bilutapa-kurstfkp

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Жордана. В силу равномерной непрерывности функции f (z)

любого ε > 0

найдется такое δ = δ(ε) > 0, что | f (z0) −f (z00) | < ε для

любых z0, z00

любых z0, z00

из D, как только | z0−z00 |< 2δ. Пусть еще

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Напомним, что упомянутый предел не зависит от выбора точек zk и ζk . Заметим, что если кривая задана уравнением z = z(t), α ≤ t ≤ β,

то под	f (z) dz	можно также понимать интеграл

β	R	β	β
Zα	f [ z(t) ] z0(t) dt = Zα		<e{f [ z(t) ] z0(t)} dt + iZα	=m{f [ z(t) ] z0(t)} dt.

Из (2.1) очевидно, что наряду с (2.2) существует и предел суммы

P	R
n	− f (z) dz, где знак
f (ζk )(zk −zk+1 ), который обозначают символом	− f (z) dz, где знак
k = 0

¾−¿ при означает, что интегрирование по происходит в отрицатель-

ном направлении. Ясно также, что		Z
Z			(2.3)
	f (z) dz = −	f (z) dz.
	−

Из определения интеграла (2.2) непосредственно вытекают следую-

щие его свойства:
1. Если f (z),		k = 1, 2, . . . , m, определенные на							непрерывные
функции и ckk	комплексные постоянные, то
		h X	i	X
	Z	m			m		Z
	Z	k =1 ck fk (z)		dz = k =1 ck			Z	fk (z) dz.	(2.4)
2. Если гладкая кривая состоит из m							кусков 1, 2, . . . , m, т. е.
= m k, то
		Z		m	Z
k =1
			f (z) dz = k =1			f (z) dz,			(2.5)
				X	k

причем предполагается, что интегрирование по каждой дуге k происходит в направлении, порожденном направлением интегрирования на .

Если кусочно-гладкая кривая состоит из m гладких кривых k,

то интеграл по кусочно-гладкой кривой и определяется равенством (2.5). Заметим, что если граница многосвязной области D состоит из замк-

нутых кривых Жордана, то положительным направлением на границе ∂D = этой области считается направление, оставляющее область

слева. Поэтому в случае, когда совокупность попарно не пересекающихся замкнутых кусочно-гладких кривых 0, 1, . . . , m является границей (m+1)- связной области, причем 1, 2, . . . , m лежат внутри 0,

		f (z) в			m	−
можно написать ∂D = = 0					m	−	, и следовательно, для непрерыв-
						k
					k=1
ной на функции			силу (2.3) получим
	Z	f (z) dz = Z			f (z) dz − k =1 Z			f (z) dz.	(2.6)
							m
				0			X k
3. Наряду с непрерывной функцией f (z)								интегрируема и функция

| f (z) |, причем в силу неравенства треугольника и определения длины

кривой имеет место неравенство

	Z	( )	≤ Z \| ( ) \| · \|			\| ≤ z \|		\|

		f z dz		f z	dz	max	f (z)	L,	(2.7)

где L длина кривой .
4. Если заданная на			последовательность				{fn (z)},		n = 1, 2, . . .,

непрерывных функций равномерно сходится на к f (z), то функция f (z) интегрируема (ибо непрерывна) и

n → ∞ Z	n (	)		=	Z	(2.8)
lim	f z		dz		f (z) dz.	(2.8)

В самом деле, в силу равномерной сходимости последовательности

{fn (z)} на для любого				ε > 0 существует такое число		N = N (ε) > 0,
что \| fn (z) −f (z) \| < Lε			для всех z		и n > N . Поэтому на основании
(2.4) и (2.7)	имеем				Z [ fn (z) −f (z) ] dz ≤
	Z fn (z) dz − Z			f (z) dz =	Z [ fn (z) −f (z) ] dz ≤



≤ Z		\| fn (z) −f (z) \| · \| dz \| < ε			при n > N,

что и доказывает справедливость равенства (2.8).

	∞
В частности, если функциональный ряд f (z) =	P	непрерыв-
В частности, если функциональный ряд f (z) =	fk (z)	непрерыв-
	k =1

ных на функций fk (z) равномерно сходится на , то это означает, что последовательность его частичных сумм Sn(z) равномерно сходится на . Следовательно, в силу (2.8) и (2.4) имеем

Z [ k =1		k ( ) ]		= n → ∞ Z [k =1
	∞							n
	X	z	dz					X
	f	z	dz			lim
		n						∞
	X		f	z		dz	X
	lim		f	z		dz	= k =1 Z
= n → ∞ k =1 Z			k	(	)		= k =1 Z

fk (z) ] dz =

fk (z) dz,

т. е. получаем возможность почленного интегрирования равномерно сходящегося на ряда непрерывных на этой кривой функций fk (z).

2.2. Теорема Коши

Лемма Гурса. Если функция f (z) непрерывна в области D и γ лежащая в D кусочно-гладкая кривая Жордана, то для любого ε > 0

можно указать лежащую в D ломаную γP

с вершинами на γ такую,

что

f (z) dz − Z

f (z) dz

< ε.

(2.9)

Доказательство. Пусть G, G D, область, содержащая кривую γ,

а l длина γ. Тогда ρ

(

γ, ∂G

inf

−

> 0, поскольку

) = z γ, ζ ∂G |

γ ∩ ∂G = . Из равномерной непрерывности f (z) в G следует, что0

00для

любого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что для любых точек z , z

из

G таких, что | z0−z00 |< δ, выполняется неравенство

| f (z0) − f (z00) | <

(2.10)

Разобьем кривую γ точками z1 , z2 , . . . , zn , следующими друг за дру-

гом в положительном направлении и отличными от ее начала a и кон-
	_	= a, zn +1 = b, длина
ца b, на дуги	γk = zk zk+1, k = 0, 1, . . . , n, z0

каждой из которых σ(zk , zk+1 ) < min(δ, ρ), и обозначим через

маную с вершинами в

точках zk

(см. Рис. 6).

Очевидно, ломаная γP

лежит в области G.

Заметим, что для

γP

интеграла

dz вдоль

γk

с началом

k+1

кривой R

в точке a и концом

∂G

в точке b непосред-

cтвенно из определе-

ния получим

Рис. 6

= lim (z

n+1 −

z ) = b

−

dz =

lim

n → ∞ k=0

n → ∞

γP ло-

(2.11)

Учитывая свойства 1 – 3 интеграла и то, что в силу выбора точек zk

для любого		z γk k = 0,1, . . . , n,		имеем		\| z −zk \| < δ, из (2.11) и (2.10)
заключаем, что имеет место неравенство							2 .
	Z f (z) dz − k= 0 f (zk )Δzk		=	k= 0	Z [ f (z) − f (zk ) ] dz <		2 .
	γ	X		X	γ
		n		n			ε
						k

Аналогично убеждаемся также, что

Z Xn ε

f (z) dz − f (zk )Δzk < 2 ,

=0γ k

откуда следует (2.9).

Теорема Коши. Если функция f (z) аналитична в односвязной области D и γ любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана,

лежащая в D, то	Z
	Z	f (z) dz = 0.	(2.12)

Доказательство. Поскольку для кривой с началом в точке a и

концом в точке b

имеем

z dz

lim

= lim

= n → ∞ k= 0

n → ∞ k= 0

k+1

то

z dz =

lim

+ z

)Δz

2 n → ∞ k= 0

k+1

(2.13)

lim

(b2

−

a2).

2 n → ∞

k= 0

k+1

− k

2 n → ∞

n+1 −

В силу (2.11) и (2.13) для функций f (z) = 1 и f (z) = z

теорема Коши

верна, т. е.

dz = Z

z dz = 0.

(2.14)

Для произвольной функции f (z)

сначала рассмотрим случай, когда γ

является границей γ

треугольника

Пусть γR

f (z) dz

= M

. Соединив середины сторон треугольника

прямолинейными отрезками, разобьем его на четыре конгруэнтных

треугольника

(k), k = 1, 2, 3, 4 (см. Рис. 7), и поскольку в силу (2.3) и

(2.7) имеем

M =

Z f (z) dz =

k=1 Z f (z) dz ≤ k=1

Z f (z) dz

(k)

то среди треугольников

(k)

существует по крайней мере один, обозна-

чим его через

1, для которого

Z f (z) dz

≥

Указанным выше способом разобьем треугольник 1 на четыре и обозначим через 2 любой из них, для которого

Z f (z) dz	≥		.
Z f (z) dz	≥	42	.
γ		M
2

Продолжая этот процесс бесконечно, получим последовательность треугольников k,

k = 1, 2, . . ., со следую-
щими свойствами :
		1) k+1	k ;
		2) периметр тре-
угольника k			равен
	l	, где l периметр

	2k		;
треугольника
		3) для каждого k
имеет место неравен-

ство		Z
		γ

(3)

@@ γ

(4)

I@@

(1)

(2)

@R@

Рис. 7

f (z) dz

≥

(2.15)

Пересечение всех треугольников последовательности { k} состоит из единственной точки z0 D. В силу аналитичности функции f (z) в точке z0 для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что C(δ, z0 ) D и

f (z) − f (z0 )

z −z0

− f 0(z0 )	< l2 , z C(δ, z0 ).		(2.16)
		ε

Начиная с некоторого номера k0, все треугольники k

лежат в круге

C(δ, z0 )

и, следовательно, в силу (2.4), (2.14) и (2.16) можно написать

Z f (z) dz

Z [ f (z) − f (z0 ) − (z −z0 )f 0(z0 ) ] dz

= 4k .

(2.17)

< l2

Z | z − z0 |·| d z| < l2

Сравнивая (2.15) и (2.17), получим неравенство M < ε, откуда в силу

произвольности ε имеем M = 0, т. е.
	Z	f (z) dz = 0.			(2.18)
	γ
Обозначим теперь через γP		границу произвольного многоугольника
P D и разобьем P на конечное число треугольников					(k). Из очевид-
ного равенства	Z f (z) dz =		k	Z f (z) dz
	γP		X	γ (k)
в силу (2.18) заключаем, что
	Z	f (z) dz = 0.			(2.19)
	γP

В случае, когда γ любая замкнутая кусочно-гладкая кривая Жор-

дана, на основании леммы Гурса в силу (2.9) и (2.19) получим неравен-

т. е.						следует (2.12),
ство	γ f (z) dz	< ε, из которого ввиду произвольности ε				следует (2.12),
утверждениеR			теоремы Коши.
Обобщенная теорема Коши. Если функция f (z)						аналитична в
области D C, ограниченной замкнутой кусочно-гладкой кривой Жор-

дана , и непрерывна в D, то
				Z	f (z) dz = 0.	(2.20)

Доказательство. Пусть сначала замкнутая гладкая кривая

где δ0 стандартный радиус кривой ,

соответствующий числу θ0 =

= 2 arccos 3

. Пусть, кроме того, δ

таково, что можно построить много-

угольник с вершинами в точках zk , k = 1, 2, . . . , n, следующих друг

за другом в положительном направлении на , и сторонами [ zk , zk+1 ],

zn+1 = z1 , одинаковой длины r (см. Рис. 8), где

2r = 3δ.

(2.22)

Тогда длина L кривой больше nr, так что в силу (2.22) имеем

n <

(2.23)

3δ

Покажем, что мно-

жество

C(δ, zk )

- θ0

k=1

покрытие

образуетS

кривой , каждый

круг которого пере-

PPP

k+1

секается только с

Dk+1

qζk+1

соседними кругами.

ζk

PPZP zk−1

В самом деле,

поскольку в силу

Dk−1

(2.22) и (2.21) имеем

ζk−1

| zk+1 −zk |= r < δ0,

Рис. 8

то (см. п. 0.5) острый угол между касательными в любых точках τ1 и

_	θ0			3
τ2 дуги zk zk+1 меньше		= arccos		4 . _Отсюда по теореме Лагран-
	2
жа заключаем, что для любой точки				t zk zk+1 угол между хордами
		θ0
[ t, zk ] и [ t, zk+1 ] больше π −			. С другой стороны, легко видеть, что
		2

множество всех точек, из которых отрезок [ zk , zk+1 ] виден под углом,
θ0
превышающим π− 2 , представляет собой круговую луночку, ограничен-
ную дугами окружностей с концами в точках zk и zk+1 , образующими
	θ0	_
с отрезком [ zk , zk+1 ] углы, равные	2 . Таким образом, дуга	zk zk+1

лежит в этой круговой луночке, содержащейся в объединении кругов C(δ, zk ) и C(δ, zk+1 ), а это означает, что все указанные круги образуют

покрытие кривой .

Далее, как мы видели выше, r < δ0 , а значит, дуга zk_−1 zk+1 короче

стандартной, так что угол между отрезками [zk			, zk−1 ]				и [zk , zk+1 ] боль-
		√		√
ше π −θ0 >	π				2

	2 , поэтому \|zk+1 −zk−1 \| > r 2 = 3δ						> 2δ,	т. е. круги
					2
C(δ, zk−1 ) и	C(δ, zk+1 )	не пересекаются. Круги же				C(δ, zk )		и C(δ, zj ),

между которыми находится более одного круга этого покрытия, в силу (2.21) тоже не пересекаются.

Следуя В.В.Асееву, положимDk =D ∩C(δ, zk )\C(δ, zk+1 ), k = 1, 2,..., n, zn+1 = z1, и обозначим через γk соответственно границы областей Dk.

После удаления из D всех замкнутых областей Dk остается односвязная область D , граница которой является замкнутой кусочно-гладкой

жордановой кривой , так как состоит из дуг окружностей | z−zk |= δ.

Очевидно, что

X γk

(2.24)

k =1

f (z) dz = f (z) dz −

f (z) dz.

Учитывая, что D и по теореме Коши

f (z) dz = f (ζk ) dz = 0,

γk

где ζ

фиксированные точки областей Dk

соответственно, из (2.24) в

силу (2.23) получим

Z f (z) dz =

k =1

Z [ f (z) − f (ζk ) ] dz

≤

X Z

≤| f (z) − f (ζk ) |·| dz | < ε(L + 2n·2πδ) < 3πLε,

k =1 γk

откуда следует (2.20).

Пусть теперь замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, со-

стоящая из гладких дуг p = tp tp+1, где tp, p = 1, 2, . . . , m, tm+1 = t1,

вершины кривой , δp стандартный радиус дуги p, соответствующий

числу θ0 = arccos	2 ,
	3
δ0 =	min δp,	ρ =	min ρ (tp, q), 0 = m.
1≤p≤m			p	≤ m
1≤p≤m			1 ≤ q	≤ m

q 6= p−1, p

Тогда, как и выше, по наперед заданному ε > 0 возьмем соответствую-

щее число δ, удовлетворяющее условию
0 < 2δ < min(δ0, ρ ),		(2.25)
так что каждая окружность	\| z −tp \| = δ, p = 1, 2, . . . , m,	пересекает
кривую в двух точках: tp0	p и tp00 p −1, 0 = m. Заметим, что

указанные окружности попарно не пересекаются, и обозначим через 0p часть дуги p, p = 1, 2, . . . , m, лежащую вне кругов C(δ, tp) и C(δ, tp+1)

(см. Рис. 9). Пусть

ρ0

= min ρ ( p0 , q0 ),

(2.26)

1 ≤ q

≤ m

p =6 q

ρp

rp yXX

tp r

p +1

tp +1

tp,2

θ0

"!#

Рис. 9

trp +1

p −1

При фиксированном

выберем покрытие каждой дуги

p0 , p = 1,

2, . . . , m, кругами C(ρp , tp, l), где число ρp удовлетворяет условию

0 < 2ρ < ρ0,

p = 1, 2, . . . , m,

(2.27)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.03.20161.03 Mб151Belitsa_UMK_2012-1-uprazhnenia.doc
#
06.06.2015113.26 Кб5BILETY_1-10_sbornye.docx
#
06.06.2015697.32 Кб65bilety_kultura.rtf
#
22.04.2019221.3 Кб7Bilety_matika_Snezhane.docx
#
06.06.2015181.76 Кб9Bilety_po_kulture.doc
#
06.06.20151.33 Mб44bilutapa-kurstfkp.pdf
#
06.06.20153.13 Mб139Biokh_dvizh_24_aprelya (1).doc
#
28.03.2016317.95 Кб19bioprog0101.doc
#
28.03.2016936.05 Кб6blogs.pdf
#
09.11.20193.4 Mб19BMLA.DOC
#
28.03.20162.59 Mб15Brayan_Kernigan_Dennis_Ritchi_Biblioteka_progr.pdf