bilutapa-kurstfkp

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Национальный исследовательский университет Новосибирский государственный университет Механико-математический факультет

УТВЕРЖДАЮ

2012 г.

Курс лекций

Курс теории функций комплексного переменного

Направление подготовки

Механика и математическое моделирование

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная

Новосибирск 2012

Аннотация

Настоящая разработка представляет собой материал курса лекций дисциплины "Теория функций комплексного переменного читаемых студентам 2–3 курсов механико-математического факультета Новосибирского государственного университета по специальности "механика и математическое моделирование" и призвана способствовать решению задачи развития образовательного процесса

врамках Мероприятий по реализации Программы развития НИУ НГУ (ПНР-1, III, п.Б.3.9).

Материал разработки находится в полном соотвтствии с содержанием лекций, читаемых по инновационной программе третьего поколения ФГОС ВПО и отличается от имеющихся учебных пособий по теории функций комплексного переменного как по усовершенствованной методике изложения, так и по содержанию, ибо

вних не всегда имеется необходимый материал или имеется не в том виде, в котором он читается. Например, материал разделов о свойствах интеграла типа Коши в замкнутых областях, краевых задачах теории функций и сингулярных интегральных уравнениях можно найти в основном в монографиях.

Изложение материала учитывает уровень подготовки студентов в начале четвертого семестра, когда начинается чтение курса Теории функций крмплексного переменного.

Методы теории функций комплексного переменного широко применяются во многих областях, например, в теории дифференциальных упавнений, теории чисел, теории врочтностей, а также при моделировании и анализе результатов фундаментальных физических экспериментов в области аэродинимики, гидродинамики, электродинамики и др.

3

4

Глава 4. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5.1. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.2. Теорема Римана о конформном отображении

односвязных областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3. Соответствие границ при конформном отображении . . . . . . 143

Глава 5. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . 148 6.1. Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.2. Задача Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.3. Задача Неймана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.4. Задачи сопряжения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.5. Задача Римана – Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 6.6. Сингулярные интегральные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящий курс лекций внесены изменения в ряд доказательств, некоторые доказательства иллюстрируются рисунками.

6

ВВ Е Д Е Н И Е

0.1.Комплексные числа

Напомним некоторые известные понятия и факты из теории комплексных чисел.

Комплексное число α определим как упорядоченную пару (a, b) действительных чисел a, b. Первая компонента a этой пары называется д е й с т в и т е л ь н о й ч а с т ь ю, а вторая компонента b м н и м о й

Два комплексных числа равны, если соответственно равны их действительные и мнимые части. Введя надлежащим образом операции сложения и умножения, получим обычное представление комплексного числа:

α = (a, b) = a + ib.

Обозначим через E2 евклидову плоскость с декартовыми ортогональными координатами x, y. Так как комплексное число z = x + iy является парой (x, y) действительных чисел, а множество всевозможных та-

л о т о й (в нуле) к о м п л е к с н о й п л о с к о с т ь ю.

Так как оси x, y описываются уравнениями =mz = 0, <ez = 0 соответ-

ственно, то их называют д е й с т в и т е л ь н о й и м н и м о й о с я м и. Число x−iy называется к о м п л е к с н о с о п р я ж е н н ы м с числом

z = x+iy и обозначается через z¯.

Число √zz,¯ z C, называется м о д у л е м, а угол ϕ между радиусвектором точки z C и положительным направлением оси x а р г у - м е н т о м комплексного числа z, и для них приняты обозначения: √zz¯= = | z |, ϕ = arg z.

Отметим, что р а з н ы е комплексные числа можно с р а в н и в а т ь т о л ь к о п о м о д у л ю.

7

Положение точки z на комплексной плоскости однозначно определяется как декартовыми координатами x, y, так и полярными r = | z |, ϕ = arg z. Обратно, по заданной точке z ее декартовы координаты и мо-

дуль определяются единственным образом, а аргумент с точностью до слагаемого 2kπ, k Z. Так, например, аргументом комплексного числа z служит как положительный угол ϕ (см. Рис. 1), так и отрицательный угол ψ = ϕ−2π.

6

Рис. 1

Значение arg z, удовлетворяющее условию −π < arg z ≤π, называется

г л а в н ы м.

Заметим, что аналогично тому, как комплексное число z можно изображать на комплексной плоскости радиус-вектором точки z, комплексное число вида z1 −z2 часто удобно изображать вектором с началом в точке z2 и концом в точке z1 , причем | z1−z2 | геометрически представ-

ляет собой расстояние между этими точками.

При этом легко увидеть, что верхняя граница для модуля суммы и нижняя для модуля разности достигаются, когда радиус-векторы точек z1 и z2 одинаково направлены, а нижняя граница для модуля суммы и верх-

няя для модуля разности, когда они противоположно направлены.

8

9

с к о й п р о е к ц и и.

Отметим без доказательства два свойства стереографической проекции:

1)она сопоставляет окружности (и прямой) на комплексной плоскости C окружность на сфере S и обратно;

2)она сохраняет углы.

Введем теперь в рассмотрение "и д е а л ь н о е" комплексное число

щей числу z = ∞. Комплексная плоскость вместе с бесконечно удален-

ной точкой называется р а с ш и р е н н о й к о м п л е к с н о й п л о с к о с -

т ь ю и обозначается через C .

Дополняя соответствие, установленное стереографической проекцией, сопоставлением бесконечно удаленной точки полюсу P сферы S,

получим взаимно однозначное соответствие между расширенной ком-

плексной плоскостью C и сферой S.

Эта интерпретация комплексных чисел была предложена Риманом, поэтому S называют с ф е р о й Р и м а н а.

0.2.Множества на расширенной комплексной плоскости

Будем называть:

– о к р е с т н о с т ь ю (δ - о к р е с т н о с т ь ю) точки z0 C множество точек z C, удовлетворяющих неравенству | z−z0 |< δ, δ > 0, и обозначать

ее через C(δ, z0 );

10

– п р о к о л о т о й о к р е с т н о с т ь ю точки z0 множество C (δ, z0 ) =

=C(δ, z0 ) \ {z0 };

–о к р е с т н о с т ь ю б е с к о н е ч н о у д а л е н н о й т о ч к и множество

точек z C , удовлетворяющих неравенству | z |> δ;

– точку z и з о л и р о в а н н о й точкой множества E C , если существует такое число δ > 0, что пересечение E ∩ C(δ, z) состоит из единственной точки z : E ∩ C(δ, z) = {z};

– точку z п р е д е л ь н о й точкой множества E, если в любой окрест-

окрестности имеются как точки множества E, так и точки, не принадле-

жащие этому множеству. Заметим, что если граничная точка множества E не принадлежит E, то она является его предельной точкой;

– совокупность всех граничных точек множества E г р а н и ц е й этого множества и обозначать через ∂E;

– множество E о г р а н и ч е н н ы м, если все его точки лежат в некотором круге | z |< R, 0 < R < ∞;

– множество E з а м к н у т ы м, если оно содержит все свои предель-

ные точки. В частности, оно может не иметь предельных точек;

– з а м ы к а н и е м множества E множество E = E ∂E;

– д и а м е т р о м множества E число d (E) = sup | z −ζ |;

ляется его внутренней точкой;

–множество с в я з н ы м, если его нельзя представить в виде объединения двух непустых непересекающихся множеств, каждое из которых не содержит предельных точек другого;

–о б л а с т ь ю открытое связное множество;

– з а м к н у т о й о б л а с т ь ю множество, состоящее из области и ее границы;

11