VI.Микрочастица в потенциальной яме.

Если поместить микрочастицу в бесконечно глубокую потенциальную яму (ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия рассматриваемой частицы меньше, чем вне этого пространства), то волновая функция , описывающая стационарные состояния частицы, будет иметь вид:

(13)

где ℓ – ширина ямы (ящика);

n– номер энергетического уровня;

x– место положения частицы.

Выражение для собственных значений энергии частицы в глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике имеет вид:

, (14)

где а = L– ширина ямы,

n= 1, 2, 3…∞ – уровни.

Схема уровней энергии микрочастицы в таком потенциальном ящике и вид функции ^*показаны на рисунке 3. Минимальное значение энергии микрочастицы в потенциальной яме не равно нулю, то есть она находится в постоянном движении.

Обращает на себя внимание и зависимость плотности вероятности обнаружения микрочастицы на различных расстояниях от стенок ямы от числа n. В дальнейшемn, характеризующее энергетическое (в целом пространственное) положение микрочастицы в потенциальной яме получило названиеглавного квантового числа.

Расстояние между соседними энергетическими уровнями для частиц различной массы mв ящике шириной а составляет:

(15)

Если а или mустремить в бесконечность (а,m), то расстояние между энергетическими уровнями становится бесконечно малым, то есть приходим к свободной микрочастице. Для лёгких частиц, при малых областях локализации, увеличивается минимальное значение энергии, и резко растёт расстояние между соседними уровнями (этим объясняется отсутствие электронов внутри или в непосредственной близости от атомного ядра).

VII.Уравнение Шредингера для водородоподобного атома.Квантовые числа.

Уравнение Шредингера прекрасно описывает поведение электронов в атоме (для простоты обычно рассматривают водородоподобный атом, в котором анализируют взаимодействие ядра с одним конкретным электроном). Его решение в сферической системе координат показывает, что в общем случае плотность вероятности обнаружить электрон около ядра зависит от трёх квантовых чисел n, ℓ иm.

Первое (n), как и следовало ожидать для частицы, находящейся в потенциальной яме, характеризует энергию электрона в атоме:

(16)

и равно 1, 2, 3,…, при этом данное выражение полностью соответствует теории Бора. Второе ℓ определяет величину орбитального момента импульса электрона в атоме (рис. 4): и принимает значения ℓ = 0, 1, 2, 3,…, n– 1. Третьеmзадаёт величину проекции этого момента на заданное направлениев пространстве:

L_он=m·ħ,

где m= –ℓ, +ℓ,…, –1, 0, 1,…, ℓ – 1, ℓ (всего 2ℓ + 1 значений), то есть определяет направление вектора ℓ₀в пространстве.

Квантовое число ℓ получило название орбитального, аm–магнитного.

С квантово-механической точки зрения радиус боровской орбиты имеет смысл расстояния от ядра, на котором плотность вероятности найти электрон имеет наибольшее значение. В зависимости от набора квантовых чисел электронное облако вокруг ядра может иметь сферическую симметрию (ℓ = 0) или приобрести вид своеобразных гантелей.

Затем, согласно теории Дирака, учитывающей релятивистский эффект, микрочастица обладает собственным моментом импульса ℓ_S(спином). При этом выполняется соотношение:

,

где S– спиновое квантовое число (для электронаS= 1/2).

Спин электрона, как и орбитальный момент импульса, не может принимать любое направление в пространстве:

L_sн = ħ·S_m,

где S_m =1/2.