (xi)	Преобразован-ные значения середин интервалов (xi’)	xi’*fi
А	1	2	3	4	5
До 100	10	равна величине следующего интервала (150-100) = =50	(50+100)/2=75	-3	-3*10= -30
100-150	20	150-100=50	(100+150)/2=125	-2	-2*20= -40
150-200	80	200-150=50	(150+200)/2=175	-1	-1*80= -80
200-250	130	250-200=50	(200+250)/2=225	0	0*130= 0
250-300	90	300-250=50	(250+300)=275	+1	+1*90= +90
300 и более	40	равна величине предшествующего интервала (300-250) = 50	(300+350)/2=325	+2	+2*40= 80
Итого:	370	300	х	х	+20

Так как исходные данные по сравнению с предыдущим примером не изменились, то пункты 1-3 не меняются.

4.Выбираем точку отсчета «С». В середине ряда находятся значения середин интервалов, равные 175 и 225. Наибольшая частота у середины интервала, равной 225, следовательно, С=225

5. Преобразованные значения середин интервалов запишем в 4-ой графе

6. В графе 5 находим произведение преобразованных значений середин интервалов на частоту (x_i^’*f_i) и сумму полученных значений

7. Вычисляем момент первого порядка:

8. На основе момента первого порядка определяем среднюю величину товарооборота:

9. Логический контроль:

Расчет моды

ТЕРМИНЫ:

1. Мода (Мо) – наиболее распространенное значение признака

2. Модальный интервал (ΔМо) – интервал, в котором находится мода

3. Нижняя граница модального интервала (ХМо) – минимальная граница модального интервала

4. fМо – частота модального интервала – для ряда с равными интервалами – это максимальное значение частоты. В расчетах можно использовать частость модального интервала (dfMo). dfMo – максимальное значение частости

5. fM_о+1 , dfM_о+1 - соответственно частота и частость интервала, следующего за модальным

6. fM_о-1 , dfM_о-1 - соответственно частота и частость интервала, предшествующего модальному

7. ρМо – плотность распределения модального интервала

8. ρМо+1 - плотность распределения интервала, следующего за модальным

9. ρМо-1 - плотность распределения интервала, предшествующего модальному

10. ρi – плотность распределения = fi / Δi

Алгоритм решения:

1. Устанавливается вид вариационного ряда: дискретный, интервальный с равными интервалами,, интервальный с неравными интервалами

2. Для вариационного ряда:

Дискретного	Интервального с равными интервалами	Интервального с неравными интервалами
1. Находят максимальное значение частоты (частости)	1. Находят максимальное значение частоты (частости)	1. Находят максимальное значение плотности
2. Вариант, соответствующий максимальному значению частоты (частости) и является модой	2. Интервал, соответствующий максимальному значению частоты (частости), является модальным интервалом	2. Интервал, соответствующий максимальному значению плотности, является модальным интервалом
	3. Конкретное значение моды вычисляется по формуле 2.1	3. Конкретное значение моды вычисляется по формуле 2.2

(2.1)

(2.2)