Требования к достоверности контрольной и управляющей информации согласно гост 26.205-83

Вероятностные характеристики	Вероятность события Р, не более
	Категории систем
	1	2	3
Вероятность трансформации команды ТУ	10	10	10
Вероятность трансформации сообщений ТС и ТИ	10	10	10
Вероятность трансформации знака буквенно-цифровой информации или отсчёта кодового ТИ	10	10	10
Вероятность отказа от исполнения посланной команды (с повторением передачи до пяти раз)	10	10	10
Вероятность потери контрольной информации при спорадической передаче (с повторениемпередачи до пяти раз)	10	10	10
Вероятность потери команды	10	10	10
Вероятность образования ложной команды или контрольного сообщения	10	10	10

По величине показателя достоверности, которым служит вероятность искажения различных типов сообщений, системы телемеханики разделяются на три категории, причём наибольшие требования предъявляются к телемеханическим системам первой категории, наименьшие – к системам третьей категории.

Характеристики табл. 7.1 используются при проектировании телемеханических систем.

7.5. Помехоустойчивость передачи кодовых комбинаций при независимых ошибках

Расчет помехоустойчивости передачи различных кодовых комбинаций является большой и самостоятельной темой. Рассмотрим лишь расчет трансформаций, т.е. перехода одной кодовой комбинации в другую [6].

Расчет вероятности трансформаций для несимметричного канала с независимыми ошибками. В этом случае при расчетах можно придерживаться положений, вытекающих из теорем теории вероятностей.

Теорема первая. Если в двоичном канале заданы вероятности двух переходов, то вероятности двух других переходов могут быть найдены на основе теоремы о полной группе событий;

Теорема вторая. Вероятность того, что одна кодовая комбинация перейдет в другую, равна произведению вероятностей переходов ошибок каждого символа.

Например, передана комбинация 11011. Вероятность того, что под воздействием помех эта комбинация исказится и вместо нее будет принята, на­пример, комбинация 10101, рассчитывают таким образом. В старшем (пятом) и в первом (младшем) разрядах единицы приняты правильно: (11) и (11). В четвертом и во втором разрядах единицы подавлены помехами и трансформировались в нули, т.е. 10 и 10. В третьем разряде 0 перешёл в 1, т.е. 01. В результате получаем вероятность перехода комбинации 11011 в комбинацию 10101:

Р (1101110101) = P₁₁P₁₀P₀₁P₁₀P₁₁.

Если необходимо находить вероятности возникновения обнаруженных и необнаруженных ошибок или нескольких ошибок при передаче сообщения, то пользуются указанными теоремами.

Пример 7.1

Найти вероятность возникновения обнаруженных и необнаруженных ошибок в коде с постоянным весом С¹з для следующих численных значений: р₁₀= 10^-3, P₀₁=10^-4.

Код С¹з состоит из трех комбинаций: 100, 010 и 001. Это так называемые разрешенные комбинации, поскольку в каждой из них имеется по одной единице. Так как код может обнаруживать только одну ошибку, то комбинации, отличающиеся от разрешённых числом единиц, легко обнаруживаются, т.е. составляют обнаруженные ошибки.

Если же, например, вместо переданной комбинации 100 будет принята комбинация 001, то это означает, что возникла необнаруженная ошибка, когда в принятой комбинации со­держится одна единица, но в другом разряде. Полная группа событий при передаче кодовой комбинации 100 представлена на рис. 7.7.

Рис. 7.7.Полная группа событий при передаче кодовой комбинации 100

Определим вероятности различных событий.

Вероятность события Б:

P(Б)=P(100→010)=P(1→0)P(0→1)P(0→0),

а так как р₀₀=1-P₀₁, то P(Б)=р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Вероятность события В:

P(В)=P(100→001)=р₁₀P₀₀P₀₁=р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Таким образом, вероятность возникновения необнаруженной ошибки:

P_н.ош = P(Б)+P(В)=2р₁₀P₀₁(1-P₀₁).

Вероятность возникновения обнаруженной ошибки равна вероятности перехода в одну из запрещенных кодовых комбинаций:

P_о.ош=P(Г)+P(Д)+P(Е)+P(Ж)+P(З).

При этом вероятность возникновения каждого из событий определится следующими соотношениями:

P(Г)=р₁₀P₀₁P₀₁=р₁₀P²₀₁;

P(Д)=р₁₁P₀₀P₀₁=р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀);

P(Е)=р₁₁P₀₁P₀₀=р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀);

P(Ж)=р₁₀P₀₀P₀₀=р₁₀(1-P₀₁)²;

P(З)=р₁₁P₀₁P₀₁=р²₀₁(1-P₁₀).

В итоге получим

P_о.ош=р₁₀P²₀₁+2р₀₁(1-P₀₁)(1-P₁₀)+р₁₀(1-P₀₁)²+р²₀₁(1-P₁₀).

Подставляя значения вероятностей Р₁₀ и Р₀₁, найдем

P_о.ош=1,2*10^-3  и  P_н.ош=10^-7.

Из примера вытекает, что вероятность возникновения необнаруженной ошибки значительно меньше вероятности возникновения обнаруженной ошибки.

Ошибка всегда обнаруживается, если кодовая комбинация содержит единиц больше или меньше, чем одна, хотя в некоторых случаях обнаруженные ошибки образуются при искажении одного (переход 100 в 101), двух (переход 100 в 111) или трех символов (переход 100 в 01l). В то же время для возникновения необнаруженной ошибки всегда должны исказиться два символа.

Если аналогичные расчеты проделать для другой комбинации кода С¹з, то получится тот же результат.

Пример 7.2

Найти вероятности возникновения двух или трех ошибок при передаче кодовой комбинации 1111. Дано: Р₁₀=10^-3; Р₀₁=10^-4.

При двух ошибках возможно С = 6 типов искажений:

А – 1001; Б – 1100; В – 0110; Г – 0011; Д – 1010; Е – 0101.

Вероятность искажения типа А:

P(А)=р₁₁P₁₀P₁₀р₁₁=р²₁₀(1-P₁₀)².

Аналогично можно рассчитать вероятности и всех остальных переходов. В результате получим

P(2)=6р²₁₀(1-P₁₀)²=6*10^-6(1-10^-3)²≈6*10^-6.

При трех ошибках возможно C=4 типа искажений:

А – 1000; Б – 0100; В – 0010; Г – 0001.

Вероятность искажения типа А: 

P(А) = P₁₁Р₁₀Р₁₀Р₁₀ = P³₁₀.(1-P₁₀).

 Аналогично находим вероятность события «З»

P(З)=4р³₁₀(1-P₁₀)=4*10^-9(1-10^-3)≈4*10^-9.

Таким образом, вероятность возникновения трёх ошибок существенно меньше вероятности возникновения двух ошибок.

Расчет вероятности трансформаций для симметричного канала с независимыми ошибками. Так как симметричный канал, в котором P₁₀=P₀₁, является частным случаем несимметричного канала, принципиально расчет трансформаций для симметричного канала можно производить так же, как и для несимметричного.

Однако для симметричного канала имеются более простые методы расчета трансформации. Вводят понятие вектора ошибки и определяют вероятность его возникновения.

Например, переданная комбинация 10101 была искажена и принята как 01110. Складывая обе комбинации по модулю 2, получаем вектор ошибки 11011. Отсутствию ошибок соответствует вектор ошибки, состоящий из одних нулей. Вероятность возникновения такого вектора равна вероятности правильного приема

P_прав=P(000...0)=(1-P₁)ⁿ.

Здесь Р₁ – вероятность ошибочного приема одного символа, так как P₁₀=P₀₁; n – разрядность кода.

Вероятность того, что в i-том разряде возникла ошибка, а все остальные символы приняты правильно – P₁(1-P₁)^n-1.

Такая ошибка может возникнуть в любом из п символов. В итоге возникнет п различных векторов с одной единицей, т.е. можно записать, что число таких векторов будет равно C¹_n. Вероятность возникновения любого вектора с одной единицей равна сумме вероятностей возникновения всех этих векторов:

P(1)=C¹_nP₁(1-P₁)^n-1.

При nP₁ ≤ 1, разлагая в ряд выражение для Р(1) и отбрасывая члены с Р²₁, получаем P(1)nP1. По аналогии можно найти вероятность возникновения двух ошибок:

P(2)=C²_nP²₁(1-P₁)^n-2,

и в общем случае вероятность возникновения k ошибок (k<n).

P(k) = C^k_nP^k₁(l-P_l)^n-k. (7.12)

Выражение (7.12) носит название формулы Бернулли.

Пример 7.3

Определить вероятность возникновения одной, двух, трех ошибок в простом двоичном коде с n=5 при передаче по симметричному каналу с Р= 10^-3:

P(1)=C¹₅P₁(1-P₁)⁴=5*10^-3(1-10^-3)⁴≈5*10^-3;

P(2)=C²₅P²₁(1-P₁)³=10*10^-6(1-10^-3)²≈10*10^-6;

P(3)=C³₅P³₁(1-P₁)²=10*10^-9(1-10^-3)²≈10*10^-9.

Если произвести такой расчет для n = 6, то окажется, что

Р(1)610^-3 ;

Р(2)1510^-6 и P(3)=2010^-9.

Пример 7.4

Определить вероятность возникновения обнаруженных и необнаруженных ошибок в коде с проверкой на четность длины п = 5. Канал симметричный с P₁=210^-3.

В этом коде обнаруживаются все комбинации с нечетным числом ошибок и не обнаруживаются комбинации с четным числом. Поэтому вероятность обнаружения ошибок

P_о.ош=P(1)+P(3)+P(5)=C¹₅P₁(1-P₁)⁴+C³₅P³₁(1-P₁)²+C⁵₅P⁵₁(1-P₁)⁰.

Наибольшая вероятность обнаружения ошибки создается первым членом, т.е.

P_о.ош=P(1)≈5P₁=5*2*10^-3=10^-2.

Вероятность возникновения необнаруженных ошибок Р_н.ош=Р(2)+Р(4). Так как вероятность возникновения двух ошибок больше, чем вероятность возникновения четырех,

P_н.ош=P (2) = C²₅P²₁(1-P₁)^5-3 ≈ 10*4*10^-6 ≈ 4*10^-5.

Если произвести такой же расчет для кода с проверкой на четность длины n=7, то окажется, что P_о.ош≈ 4*10^-2, а P_н.ош≈1,4*10^-4.